工程计算6内积空间与范数.ppt

SummerGrassFade、ArialFontFamily、2020/6/10、2、2内积空间、范数、2.1欧几里得空间、酉空间2.2标准正交基、Schmidt方法2.3酉变换， 正交变换2.4对称变换和反对称变换2.5正则矩阵和Schur引理2.6 Hermite矩阵Hermite二次方程式2.7正则Hermite二次方程式和正则Hermite矩阵2.8 Hermite矩阵偶合成的标准型2.9向量范数2.10矩阵范数2.11诱导范数，2020/6/10，3，2.1 定义了酉空间2.1.1欧几里德空间、酉空间2.1.2酉(欧几里德)空间的性质2.1.3酉(欧几里德)空间的尺度、2020/6/10、4、2.1欧几里德空间、酉空间、2.1.1欧几里德空间和酉空间， 2.1.1定义欧几里德空间，将v作为实数域r上的n维线性空间，对于v中的任意两个向量，按照某个决定规则对应一个实数，将该实数称为and的内积，标记为(，)，要求内积满足以下运算条件：(1)对称性(，)=(，)，(2)对齐性(k，) k是任意的实数，把具有(3)加法性(，)=(，)，(，)，(4)只在非负性(，) 0时=0时()=0这样的内积的n维线性空间v称为欧几里得空间。 另外，在2020/6/10，5，2.1欧几里德空间，酉空间，例如2.1.1中，=(a1，a2，an)T，=(b1，b2，bn)T，因为(，)1=t=t=a1b1a2b2，an)T是Rn上的内积，所以Rn是欧几里德例2.1.2中规定(，) )2=a1b1 2a2b2 nanbn由于验证容易，(，) 2也是Rn上的一个内积，因此Rn成为另一个欧几里德空间，今后在研究Rn时也使用例2.1.1中导入的内积定义。 在2020/6/10，6，2.1欧几里德空间，酉空间，例如2.1.3维线性空间rmn中，规定为(a，B)=tr(ABT )，容易地验证这是在rmn上的内积，rmn在给出该内积后成为欧几里德空间。 2020/6/10，7，2.1欧几里德空间，酉空间，定义2.1.2为复域c上的n维线性空间，对于v中的任意2个向量，按照某个决定规则与一个复数对应，将该复数称为and的内积(and的内积)， (1)要求内积满足以下运算条件： (1)对称性(，)=，其中，()的共轭复数(2)排列性(k，)=k (，)，k是任意多个，(3)相加可能性(，)=(，)，(4)非负(，)0(即非负实数)，并且定义了仅=0时(，)=0的内积欧几里得空间和酉空间总称为内积空间。 将2020/6/10，8，2.1欧几里得空间，酉空间，例如2.1.4作为n维复(列)向量空间，若为=(a1，a2，an)T，=(b1，b2，bn)T，则易于验证，(，)是Cn上的内积，Cn是酉空间，在以下的Cn中内积定义通常是该式、例子2.1.5维线性空间cnn中规定为(a，B)=tr(ABH )，其中BH表示b中的所有元素取共轭复数后进行反转。 因为容易验证(a，b )是cnn上的内积，所以cnn和这个内积一起成为了酉空间。 2020/6/10，9，2.1欧几里德空间，酉空间，2.1.2酉(欧几里德)空间的性质，欧几里德空间可以被认为是酉空间的特例，因此，以讨论酉空间为重点，可以指包括酉空间和欧几里德空间的内积空间根据，定义2.1.1，可以得到欧几里德空间内积的性质：(1) (，k)=k (，)，(2) (，)=(，)，2020/6/10，10，2.1欧几里德空间，酉空间根据定义2.1.2，可以得到酉空间内积的性质：(2) (，)=) 以2020/6/10，11，2.1欧几里德空间、酉空间、定义2.1.3为n维酉空间、i为其中一个基础，对于v中的任意两个向量，与、的内积为，gij=(i，j)i，j=1，2，n，2020/6/10，12， 2.1欧几里德空间、酉空间、g为基i的矩阵定义；2.14acmn，表示以a元素的共轭复数为元素的矩阵；由a获得的AH还可为矩阵的复共轭转变或类似于被称作Hermite转变(h转变)的矩阵转变的计算。 