结构力学总复习

结构力学复习提要,第一章绪论第二章结构的几何构造分析第三章静定结构的受力分析第四章影响线第五章虚功原理与结构位移计算第六章力法第七章位移法第八章渐近法及其他算法简述,一、结构简化要点,1、结构体系的简化：空间结构常简化为平面结构忽略次要的空间约束（作用）2、杆件的简化：杆件用其轴线表示，杆件结点间的距离为杆件长度。3、杆件间连接的简化4、结构与基础间连接（支座）的简化5、材料性质的简化6、荷载的简化,重点：杆件结构的支座和结点分类,第1章绪论,3、杆件间连接（结点-杆件汇交的交点）的（理想）简化：分为刚结点、铰结点和组合结点。（1）刚结点：几何特征：结点处各杆无相对移动和相对转动。力学特征：可传递力，同时传递力矩。（2）铰结点：几何特征：结点处各杆无相对移动，可以相对转动。力学特征：可传递力，但不传递力矩。（3）组合结点：部分连接点视为刚结点，另一部分视为铰结点。具有铰接点和刚结点的双重特征。,复铰结点,单铰结点,单刚结点,复刚结点,组合结点,4、结构与基础间连接的简化支座连接结构与基础的装置,按受力特征，可以简化为以下几种情况：（注意各类支座的支座链杆数目！）1）滚轴支座（可动铰支座）2）铰支座（固定铰支座）3）固定支座（固定端支座）4）定向支座（滑动支座）5）弹簧支座,滚轴支座，支座链杆数：1,固定铰支座，支座链杆数：2,定向支座，支座链杆数：2,固定支座，支座链杆数：3,1、力及力的分解和合成,力：物体间相互的机械作用。力的作用效应：使物体的机械运动状态（移动或转动）改变。,理力与材力回顾,2、牛顿定理,第一定理：任何一个物体在不受任何外力或受力平衡时，总保持匀速直线运动或静止状态。,第二定理：物体的加速度与物体所受的合外力F成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。,3、力系及力系简化,力系：作用于物体上的一组力。力系简化（合成）：用一个力或（力矩）,4、力系平衡,平衡状态：物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动的状态。（无移动和无转动）力系平衡条件：力主矢和主矩=0,矢量表达,一矩式,二矩式,三矩式,解析表达,切、取、代,5、平衡方程应用：求反力和内力,求C截面内力,平衡方程,求反力，平衡方程,截面法：利用假想（虚设）的截面将结构后构件截断，取其中某部分作为隔离体，利用隔离体的平衡条件求得结构反力或内力的方法。,几何不变体系（结构）形状不可变几何可变体系（机构）形状可变（分为瞬变体系和常变体系）,一、几何构造分析的几个概念,1、几何不变体系和几何可变体系,1）理解几何组成分析的一些基本概念。2）掌握体系自由度计算，几何成规则，常见体系的几何组成分析。,第2章结构的几何构造分析,3、自由度确定物体位置所需要的独立坐标数，以S表示1）平面内一点（自由度）S=22）刚片（自由度）S=3,4、约束（亦称：联系）-减少自由度的装置,1）一根链杆：相当1个约束2）铰结点（单铰）：相当2个约束3）刚结点（单铰）：相当3个约束4）复约束（复铰结点，复刚结点），连接n根杆件的复约束相当于（n-1）个单约束的约束作用,2、刚片：刚性片区，平面刚体,二、体系的计算自由度,体系计算自由度：用计算自由度公式计算体系自由度，数值上=总自由度-总约束数。,1、刚片体系的计算自由度W=3m-(3g+2h+r),2、铰结体系的计算自由度W=2j-(b+r),m-刚片数，交点间杆件即为1个刚片，g-体系中单刚数，h-体系中单铰数，r-体系中单链杆总数,j-体系中铰结点数，单链杆与体系相连的铰计入，但与地基相连的铰不计入；b：体系中杆件根数，r：支座链杆总数,由于支座链杆和地基不视为刚片，体系中单根杆件与滚轴支座链杆（或与地基）相连的铰不计入单铰数！