上海市浦东新区2015年高三三模数学(文科)试题带答案

浦东新区浦东新区 20152015 年高三综合练习年高三综合练习 数学试卷数学试卷( (文科答案）文科答案） 注意：注意：1. 1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚；答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚； 2. 2. 本试卷共有本试卷共有 2323 道试题，满分道试题，满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟. . 一、填空题：一、填空题： （本大题满分（本大题满分 5656 分，每小题分，每小题 4 4 分）本大题共有分）本大题共有 1414 小题，考生应在答题纸相应小题，考生应在答题纸相应 的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1若集合A x1 x 3，集合B x x 2，则A B 1, 2 2函数f (x) x2,(x 2)的反函数是y x, ( x 4) 3过点(1,0)且与直线2x y 0垂直的直线的方程x2y 1 0 4已知数列an为等比数列，前n项和为S n ，且a5 2S 4 3，a 6 2S 5 3，则此数 列的公比q 3 5如果复数z满足z i z i 2（i是虚数单位） ，则| z |的最大值为1 6函数y cos2x的单调增区间为 k 2 ,k（k Z） 4 7 行列式3 2k 则实数k= 14 4中第2行第1列元素的代数余子式的值为10， 2 5 11 y2 1 的两个焦点，8设F 1 ,F 2 是双曲线x 且3PFP是双曲线上的一点， 1 4PF 2 ， 24 2 则PF 1F2 的周长24 9设A、B、C、D是球面上的四个点， 且在同一个平面内，AB BC CD DA 1， 球心到该平面的距离是球半径的 38 2 倍，则球的体积是 23 10从3名男生和4名女生中选出4人组成一个学习小组若这4人中必须男女生都有的概 率为 34 35 11数列a n中， a n1 1a n 且a1 2，则数列an前2015项的积等于 3 1a n 12若a,b,c均为平面单位向量,且a b c ( 标表示） 3 3 3 ,)，则 c 22 31 （用坐 2 , 2 x y3 0 P c o s A O P 13 已知P(x, y)满足约束条件x y1 0，O为坐标原点，A(3,4)， 则O x1 0 11 . 5 14记符号minc 1,c2, ,c n表示集合 c 1,c2, 的最大值是 列an满足a i a i1 ,c n中最小的数已知无穷项的正整数数 iN N，令 b k minn |a n k,k N N，若b k 2k 1，则数 列an前 100 项的和为2550 二、选择题二、选择题( (本大题共有本大题共有 4 4 题，满分题，满分 2020 分分) ) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项 是正确的，选对得是正确的，选对得5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 . . a 1xb1 y c 1, 15 二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（D） a xb y c 222 ab A系数行列式D 0B比例式 11 a 2 b 2 a 1 b 1 C向量 ,不平行 D 直线a 1xb1y c1,a2x b2 y c 2 不平行 a2 b2 16用符号x表示不小于x的最小整数，如 4，1.2 1则方程x x 1 在 2 (1,4)上实数解的个数为 （D） A0B1C2D3 x2 y21的左顶点如果存在过点Mx 0,0 ,x 0 0的直线交椭圆 17已知P为椭圆 4 于A、B两点， 使得SAOB 2SAOP， 则x 0的取值范围为 （C） A1, 3 B 3,2 C1,2 D1, 18在圆锥PO中，已知高PO=2，底面圆的半径为1；根据圆锥曲线的定义，下列四个图 中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，其中点M为所在母线的中点，O为 底面圆的圆心， 对于下面四个命题， 正确的个数有（C） 圆的面积为 ； 4 椭圆的长轴长为 13； 双曲线两渐近线的夹角为arcsin 4 ； 5 抛物线中焦点到；准线的距离为 5 5 A1 个B2 个C 3 个D4 个 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 5 题，满分题，满分 7474 分）解答下列各题必须写出必要的步骤分）解答下列各题必须写出必要的步骤 1919 （本题满分（本题满分 1212 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第（个小题，第（1 1）小题满分）小题满分 5 5 分，第（分，第（2 2）小题满分）小题满分 7 7 分分. . 如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与圆 B A C O D E O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段 CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，且 AE 1 （1）求异面直线CB与DE所成角的大小； CD （及其内部） 绕AE所在直线旋转一周形成一几何体， 求该几何体体积（2）将A 解：（1）因为CB / DA，AE垂直于圆O所在平面，所以AE DE， 所以，ADE为异面直线CB与DE所成的角 2 分 在RtAED中，AE 1，DA 2，所以sinADE 即异面直线CB与DE所成的角为 1 ，得ADE ， 26 5 分 6 （2）由题意知，将ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两 圆锥的体积之差 因为异面直线CB与DE所成的角为 ，且CB / DA，所以ADE ，7 分 66 又因为AE 1，所以，在RtAED中，DE 3，DA 2 9 分 因为CE为圆O的直径，所以CDE 2 ，在RtCDE中， CD DA 2，DE 3，所以CE 7 10 分 所以该几何体的体积V 114 CE2 AE DE2 AE 12 分 333 2020 （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第（个小题，第（1 1）小题满分）小题满分 6 6 分，第（分，第（2 2）小题满分）小题满分 8 8 分分. . 