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文档简介
.2016年江苏省高考数学热身卷一、填空题:本题共14个小题,每小题5分,共70分1设集合A=x|1,B=x|y=,则A(RB)等于2若复数(aR,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为3已知平面向量的夹角为60,=(2,0),|=1,则|2|的值为4已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料从这5瓶饮料中随机取2瓶,则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为5如图是一个算法的伪代码,其运行的结果S 为6已知直线l平面,直线m平面,则下列四个命题:lm;lm;lm;lm其中正确命题的序号是7已知双曲线=1 的一个实轴端点恰与抛物线y2=4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于2,则该双曲线的方程为8已知数列an 满足a1=2,an+1=(nN*),则a1a2a3a2010 的值为9已知函数(xR)的最大值为M,最小值为m,则M+m=10在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2=a2+bc,且=4,则ABC的面积等于11已知函数f(x)及g(x)(xD),若对于任意的xD,存在x0,使得f(x)f(x0),g(x)g(x0)恒成立且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知函数f(x)=x2+px+q(p,qR),g(x)=是定义在区间,2上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间,2上的最大值为12已知定义在(,+) 上的函数f(x)=,则方程f(x)+1=log4|x|的实数解的个数是13在平面直角坐标系xOy中,若动点P(a,b)到两直线l1:y=x和l2:y=x+2的距离之和为,则a2+b2的最大值为14设正实数x,y,z满足x23xy+4y2z=0,则当取得最大值时,的最大值为三、解答题:本大题共6小题,共90分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15已知函数(其中0),若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为(I)求y=f(x)的单调递增区间;()在ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足(2ba)cosC=ccosA,则f(B)恰是f(x)的最大值,试判断ABC的形状16如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,ACBD,AC与BD交于点O,且平面PAC底面ABCD,E为棱PA上一点(1)求证:BDOE;(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证:EO平面PBC17某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中AD=60m,AB=40m,且EFG中,EGF=90,经测量得到AE=10m,EF=20m为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点G作一直线交AB,DF于M,N,从而得到五边形MBCDN的市民健身广场,设DN=x(m)(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数;(2)当x为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积18已知A(x0,0),B(0,y0)两点分别在x轴和y轴上运动,且|AB|=1,若动点P(x,y)满足(I)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程;()一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P,Q两点,若以PQ直径的圆恰过原点,求出直线方程;()直线l2:x=ty+1与曲线C交于A、B两点,E(1,0),试问:当t变化时,是否存在一直线l2,使ABE的面积为?若存在,求出直线l2的方程;若不存在,说明理由19已知各项均为正数的两个无穷数列an、bn满足anbn+1+an+1bn=2nan+1(nN*)()当数列an是常数列(各项都相等的数列),且b1=时,求数列bn的通项公式;()设an、bn都是公差不为0的等差数列,求证:数列an有无穷多个,而数列bn惟一确定;()设an+1=,Sn=,求证:2620已知函数f(x)=lnxx,aR(1)当a=0时,求函数f(x)的极大值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当a1时,设函数g(x)=|f(x1)+x1+|,若实数b满足:ba且g()=g(a),g(b)=2g(),求证:4b5附加题21选修42:矩阵与变换已知曲线C:y2=2x,在矩阵M=对应的变换作用下得到曲线C1,C1在矩阵N=对应的变换作用下得到曲线C2,求曲线C2的方程22在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=,曲线C的参数方程为(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;(2)过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点,若|MA|MB|=,求点M轨迹的直角坐标方程23某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序,每道工序都要经过相互独立的工序检查,且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序,两道工序都合格,产品才完全合格,经长期监测发现,该仪器第一道工序检查合格的概率为,第二道工序检查合格的概率为,已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