,3、体系计算自由度与几何构造分析,W0,缺少足够联系，体系几何可变。W=0,具备成为几何不变体系所需最少联系数目W0,铰接体系：W=26-（8+3）=10,例题1,例题2求W,刚片体系,几个刚片？,几个单刚？,几个单铰？,单链杆总数？,10,10,0,10,W=310-(310+20+10)=-10,单根杆件与滚轴支座链杆相连，不计入单铰数,例题3,铰接体系,几个铰？,几根杆件？,W=210-(13+7)=0,支座链杆总数？,10,13,7,体系计算自由度,单链杆与体系相连的铰计入，与地基相连的铰不计入,三角形,1）三刚片规则规律3三个刚片用不在同一直线上（不共线）的三个单铰两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。,三、平面几何不变体系的组成规则,核心规律：三角形规律,1、几何不变组成规则,2）二元体规则：在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何构造性质。单刚片规则：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不共线，则组成无多余约束几何不变体系规律1,3）二刚片规则两个刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。规律2,4）二刚片规则两个刚片用三根不全平行也不交于同一点的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。规律4,2、瞬变体系讨论,瞬变体系其它情况,瞬变体系,瞬变体系,瞬变体系,常变体系,基本情况,3、例题分析,分析步骤:（1）计算W初步判断；（2）分析几何构造组成分析；W0时，W为多余约束数（3）结论:可变，不变(有无多余约束）,思路：从基础出发，由小到大，逐步装配从内部出发，寻找基本刚片，逐步扩大,注意的几个问题：1）巧用二元体：通过去掉二元体可将体系化简单；增加二元体，逐步扩大刚片范围。2）刚片等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式前提下，可改变它的大小、形状及内部组成。,找刚片、虚铰,三刚片规则,规律3无多余约束几何不变,例题1,A,B,C,W=26-（8+4）=0,例题2体系内部分析,二刚片规则体系内部无多余约束几何不变,A,B,C,D,E,F,非刚结点！,A,B,C,D,F,E,三刚片规则体系内部无多余约束几何不变,O3,顺藤摸瓜：地基础；滕链杆，瓜刚片,找刚片、找虚铰,瞬变体系,例题3,第3章静定结构受力分析,本章要求：1）熟练掌握截面内力计算和内力图的形状特征2）熟练掌握绘制弯矩图的叠加法3）熟练掌握截面法求解静定梁、刚架及其内力图绘制的常规方法和快速绘制法4）熟练掌握结点法和截面法计算桁架结构5）理解并掌握虚功原理及其应用,一、静定梁的受力分析,轴力FN（或N）拉力为正。剪力FQ（或Q）绕隔离体顺时针转动为正。弯矩（M）-通常假设下侧纤维受拉为正。,1、内力分量及其正负向假定,用假想截面将结构（或构件）截断，暴露未知内力，再根据隔离体的平衡方程求解未知内力。,2、截面法-求反力或截面内力,解:,(下侧受拉),截面内力的快速计算心算剪力：截面一侧所有外力垂直轴线方向代数和轴力：截面一侧所有外力沿轴线方向代数和弯矩：截面一侧所有外力对截面形心代数和,3、内力图作法基于内力与荷载之间的微分关系,内力图形状与荷载之间关系,务必熟记的常用单跨梁弯矩图,注意数值和受拉侧,4、分段叠加法,叠加步骤（分定叠）1）计算控制截面M，判定杆件受拉侧。