如图在半径为5 cm的圆形的材料中，要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL,其为 一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形 （O为圆心） （1）若要使截出的“十字形”的边长相等（DE CD） （图1）,此时边长为多少？ （2）若要使截出的“十字形”的面积为最大（图2） ，此时DOE为多少？（用反三 角函数表示） 图（1）图（2） 解： （1） 当 “十字形” 的边长相等时， 过O作OM DE交DE于E， 作CNOM交OM 于N设该“十字形”的边长为2x，则DM x，OM 3x 在RtOMD中，由勾股定理得，x 3x 25 x 2 2 5 5 分 2 所以，边长2x 5cm6 分 （2）过O作OM DE交DE于E，作CNOM交OM于N设DOM ， 则OM 5cos,DM 5sin ON CN 5sin，NM 5cos5sin8 分 所以， “十字形”的面积为 S (2OM)24(NM)2100cos2100(cossin)2100( 51 sin(2) 22 （ 其中cos 12 5 或tan ） 0 10 分 252 所以，当2 2 时，S max 505 1 cm2 12 分 此时，DOE 2 2 arccos 12 5 或 arctan 14 分 225 2121 （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第（个小题，第（1 1）小题满分）小题满分 6 6 分，第（分，第（2 2）小题满分）小题满分 8 8 分分. . 设函数f (x)对任意x R，都有f (2x) a f (x)，其中a为常数当x1,2)时， f (x) sin( 2 x) （1）设a 0，f (x)在x4,8)时的解析式及其值域； （2）设1 a 0，求f (x)在x1, )时的值域 解： （1）当x4,8)时，于是 x 1,2)，又f (2x) af (x) 4 2 所以f (x) af ( ) a f ( )即f (x) a sin( x 2 2 x 4 8 x)3 分 28 （2）由于1, ) 1,2)2,22)22,23)2n,2n1) 对于x2n,2n1)(n N)得 于是f (x) af ( ) a f ( 所以f (x) a sin( n x4,8) x 0 f (x) a2即f (x)在x4,8)时的值域为(0,a26 分 只研究函数f (x)在2n,2n1)(n N)值域即可7 分 x 1,2) 2n x 2 2 xx n) a f () 2n22 x 2n1 )x2n,2n1)(n N)9 分 22 因为1 a 0 2 x n1 0 sin( x 2n1 ) 1 nnn1 所以当n为偶数时，f (x)在2 ,2)(n N)上单调减，值域为(0,a ； 且(0,1 (0,a (0,a (0,a 10 分 nn1n 当n为奇数时，f (x)在2 ,2)(n N)上单调增，值域为a ,0) 42k 且a,0) a ,0) a ,0) a,0) 12 分 所以f (x)的值域为a,0)(0,114 分 2222 （本题满分（本题满分 1616 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第（个小题，第（1 1）小题满分）小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 6 6 分分. . 已知在数列an中，a11 （1）设an1 2an1（n N） ，求数列an的通项公式； （2）若an1 352k1 a n 1 当n为偶数时 ，求数列an的前2m项和S 2m ； 当n奇数时 2a n 1 时，是否存在一个常数p，使a2n p a2n1对任意正整数n都 a n 1 （3）当an1 成立？如果存在，请求出p的值，并证明；如果不存在，请说明理由 解： （1）由题意an1 2an1，令an1 x 2an x，比较得到x 1， 故有an11 2an1，所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，2 分 因此a n 1 22n1 2n，所以a n 2n1，n N。4 分 （2）由题意可知a2n1 a2n1，a2n 2a2n1，所以a2n1 2a2n11， 由a11，可得到a 2n1 1 2n，a 2n1 2n1，n N 所以a2n11 2(a2n11)，所以数列a2n11是以 2 为首项，2为公比的等比数列， 又因为a2n2 2a2n1 2a2n1，所以a2n2 2a2n 26 分 由a2 2，同样可以求得a 2n 2n1 2，n N8 分 所以S 2m a 1 a 2 a 3 a 4 a 2m1 a 2m a 1 a 3 a 2m1 a 2 a 4 a 2m 2m23m1 2 2 2m 2 2 22m m12m)(2m242m) (2 m13m 6，即S 2m 32m13m 610 分 32 1 （3）因为f (x) 在0, 上单调递减且f (x) 0， x 1 由an1 f (an)，a11可知数列an中的各项均满足0 an1 由要证明不等式的结构可令f (x) x，解得x 故猜想：0 a2n 5 1 ， 2 5 1 a 2n1 1，13 分 2 112 ，a3 f ( ) ， 223 下面用数学归纳法证明： 证明：（i）当n 1时，a2 f (1) 所以0 a2 5 1 a 3 1，命题成立； 2 （ii）假设n k k N 时，命题成立，即有0 a 2k 由于f (x)在区间0, 上单调递减， 所以f (0) f (a2k) f ( 即0 5 1 a 2k1 1， 2 51 ) f (a 2k1 ) f (1) 2 151 a 2k2 a 2k1 1， 22 再次利用函数f (x)在区间0, 上单调递减， 得到f (0) f (a2k2) f ( 5 1) f (a 2k1 ) f (1)， 2 15 1 a 2k2 a 2k3 1， 22 所以n k 1时命题也成立， 5 1 所以0 a2n a2n11 2 5 1 即存在常数p ，使a2n p a2n1对任意正整数n都成立。16 分 2 即0 2323 （本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第（个小题，第（1 1）小题满分）小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分. . 如图，矩形 ABCD 中，AB 2,BC 4，以矩形ABCD的 中心为原点， 过矩形ABCD的中心平行于BC的直线为x轴， 建 立直角坐标系， （1）求到直线AD、BC的距离之积为 1 的动点P的轨迹； （2）若动点P到线段CD中点N的距离比到直线AB的距 离大 4，求动点P的轨迹方程，作出动点P的大致轨迹； A A 2 2 B B 4 4 D D C C （3）若动点P到直线AD、BC的距离之积是到直线AB、CD的距离之积的aa 0 倍，求动点P的轨迹方程，并指出是怎样的曲线 解： （1）如图，设P(x, y)，则y 1 y 1 1.2 分 化简得y 2