在2020/6/10，13，2.1欧几里得空间和酉空间中，不太可能验证复共轭转置矩阵满足以下性质：(2)(ab)h=ahh，(3)(kA)H=AH，(4)(AB)H=BHAH，(5)(AH)H=A， (6)(ah)h=(a1)h(a为可逆时)、(7)(Ak)H=(AH)k，定义2.1.5:acmn，如果AH=A，则将a称为Hermite矩阵(H-矩阵)，如果AH=A，则将a称为逆Hermite矩阵(逆h矩阵)。 特征： Hermite矩阵的对角线元素为实数，Hermite矩阵的对角线元素为纯虚数或0。 对于线性空间的不同基，2020/6/10，14，2.1欧几里德空间，酉空间，它们之间的关系由以下定理给出：定理2.1.1是1，2，n和1，2，n是线性空间v的两个基，a，b分别是其测度矩阵，基的转换矩阵是p，即， 两个测度矩阵a和b满足B=PHAP，2.16定义a，b为n阶复矩阵，如果p存在则a、b和p都为实矩阵，并且如果B=PTAP，则a和b为真实的。2020/6/10、15、2.1欧几里得空间、酉空间、2.1.3酉(欧几里得)空间的尺度、定义2.1.7为酉(欧几里得)空间、向量v的长度(模型)为、定理2.1.2为酉(欧几里得)空间时，向量长度| 具有以下性质，(2)对齐性|k|=|k|，k是任意数，(3)三角不等式| |，(4)CauchySchwarz不等式(、 )|、2020/6/10、16、2.1欧几里德空间和酉空间在欧几里德空间中总是实数，因此CauchySchwarz不等式可以表示为，因此欧几里德空间中的向量和角度可以表示为d (、 )=|，如果向量的长度|=l，则称为单位向量，对于任何非-零的向量，将向量/|定义为单位向量，从得到/|的过程中被单位化。 如果2.2.1矢量和的内积(，)=0，则将、2020/6/10、17、2.2标准正交基、Schmidt法定义为正交。 不包含，零向量的向量的组=(1，2，s )内的向量两个正交，如果，(I，j)=0i，j=1，2，n，则向量的组 称为正交向量的组。 的双曲馀弦值。 如果正交向量组中的任何向量是单位向量，则向量组是标准(单位)正交向量组。 按照定义，在、2020/6/10、18、2.2标准正交基团、Schmidt方法中，、(1)向量组为正交向量组的满足条件为i0、i=1、2、n(i，j)=0iji、j=1、2、n，(2)向量组(3)零向量与各向量正交相反，与空间的各向量正交的向量必须是零向量。、2020/6/10、19、2.2标准正交基、Schmidt法、定理2.2.1正交向量组是线性非依赖向量组。 在、定义2.2.3维内积空间中由n个正交矢量构成的基称为正交基。 由n个标准正交矢量构成的基团称为标准(单位)正交基团。 其中，1、2、n表示标准正交基团的满足条件为(I，j)=ij、(I，j=1，2，n )。 即，其测量矩阵g是单位矩阵。 定理3.2 .可以从任何二维内积空间群组的基础1，2，r用Schmidt正交化方法构建一个标准正交基础。 定义、2020/6/10、20、2.3酉变换、正交变换。如果2.3.1阶复矩阵a是、AHA=AAH=E，则a是酉矩阵，记作aun。 有、n次的实矩阵a，如果ATA=AAT=E，则a记为正交矩阵，记为AEnn。 并且，容易进行定义验证：在a、baunn的情况下，(1)a1=ahunn酉矩阵的逆矩阵是其h转置，酉矩阵的逆矩阵是酉矩阵，(2)|detA|=1酉矩阵的矩阵式的类型是1，(3)atun酉矩阵的转置是酉矩阵，2020/2020如果是，a，benn，那么，(1)a1=atenn正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵，(2)detA=1正交矩阵的行列式为1，(3)AB，benn正交矩阵的积是正交矩阵。 