（分，定）2）无荷载段，实线连控制截面弯矩即可。（叠）3）有荷载区段，先虚线连控制截面的M，再以此线为基线，叠加该区段按简支梁的M图。（叠）,M图（线）的快速绘制：直线段确定2个点，直线连接；曲线段确定3个点，光滑曲线连接。,几点说明：1）弯矩叠加是弯矩的代数值相加，即图形纵坐标相加，而非两个图形的简单拼合。2）作M图时，只需标注“控制截面”及“跨中”的M值，此法可避免计算有误！3）连接控制截面的“基线”实质上是杆“轴线”，因而，叠加弯矩垂直于杆“轴线”而非“基线”！如图,垂直“杆轴线”,垂直“基线”,叠加过程,分（杆段）,定（截面弯矩）,叠（简支弯矩）,5、应用举例,例1,例2,1、多跨静定梁的几何特征附属部分-不能独立承载的部分-几何不变。基本部分可以独立承载的部分-几何不变。,二、静定多跨梁,2、多跨静定梁的受力特点,当荷载作用在基本部分时，附属部分没有内力当荷载作用在附属部分时，基本部分和附属部分都有内力,3、多跨静定梁的内力计算（特点）先算附属部分，后算基本部分。,4、不求或少求反力作多跨梁弯矩图,作图依据：1、分段叠加法（弯矩:截面一侧外力对截面形心代数和）2、内力图形状特征（内力图与荷载微分关系）,作图技巧直线型弯矩图对应剪力图的正负判定：M图从基线顺时针转过锐角得到，则相应梁段剪力图为正，反之为负。,例题1,思考题：如何快速作出剪力图？,例题2,三、静定平面刚架,1、刚架：包含刚结点的直杆体系。2、刚架（受力及变形）特点：刚结点处变形前后夹角保持不变，可以传递弯矩。,（1）求支座反力（2）求控制截面的内力。运用截面法或直接由截面一边的外力求出控制截面的内力值。（杆端弯矩务必注明受拉侧）（3）作内力图。“分段、定点、连线”根据内力图形状特征和叠加法逐杆逐段作内力图。,3、刚架内力计算一般步骤,刚结点平衡直接应用：单刚结点上无集中力偶时，结点两侧杆端弯矩大小相等转向相反，M图位于结点同侧。复刚结点力矩方程可求。,杆端内力的快速计算：正确选择隔离体，结合心算杆端剪力：杆端一侧所有外力垂直轴线方向代数和杆端轴力：杆端一侧所有外力沿轴线方向代数和杆端弯矩：杆端一侧所有外力对截面形心代数和,4、静定刚架内力分量表示引入双下标区分内力所处的杆端：如，FNAB,FQAB,MAB第一个下标：内力所属杆件的近端截面编号；第二个下标：内力所属杆件的远端截面编号。5、刚架内力正向及内力图绘制规定1）内力正向规定：轴力拉；剪力绕隔离体顺时针转；杆端弯矩任意假设，但须注明实际转向。2）FQ和FN图画在杆件任一侧，但必须标正、负号；M图务必画在受拉侧，不必标正负号。,解：（1）求支座反力,6、算例举例,（2）求主要控制截面内力,（3）作内力图,M图,FQ图,FN图,7、少求或不求反力绘制刚架M图,1.弯矩图的形状特征2.刚结点力矩平衡3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合)4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)5.分段叠加法,依据,M图（线）绘制：结合分段叠加法直线段确定2个点！直线连接；曲线段确定3个点！光滑曲线连接。,例题1,FPa,FPa,例题2,M图,M图,1、桁架定义及简化:完全由单链杆构成的格构体系,四、静定平面桁架,内力特点：内力只有轴力，受拉为正。,2、桁架结构的分类,3、桁架内力计算方法结点法,取一个结点（隔离体）为研究对象，用汇交力系的平衡方程求解各杆内力的方法。,FN=0,FN=0,1）结点单杆：以结点为平衡对象仅用一个方程求出内力的杆件。