二次函数与实际问题

实际问题与二次函数一、利用函数求图形面积的最值问题一、 围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（1） 设矩形的一边长为 米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；（2） 当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米）， 根据题意，得：；又（2）中，a= -10，y有最大值，即当时，故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。2、 只围三边的矩形的面积最值例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（）（米）， 根据题意，得：；又中，a=0，y有最大值，即当时，故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。3、 围成正方形的面积最值例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm 由题意得： 解得： 当时，20-x=4；当时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。（2）不能 理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为cm，围成两个正方形的面积为ycm2，根据题意，得：，中，a= 20，y有最小值，即当时， =12.512,故两个正方形面积的和不可能是1 2cm2.练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.答 （1）y=2x2-2ax+a2 (2) 有.当点E是AB的中点时，面积最大.二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .图（1） 图（2）.练习 1某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上 ，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是.请回答下列问题：(1)柱子OA的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？ 答 （1） （2） （3） 2一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.求抛物线的解析式；要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.求圆的半径；要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? 答 （1）；10； （2）14.5；三、利用抛物线解决最大利润问题例题1 某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y10x500.（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本进价销售量) （3分）答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600.练习 1某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元只)之间的函数关系式为 ；（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元只)之间的函数关系式；（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元 答(1）y=-3x+240；(2)w=-3x2+360x-9600；(3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.2，一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：. 设这种产品每天的销售利润为w元.（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 答（1）；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大 销售利润200元3某公司营销两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售种产品所获利润(万元)与所售产品(吨)之间存在二次函数关系.当时， ；当时，信息2：销售种产品所获利润 (万元)与所售产品(吨)之间存在正比例函数关系根据以上信息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式；(2)该公司准备购进两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？答 二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x； （2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，-0.10，当m=6时，W有最大值6.6， 购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元 4为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 答 （1）政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.5某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x的式子表示）；（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 答 （1）（22010x）；（2）（）当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元6一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：x3000320035004000y100969080（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元用含x（x3000）的代数式填表:租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月收益 所有未租出的车辆每月的维护费 （3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元 解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为，将（3000，100），（3200，96）代入得，解得： 。将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。y与x间的函数关系是。（2）填表如下：租出的车辆数未租出的车辆数租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：当x=4050时，Wmax=307050，当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元4， 二次函数与几何图形 类型1二次函数与相似三角形的存在性问题1(2017襄阳)边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DEDC，DEDC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒过点P作PFCD于点F.当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与COD相似？(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 (1)过点E作EGx轴于G点。抛物线的解析式为y=13(x2)2+23；(2)：t=1或t=52时，以点P，F，D为顶点的三角形与COD相似；(3)存在，四边形MDEN是平行四边形时,M1(2,1),N1(4,2)；四边形MNDE是平行四边形时,M2(2,3),N2(0,2)；四边形NDME是平行四边形时,M3(2,13),N3(2,23).类型2二次函数与平行四边形的存在性问题2(2018曲靖)如图，抛物线yax2bxc与坐标轴分别交于A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点(1)求抛物线的解析式；(2)F是抛物线对称轴上一点，且tanAFE ，求点O到直线AF的距离；(3)点P是x轴上的一个动点，过P作PQOF交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由 解（1）抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.（2）点O到AF的距离为655.（3）存在，符合条件的点P有三个，即：P1（-22，0），P2（22，0），P3（-2，0）.类型3二次函数与直角三角形的存在性问题3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线ykxn(k0)经过B、C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC5.(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 解 （1）抛物线解析式为y=34x2154x+3；(2)存在。P1(52,193),P2(52,2),P3(52,3+262),P4(52,3262).类型4二次函数与等腰三角形的存在性问题4如图，已知抛物线yax2bxc(a0)交于x轴于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C(0，2)(1)求抛物线的解析式； (2)若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求BCM的面积； (3)连接AC，在x轴上是否存在 点P，使ACP为等腰三角形；若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 解 (1)y=25x2+85x+2；(2)SBCM=SOBMNSOBCSMNC=12(2+5)185125212(1852)2=6；(3)存在P1、P2、P3、P4四个点,它们的坐标分别是P1(15,0)、P2(51,0)、P3(32,0)、P4(1,0).类型5二次函数与图形面积问题5如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于点A(2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动当PBQ存在时，求运动多少秒使PBQ的面积最大，最大面积是多少？(3)当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使SCBKSPBQ52，求K点坐标 解 (1)抛物线的解析式为：y=38x234x3;(2)运动1秒使PBQ的面积最大,最大面积是910；(3)K1(1,278),K2(3,158).类型6二次函数与最值问题6如图，顶点为A的抛物线ya(x2)24交x轴于点B(1，0)，连接AB，过原点O作射线OMAB，过点A作ADx轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD.(1)求抛物线的解