定理2.3.2 :设为acnn，aun的充分的必要条件为a的n个列(行)向量组是标准正交向量组。 定义了2020/6/10、22、2.3酉变换，正交变换，2.3.2作为n维酉空间，如果是v的线性变换，则v也可以被称为、()、()、=(、v的酉变换。 如果v是n维欧几里德空间，那么如果线性变换满足，那么v就称为(，()=(，)，v的正交变换。2020/6/10、23、2.3酉变换、正交变换、定理2.3.3设为n维酉空间，如果是v的线性变换，则等价如下：(1)酉变换，(2)|v， 设222-222-222-222-220-0006 v为n维正交空间，是v的线性变换，则(1)表示正交变换，(2)表示正交变换，(3)表示标准正交基团，(4)表示正交变换的标准正交基团中的矩阵表示为正交矩阵。 此外，假定2020/6/10、24、2.3酉变换、正交变换，例如2.3.1，h=1，则由h=en2hunn，rn，t=1表示的变换被称为h=en2tenn，并且矩阵h所表示的变换被称为混列变换或镜像变换，其在矩阵计算中具有重要的应用。 2020/6/10、25、2.3酉变换、正交变换，例子2.3.2、是正交矩阵。 它所表示的变换被称为Givens变换，也是重要的变换。 定义了2020/6/10、26、2.4对称变换和反对称变换，定义了2.4.1的是欧几里德空间v的线性变换，如果任意情况下，v是，(t ()=(，t () )，t是欧几里德空间v的对称变换，定理2.4.2欧几里德空间v的线性变换定理2.4.2欧几里德空间v中线性变换t为对称变换的充分条件是t为v中任何标准正交基底下的矩阵为对称矩阵。 定理2.4.3欧几里得空间v中的对称变换是可对角化的线性变换。 2020/6/10，27，2.4对称变换和反对称变换，定义2.4.2t是欧几里德空间v的线性变换，如果任意情况下，v是，(t ()=(，t () )，t是欧几里德空间v的反对称变换，定理2.4.2欧几里德空间v的线性变换t是相反的此外，定义了2020/6/10、28、2.5正规矩阵和Schur引理，定义了a，BCnn (或Rnn )，若存在UUnn (或Enn )，并满足、UHAU=U1AU=B (或UTAU=U1AU=B )，则a酉类似(或正交类似)为b定理2.5.1 任何n阶复矩阵a酉类似于上(下)三角矩阵，定理2.5.2(Schur不等式)假设A=(aij)Cnn，1，2，n为a的特征值，其中等号成立的充分条件是a酉类似于对角矩阵。 2020/6/10，29，2.5正则矩阵和Schur引理，定义2.5.2acnn，如果满足a，则将矩阵a称为正则矩阵。 此外，令ARnn，若a也同样满足，则设AAH=AHA，则矩阵a称为实正规矩阵。 H-矩阵、逆H-矩阵、正交矩阵、酉矩阵、对角矩阵都是正规矩阵，若令2020/6/10、30、2.5正规矩阵和Schur引理为定理2.5.3acnn，则a为正规矩阵的充分条件是存在酉矩阵UUnn， 属于H-矩阵不同的特征量的特征向量正交，uhau=diag (1，2，n )，其中，1、2，n是矩阵a的特征量。 并且，将推论2.5.1设为正规矩阵，将a的特征量、x设为对应的特征向量，将AH的特征量、x设为对应的特征向量。 推论2.5.2n次正规矩阵中有n个与线性无关的特征向量。推论2.5.3正则矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交。 此外，逆H-矩阵的特征量为零或纯虚数，酉矩阵的特征量模型长度为1，2020/6/10，31，2.5正则矩阵和Schur引理，若将定理2.5.4设为正则矩阵，则能够同时使用、a、b以及UUnn进行酉对角化，(1)A表示H-矩阵的子矩阵