2）零杆：内力为零的杆件,4、结点单杆（零杆）的应用,L型结点,K型结点,Fx=0;Fy=0,判断结构中的零杆数,（6根）,（7根）,判断结构中的零杆数,（7根）,（10）根,通过假想截面截取桁架的局部（几何不变部分）作为隔离体，由平面任意力系平衡方程FR=0，M=0求得杆件未知轴力用于求解某些杆件轴力。,4、桁架内力计算截面法,截面单杆的应用（相交型和平行型）,a杆为截面单杆,例题求桁架指定杆件的内力,解：（1）求支座反力,（2）求1，3杆内力。作截面m-m，取右部分为隔离体,特别说明：若求出的桁架杆件内力为压力，必须加上负号，或者注明受压，否则判错！,5、桁架内力计算联合法,五、刚体体系的虚功原理,1、原理描述：设体系作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功之和=0。,虚功方程：-FPP+FByB=0,2、虚功原理的两种应用1）虚设位移，求实际未知力-虚位移原理（虚位移原理特点:用几何法来解静力平衡问题）,（1）撤去与FX相应的约束。静定结构变成机构，相应约束力FX视为主动力FX。（2）令机构沿约束力FX方向发生符合约束条件的单位虚位移X=1（单位支座位移）（3）利用虚功方程求出未知约束力FX。注意虚功的正负方向一致为正，反之为负！,虚位移原理计算步骤,1,例1求弯矩MC,变形后，截面左右杆段夹角由0变1,注意：内力是成对出现的,2）虚设力，求实际位移-虚力原理（虚力原理特点:用静力平衡法来解几何问题，在第五章位移计算中用到）,基本性质：静定结构是无多余约束的几何不变体系（几何特征）；其全部内力和反力仅由平衡条件就可唯一确定（静力特征）。,六、静定结构总论,第4章影响线,1）掌握影响线的概念和绘制基本方法。2）熟练掌握用静力法和机动法绘制静定梁的影响线。,一、移动荷载和影响线概念,1、移动荷载大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载。2、影响线：单位移动荷载(Fp=1)作用下某物理量Z随荷载位置变化规律的曲线。单位：剪力，无；弯矩：m,在作力的影响线时，无论是静力法还是机动法，所影响线的正负与反力和内力正向规定有关：反力：支座反力向上为正内力：剪力：绕隔离体顺时针转动为正弯矩：梁下侧纤维受拉为正轴力：拉力为正,3、影响线分类,按结构静定性,按其物理意义,力的影响线,位移影响线,静定结构影响线（折线）,超静定结构影响线（曲线）,4、影响线作法：（1）静力法（2）机动法,二、静力法,FBy影响线方程,FBy影响线,FAy影响线,FAy影响线方程,无量纲,利用静力平衡条件建立影响线方程（某量随荷载位置变化的影响函数），然后由影响函数作图的方法。,三、机动法作影响线,1、理论基础:刚体虚功原理之虚位移原理,2、机动法步骤1）去掉与所求量相应的约束,代之相应的约束反力（按正向假定）,体系变为几何可变（机构）。2)令体系沿约束反力方向发生符合约束条件的单位虚位移（z=1），确定各关键截面的位移竖值。虚位移图即为该量的影响线,3)判断影响线的正负,基线上方为正，反之为负。,优点：不必具体计算就能迅速绘出影响线的轮廓。,例1、求图示梁K截面弯矩和剪力影响线影响线,3、应用举例,截面内力总是成对出现！,虚位移图,例2课本例4-3作静定多跨梁的MK、FQK、MC、FQE、FRD、FQB右、FQC左影响线,MK,MK影响线轮廓,MK影响线竖距,1,1,MK影响线(单位m),沿约束力方向产生单位位移,FQK影响线轮廓及竖距,FQK影响线,沿约束力方向产生单位位移,FQE影响线轮廓及竖距,FQE影响线,沿约束力方向产生单位位移,FQB右影响线轮廓及竖距,FQB右影响线,沿约束力方向产生单位位移,位移前后AB和BE平行,FQC左影响线轮廓及竖距,FQC左影响线,3/2,沿约束力方向产生单位位移,运动前后CE和CF平行,第五章结构位移计算,1）了解位移概念，掌握支座移动的位移计算；2）理解虚功原理的意义及在结构位移中的应用；3）掌握荷载产生的位移计算；4）熟练掌握图乘法计算结构位移；5）理解互等定理。