力矩 转动定律 转动惯量.ppt

,转动平面,设在转动平面内,对z轴的力矩：,一.力矩,注意:,下述情况中,力对转轴的力矩为零.,20的作用线通过转轴.,10的方向与转轴平行.,是转轴到力作用线的距离，称为力臂。,大小：,或,用来描述力对刚体的转动作用,力不在转动平面内,注（1）在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。,把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量,合力矩,合力矩等于各个力矩的代数和.,4,合内力矩,刚体的合内力矩为零,质点系的合内力矩=?,0,5,例：有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：,1、这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定为零。,2、这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能为零。,3、当这两个力合力为零时，它们对轴的合力矩一定也为零。,4、当这两个力对轴的合力矩为零时，它们合力一定也为零。,二.刚体定轴转动定律,应用牛顿第二定律，可得：,O,对刚体中任一质量元,-外力,-内力,采用自然坐标系，上式切向分量式为：,O,用乘以上式左右两端：,设刚体由N个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N个方程左右相加，得：,根据内力性质(每一对内力等值、反向、共线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：,得到：,上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J表示。于是得到,刚体定轴转动定律,刚体定轴转动定律,讨论：,（2）J与总质量、质量分布以及转轴的位置有关;,（3）M的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正.,对比,10,例题、质量为m半径为R的薄圆盘从静止开始在恒力矩M的作用下绕通过直径的光滑轴转动，（J=mR2/4），t秒后点B的切向加速度at=_，法向加速度an=_.,解：由转动定律,M=J,得,=M/J,而at=R,an=2R,=t,11,三转动惯量,J的意义：转动惯性的量度.,转动惯量的单位：kgm2,决定转动惯量的要素：,(1)体密度;,(2)几何形状;,(3)转轴位置.,两个相同的圆盘,铁质与木质,质量分布离轴越远,J越大,同一刚体,转轴位置不同,J就不相同,12,质量离散分布,J的计算方法,质量连续分布,：质量元,：体积元,13,例.求长L,质量m均匀细棒的转动惯量.(1)O轴通过棒一端且与棒垂直;(2)O轴通过棒中点且与棒垂直.,解：取轴为坐标原点,取长度微元如图,dm=dx,=m/L,dJ=r2dm,=x2dx,(1)过棒的一端O,=L3/3,=mL2/3,(2)过棒的中点O,=x3/3,=L3/12,=mL2/12,结果表明：同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。,14,例题求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。,解设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的质量dm=2rdr。可得,15,几种常见刚体的转动惯量：,细棒,细棒,薄圆环或薄圆筒,圆盘或圆柱体,16,质点与刚体组合的转动惯量,17,四平行轴定理,质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量,18,质量为m，长为L的细棒绕其一端的J,圆盘对P轴的转动惯量,19,(2)为瞬时关系,(3)转动中与平动中地位相同,(1),与方向相同,说明,转动定律应用,20,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,21,例1、一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮视为圆盘），绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，m1m2，滑轮的质量为m，半径为R，所受的摩擦阻力矩为Mf，绳与滑轮间无相对滑动。试求：物体的加速度和绳的张力。,已知：m1，m2，m，R，Mf,求：,解:研究对象m1，m2，m,建立坐标，受力分析如图,Mf,对m1：,对m2：,对m：,22,联立求得：,注意：当不计滑轮的质量及摩擦阻力时：,这便是质点动力学中所熟知的结果,2020/6/10,23,例：已知：R，m求：圆盘自静止开始转动后，转过的角度与时间的关系。,解：圆盘和物体受力分析如图：,对圆盘：,对物体：,联立（1）、（2）、（3）得：,24,例2质量为mA的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，B竖直悬挂滑轮与绳索间无滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计(1)两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2)物体B从静止落下距离y时，其速率是多少？,25,解(1)用隔离法分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系,A,B,C,26,27,解得：,28,如令，可得,（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率,29,稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度,例3一长为l、质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其