9．1 平面的性质与确定

,9.1平面的性质与确定,平面图形,点、线、面是空间的三种基本要素.点是空间的最基本的要素.,空间图形是由点、线、面所构成，也可以看成是空间点的集合，记作U.,直线也是空间的基本要素.空间中两个不同的点确定一条直线.,空间的基本要素,平面,平面：,平面是无限伸展的平坦的图形.,平面,平面的概念：,平面的画法：,平面是无限伸展的平坦的图形.,通常用平行四边形来表示平面.,如：平面平面ABCD平面AC,平面的表示法：,注：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成等于邻边的两倍.,相交平面的画法,画相交平面时，虚线实线要清楚.,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画.,平面,练习,1.能不能说一个平面有边界？为什么？2.能不能说点A在平面的边界上？为什么？3.一个平面能把空间分成几部分？4.能不能说一个平面长4米，宽2米？为什么？,5观察下面图形，说明它们的摆放位置不同,（1）,（2）,练习,点、线、面的位置关系（集合语言表示法）,点A在直线l上，,点B不在直线l上，,A,B,点A在平面内，,点B在平面外，,直线l在平面内,表示为：,直线l在平面外,表示为：,表示为：,直线l与平面相交,直线a与b相交于点A,表示为：,平面的基本性质,如果一条直线上的两不重合的点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内,公理1,A,B,(作用：证明直线在平面内),公理2,如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线,(作用：证明两个平面相交),经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.（不共线的三点确定一平面）,公理3,A,C,B,(作用：确定平面),经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.,推论1,A,(作用：确定平面),B,c,经过两条相交直线有且只有一个平面.,推论2,(作用：确定平面),A,经过两条平行直线有且只有一个平面.,推论3,(作用：确定平面),补充：,1、平行公理：,空间中，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。,2、共面与不共面：,如果几个点（或几条直线）在同一个平面内，则称这些点（或这些直线）共面；否则称它们不共面。,应用,例1证明：两两相交且不过同一个点的三条直线共面.,证明：设直线AB，BC，CA两两相交，交点分别为B、C、A，如图所示：,直线AB，BC，CA共面.,例2证明：如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面.,证明：设直线ab，ac=A，bc=B，如图：,直线a，b可以确定一个平面,A，且B,直线a，b，c共面.,证明直线共面的基本步骤：,（1）根据公理三及它的三个推论，由已知中的某些条件确定一个平面.,（2）再利用公理一证明其它的直线在此平面上.,（3）说明有关直线共面.,练习,1.判断题：（1）每个平面都有确定的面积.（错）（2）经过一点和一条直线有且只有一个平面.（错）（3）若线段AB在平面内，则直线AB在平面内.（对）（4）若平面与有三个不共线的公共点，则这两个平面一定重合.（对）（5）三点确定一个平面.（错）（6）四边形一定是平面图形.（错）（7）平面与相交于不同在一条直线上的三