器(I)求本月恰有两台仪器完全合格的概率;()若生产一台仪器合格可盈利5万元,不合格则要亏损1万元,记该厂每月的赢利额为,求的分布列和每月的盈利期望24如图,已知定点R(0,3),动点P,Q分别在x轴和y轴上移动,延长PQ至点M,使,且(1)求动点M的轨迹C1;(2)圆C2:x2+(y1)2=1,过点(0,1)的直线l依次交C1于A,D两点(从左到右),交C2于B,C两点(从左到右),求证:为定值2016年江苏省高考数学热身卷参考答案与试题解析一、填空题:本题共14个小题,每小题5分,共70分1设集合A=x|1,B=x|y=,则A(RB)等于(0,1)【考点】交、并、补集的混合运算【分析】由题意,可先解分式不等式和指数不等式,化简集合A,B,再求出B的补集,再由交的运算规则解出A(RB)即可得出正确选项【解答】解:由1即为10,即0,即为x(x1)0,解得0x1,A=(0,1),由2x160,即2x16=24,解得x4,B=4,+),RB=(,4),A(RB)=(0,1) 故答案为:(0,1)2若复数(aR,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为3【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0求得a值【解答】解:=是纯虚数,解得:a=3故答案为:33已知平面向量的夹角为60,=(2,0),|=1,则|2|的值为2【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量的数量积运算性质即可得出【解答】解:平面向量的夹角为60,=(2,0),|=1,|2|=2故答案为:24已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料从这5瓶饮料中随机取2瓶,则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为frac710【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】求出从6瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数,取出的2瓶不是果汁类饮料的种数,利用对立事件的概率可求得所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率【解答】解:从5瓶饮料中随机抽出2瓶,所有的抽法种数为=10(种),取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为=3(种)所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P=1=故答案为:5如图是一个算法的伪代码,其运行的结果S 为25【考点】伪代码【分析】根据题意,可知该循环变量的初值为3,终值为9,步长为2,代入模拟程序的运行过程,即可得出答案【解答】解:由于循环变量的初值为3,终值为9,步长为2所以该程序运行后输出的是算式S=1+3+5+7+9=25故答案为:256已知直线l平面,直线m平面,则下列四个命题:lm;lm;lm;lm其中正确命题的序号是【考点】平面的基本性质及推论【分析】直线l平面,直线m平面,当有lm,当有lm或l与m异面或相交,当lm有,当lm有或,得到结论【解答】解:直线l平面,直线m平面,当有lm,故正确当有lm或l与m异面或相交,故不正确当lm有,故正确,当lm有或,故不正确,综上可知正确,故答案为:7已知双曲线=1 的一个实轴端点恰与抛物线y2=4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于2,则该双曲线的方程为x2fracy23=1【考点】双曲线的简单性质【分析】先求出抛物线的焦点坐标,求出a=1,结合离心率求出,c,b的值即可得到结论【解答】解:抛物线线y2=4x 的焦点坐标为(1,0),双曲线=1 的一个实轴端点恰与抛物线y2=4x 的焦点重合,a=1,双曲线的离心率等于2,=2,则c=2,b2=c2a2=41=3,则双曲线的方程为:x2=1,故答案为:x2=18已知数列an 满足a1=2,an+1=(nN*),则a1a2a3a2010 的值为6【考点】数列递推式【分析】根据递推公式依次求出a2、a3、a4、a5,归纳出规律求出数列的周期,根据数列的周期性求出式子的值【解答】解:a1=2,an+1=(nN*),a2=3,同理可求a3=,a4=,a5=2,数列an的周期为4,且a1a2a3a4=1,a1a2a3a4a2009a2010=a1a2=2(3)=6,故答案为:69已知函数(xR)的最大值为M,最小值为m,则M+m=2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】先把函数变形为,令,可判断函数g(x)的奇偶性,据此找到g(x)的最大值与最小值之间的关系,在有f(x)=1+g(x),求出f(x)的最大值与最小值之和【解答】解:函数可变形为令,则=g(x),g(x)为奇函数设当x=a时g(x)有最大值g(a),则当x=a时,g(x)有最小值g(a)=g(a)f(x)=1+g(x),当x=a时f(x)有最大值g(a)+1,则当x=a时,f(x)有最小值g(a)+1即M=g(a)+1,m=g(a)+1,M+m=2故答案为210在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2=a2+bc,且=4,则ABC的面积等于2sqrt3【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;正弦定理【分析】利用已知表达式,通过余弦定理求出cosA,求出sinA,通过向量的数量积求出bc的值,然后求出三角形的面积【解答】解:因为b2+c2=a2+bc,所以cosA=,sinA=因为,所以,bccosA=4,bc=8,ABC的面积:S=2故答案为:211已知函数f(x)及g(x)(xD),若对于任意的xD,存在x0,使得f(x)f(x0),g(x)g(x0)恒成立且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知函数f(x)=x2+px+q(p,qR),g(x)=是定义在区间,2上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间,2上的最大值为2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】化简g(x)=x+1,从而由基本不等式可判断g(x)在x=1处取得最小值1;从而可知f(x)在x=1处取得最小值1,再由二次函数的顶点式写出f(x)=(x1)2+1,从而求函数的最大值【解答】解:g(x)=x+121=1;(当且仅当x=,即x=1时,等号成立)g(x)在x=1处取得最小值1;又f(x)与g(x)是定义在区间,2上的“兄弟函数”,f(x)在x=1处取得最小值1;f(x)=x2+px+q=(x1)2+1;又|1|21|,fmax(x)=f(2)=1+1=2;故答案为:212已知定义在(,+) 