,一、位移简介及支座位移计算,1、位移定义：结构变形线位移，角位移，相对线位移、角位移,3、计算位移目的（1）刚度校核（2）为力法、动力和稳定计算准备（3）施工要求,2、引起结构位移的原因（1）荷载作用（2）温度变化和材料胀缩（3）支座沉降（移动）和制造误差,4、基本假定：弹性，小变形，理想联结,5、虚功原理之虚力原理：虚设力，求实际位移；特点：用静力平衡法来解几何问题,（1）沿拟求位移方向（先假设方向）虚设单位荷载（或单位力），求出支座反力（或内力）（虚设力状态）；（2）建立虚功方程（虚设力状态在实际位移状态上所作的虚功之和注意是代数和！力和位移方向一致做正虚功，反之做负虚功）；（3）利用虚功方程求出未知的位移。,虚力原理（单位荷载法）计算步骤,6、静定结构支座移动的位移计算,直接利用虚功方程支座反力先任意假设方向，但实际方向须明确。建立虚功方程时，实际反力方向与支座位移方向一致，则作正虚功，反之作负虚功。,解：（1）求水平位移。假设位移向左，在K端虚设向左单位力，相应支座反力如图示,例：刚架的支座A给定位移为x，y，K截面的水平位移Kx，竖向位移Ky和转角K。,1,0,1,a,虚功方程,解：（2）求竖向位移。假设位移向下，在K端虚设向下单位力，相应支座反力如图示,1,1,0,3a,虚功方程,解：（3）求转角。假设转角为顺时针，在K端虚设顺时针单位力偶，相应支座反力如图示,1,0,0,1,虚功方程,1、原理依据：变形体虚功原理,二、结构位移计算一般公式,2、结构位移计算一般公式,3、计算步骤（1）在某点沿拟求位移方向虚设单位广义力；（2）计算单位广义力作用下，内力和反力；（3）代入公式积分求得。,4、广义位移与广义力对偶关系（共轭关系）,5、荷载作用时的位移计算公式,1）对梁和刚架：,2）对桁架：,3）对组合结构：或拱结构,1、适用结构：含有弯曲变形的直杆结构体系,三、图乘法及其应用,-Mp图的面积yc-Mp图的形心对应的M图的竖距。,2、计算公式,顶点：指曲线切线与杆轴重合或平行FQ=dM/dx=0,3、几种常见图形的面积和形心位置,4、注意事项在运用中体会！,1）图乘法的应用条件：（1）等截面直杆（或直杆段），EI为常数（2）两个M图中应有一个是直线yc应取自直线图中。,2）若与yc在杆件的同侧，yc取正值；反之取负值。3）如果两个图都是直线图形，则竖距yc可取自其中任一个图形，取自另一个图形！,4）分段图乘：若M图中一个是曲线，另一个是折线图形，务必先分段再图乘；,分段图乘,分块图乘,5）分块图乘：复杂的M图可分解为若干个简单图形再图乘。,5、算例分析,例1设EI为常数，求B和Cy,解：1）求B，假设为顺时针作Mp和图如图示,解：2）求Cy，假设向下作如图示,例2已知EI为常数，求刚架水平位移Cx，C,Mp图,ql2/2,ql2/8,解：1）求Cx，假设向右作Mp和图如图示,1,1,1,l,Mp图,ql2/2,ql2/8,1,1/l,1,解：2）求C，假设顺时针作Mp和图如图示,例3求刚架Cx，C,六、互等定理,1.功的互等定理：在线性变形体系中，第I状态的外力在第II状态位移上所做虚功，恒等于第II状态外力在第I状态位移上所做虚功。,第I状态,2.位移互等定理：第二个单位广义力引起，第一个单位广义力作用处沿第一广义力方向的位移，恒等于第一个单位广义力引起，第二个单位广义力作用处沿第二广义力方向的位移。,第二个下标为引起位移的原因,第一个下标为位移的方向或转向,3.反力互等定理：支座1发生单位广义位移时，引起的2支座中的反力，恒等于支座2发生单位广义位移时，引起的1支座中的反力。,4.反力位移互等定理：单位广义力引起的结构中某支座的反力，等于该支座发生单位广义位移时引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。,5、互等定理的应用举例,互等定理：,第6章力法,本章要求：1）理解力法的基本概念和基本原理；2）熟练掌握超静定刚架和梁的力法计算；3）理解对称性的应用及半结构的取法,一、概述,1、超静定结构与静定结构对照,1.力法-以多余约束力作为基本未知量。2.位移法-以结点位移作为基本未知量.3.混合法-力法和位移法联合.4.力矩分配法-近似计算方法.5.矩阵位移法-结构矩阵分析法之一.,2、超静定结构的计算方法,超静定次数=基本未知力的个数（多余约束数，变成基本结构所需解除的约束数）计算公式刚片体系：n=-W=-(3m-(3g+2h+r)铰接体系n=-(2j(b+r),3、超静定次数及多余约束去除,二、力法基本原理及其应用,1、力法的基本概念,原结构与基本体系受力和变形相同的条件：去掉多余约束处的位移相同。,2、力法基本原理：基本体系与原结构受力和变形相同，将求解原结构转化为求基本体系。,3、超静定结构力法典型方程,或写作矩阵方程,去除多余约束处的位移（变形）情况,柔度矩阵,力法典型方程的说明,1）力法典型方程的物理意义：基本结构在外部因素和多余未知力共同作用下产生的多余未知力方向上的位移，应等于原结构相应的位移。其实质是变形协调（位移协调方程）2）柔度系数ij：基本结构在Xj=1作用下，沿Xi方向的位移。第一个下标表示位移的方向，第二个下标表示产生位移的原因（ii主系数0;ij(ij)副系数0,or0）；kij(ij)称为副系数（0,or0,or=0)kij称为荷载系数表示基本结构在j=1作用下，在附加约束处沿i方向产生的附加约束力。3）根据反力互等定理，有kij=kji4）FiP称为荷载系数为基本结构在荷载作用下，在附加约束处沿i方向产生的附加约束力。,位移法典型方程说明,3、位移法计算步骤,1）选取基本体系（确定基本未知量数目）2）列位移法典型方程；3）求系数和自由项；作单位位移和外因（如荷载）下的弯矩图4）求解方程（组）5）作内力图（主要是M图）,4、算例举例,算例1,解：1）选取基本体系,基本体系,3）求系数和自由项作图，其中EI/6=I。则,2）列位移法典型方程,5）作M图,M（单位kN.m）,4）求解方程,思考题,例2用位移法计算图示刚架，并作弯矩图，EI=常数。,解：1）选取基本体系2）列位移法典型方程3）求系数和自由项；作图,4）求解方程,5）作M图,四、对称性的应用,q,C,B,l,A,F,E,EI=常数,D,l,l,对称结构在对称荷载作用下，变形是对称的，轴力和弯矩图对称，剪力图反对称；反对称内力=0.对称结构在反对称荷载作用下，变形是反对称的，轴力和弯矩图反对称，剪力图对称。正对称内力=0.,q,A,E,EI=常数,D,l,第8章力矩分配法,本章要求：熟练掌握力矩分配法原理及其计算,1、力矩分配法适用范围：连续梁和无侧移刚架,2、杆端弯矩的正负规定：与位移法规定相同,3、（结点）不平衡力矩：固结某刚结点时，交汇于该结点各固端弯矩代数和，以顺时针为正。,一、力矩分配法相关概念,4、转动刚度：使AB杆的A端产生单位转动，在A端所需施加的力矩称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB，与远端支撑条件及杆件几何