上的函数f(x)=,则方程f(x)+1=log4|x|的实数解的个数是6【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】在同一坐标系中作出y=f(x),及y=log4|x|1的图象,根据图象交点的个数,即可得出结论【解答】解:在同一坐标系中作出y=f(x),及y=log4|x|1的图象,如图所示,方程f(x)+1=log4|x|的实数解的个数是6故答案为:613在平面直角坐标系xOy中,若动点P(a,b)到两直线l1:y=x和l2:y=x+2的距离之和为,则a2+b2的最大值为18【考点】点到直线的距离公式【分析】利用点到直线的距离公式可得:|ab|+|a+b2|=4通过分类讨论可知:点(a,b)是如图所示的正方形的4条边即可得到最大值【解答】解:动点P(a,b)到两直线l1:y=x和l2:y=x+2的距离之和为,化为|ab|+|a+b2|=4分为以下4种情况:或或或可知点(a,b)是如图所示的正方形的4条边可知:当取点A时,取得最大值=a2+b2的最大值为18故答案为:1814设正实数x,y,z满足x23xy+4y2z=0,则当取得最大值时,的最大值为3【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】将z=x23xy+4y2代入,利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件,用x,z表示y后利用配方法求得的最大值【解答】解:x23xy+4y2z=0,z=x23xy+4y2,又x,y,z为正实数,=+323=1(当且仅当x=2y时取“=”),即x=2y(y0),取得最大值1z=x23xy+4y2=2y2,=+2=(1)2+3y=1时,的最大值为3故答案为:3三、解答题:本大题共6小题,共90分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15已知函数(其中0),若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为(I)求y=f(x)的单调递增区间;()在ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足(2ba)cosC=ccosA,则f(B)恰是f(x)的最大值,试判断ABC的形状【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;正弦定理【分析】由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2x),由题意可得周期T=,可得=1,进而可得f(x)=sin(2x),根据正弦函数的图象和性质即可求出单调增区间;()由由正弦定理以及角的和差公式,求出,即C=,根据正弦函数的性质,求出,即ABC为等边三角形【解答】解:(),=,f(x)的对称轴离最近的对称中心的距离为,T=,=1,得:,函数f(x)单调增区间为;()(2ba)cosC=ccosA,由正弦定理,得(2sinBsinA)cosC=sinCcosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),sin(A+C)=sin(B)=sinB0,2sinBcosC=sinB,sinB(2cosC1)=0,0C,根据正弦函数的图象可以看出,f(B)无最小值,有最大值ymax=1,此时,即,ABC为等边三角形16如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,ACBD,AC与BD交于点O,且平面PAC底面ABCD,E为棱PA上一点(1)求证:BDOE;(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证:EO平面PBC【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质【分析】(1)由面面垂直的性质得BD平面PAC,由此利用线面垂直的性质能证明BDOE(2)由已知得=2,由ABCD,AC与BD交于点O,得,从而利用平行线分线段成比例定理得OEPC,由此能证明EO平面PBC【解答】(1)证明:在四棱锥PABCD中,ACBD,且平面PAC底面ABCD,BDAC=O,BD平面PAC,OE平面PAC,BDOE(2)证明:AB=2CD,AE=2EP,=2,ABCD,AC与BD交于点O,AOBCOD,OEPC,EO平面PBC,PC平面PBC,EO平面PBC17某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中AD=60m,AB=40m,且EFG中,EGF=90,经测量得到AE=10m,EF=20m为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点G作一直线交AB,DF于M,N,从而得到五边形MBCDN的市民健身广场,设DN=x(m)(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数;(2)当x为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】(1)作GHEF,垂足为H,过M作MTBC交CD于T,求出,可得SMBCDW=SMBCT+SMTDN=,从而可得五边形MBCDN的面积y表示为x的函数;(2)将函数变形,利用基本不等式,可求市民健身广场的面积最大值【解答】解:(1)作GHEF,垂足为H,因为DN=x,所以NH=40x,NA=60x,因为,所以,所以过M作MTBC交CD于T,则SMBCDW=SMBCT+SMTDN=,所以=由于N与F重合时,AM=AF=30适合条件,故x(0,30,(2),所以当且仅当,即x=20(0,30时,y取得最大值2000,所以当DN=20m时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为2000m218已知A(x0,0),B(0,y0)两点分别在x轴和y轴上运动,且|AB|=1,若动点P(x,y)满足(I)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程;()一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P,Q两点,若以PQ直径的圆恰过原点,求出直线方程;()直线l2:x=ty+1与曲线C交于A、B两点,E(1,0),试问:当t变化时,是否存在一直线l2,使ABE的面积为?若存在,求出直线l2的方程;若不存在,说明理由【考点】平面向量数量积的运算;轨迹方程【分析】()根据向量的坐标运算,以及|AB|=1,得到椭圆的标准方程为()直线l1斜率必存在,且纵截距为2,根据直线与椭圆的位置关系,即可求出k的值,问题得以解决()根据直线和椭圆额位置关系,以及三角形的面积公式得到SABE=,令=2,则不成立,问题得以解决【解答】解:() 因为,即,所以,所以又因为|AB|=1,所以,即:,即,所以椭圆的标准方程为() 直线l1斜率必存在,且纵截距为2,设直线为y=kx+2联立直线l1和椭圆方程,得:(3+4k2)x2+16kx+4=0,由0,得(*),设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 (1)以PQ直径的圆恰过原点,所以OPOQ,即x1x2+y1y2=0,也即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0,即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,将(1)式代入,得+4=0,即4(1+k2)32k2+4(3+4k2)=0,解得,满足(*)式,所以所以直线方程为y=x+2()由方程组,得(3t2+4)y2+6ty9=0(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以,因为直线l:x=ty+1过点F(1,0),所以SABE=|EF|y1y2|=2=令=2,则不成立故不存在直线l满足题意19已知各项均为正数的两个无穷数列an、bn满足anbn+1+an+1bn=2nan+1(nN*)()当数列an是常数列(各项都相等的数列),且b1=时,求数列bn的通项公式;()设an、bn都是公差不为0的等差数列,求证:数列an有无穷多个,而数列bn惟一确定;()设an+1=,Sn=,求证:26【考点】数列与不等式的综合;数列递推式【分析】(I)设an=a0,利用数列an、bn满足anbn+1+an+1bn=2nan+1(nN*),可得bn+1+bn=2n,(nN*),于是当n2时,bn+bn1=2(n1)于是bn+1bn1=2可知:数列bn当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列,利用等差数列的通项公式即可得出;(II)设an、bn公差分别为d1、d2,可得其通项公式,代入anbn+1+an+1bn=2nan+1(nN*)可得a1+(n1)d1b1+nd2+(a1+nd1)b1+(n1)d2=2n(a1+nd1),对于任意n恒成立,可得,解出即可;(III)利用,可得an+1an=an=,于是anan+1利用anbn+1+an+1bn=2nan+1an+1bn+1+an+1bn,可得2nbn+1+bn又anbn+1=(2nbn)an+10,an+10,可得2nbn0可得,进而得出【解答】(I)解:设an=a0,数列an、bn满足anbn+1+an+1bn=2nan+1(nN*),bn+1+bn=2n,(nN*),于是当n2时,bn+bn1=2(n1)bn+1bn1=2可知:数列bn当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列,又,b1+b2=2,可得=, =,即(nN*)(2)证明:设an、bn公差分别为d1、d2,则an=a1+(n1)d,bn=b1+(n1)d2,代入anbn+1+an+1bn=2nan+1(nN*)可得a1+(n1)d1b1+nd2+(a1+nd1)b1+(n1)d2=2n(a1+nd1),对于任意n恒成立,可得,解得,可得an=na1,bn=n只有取a10可得数列an有无穷多个,而数列bn惟一确定;(3)证明:,an+1an=an=,anan+1anbn+1+an+1bn=2nan+1an+1bn+1+an+1bn,可得2nbn+1+bn因此=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2n1+b2n)21+3+(2n1)=2n2又anbn+1=(2nbn)an+10,an+10,2nbn0=2n(1+2n)=4n2+2n,20已知函数f(x)=lnxx,aR(1)当a=0时,求函数f(x)的极大值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当a1时,设函数g(x)=|f(x1)+x1+|,若实数b满足:ba且g()=g(a),g(b)=2g(),求证:4b5【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性【分析】(1)求导数,利用极值的定义,可得函数f(x)的极大值;(2)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可求函数f(x)的单调区间;(3)先证明(a1)(b1)=1,进而可得b1=令b1=t(t1),整理,得t33t2t1=0记h(t)=t33t2t1,h(t)在(1,1+)单调减,在(1+,+)单调增,又因为h(3)0,h(4)0,即可得出结论【解答】解:函数f(x)的定义域为(0,+)(1)当a=0时,f(x)=lnxx,f(x)=1,令f(x)=0得x=1 列表:x(0,1)1(0,+)f(x)+0f(x)极大值所以f(x)的极大值为f(1)=1 (2)f(x)=令f(x)=0得x2+x+a=0,记=1+4a()当a时,f(x)0,所以f(x)单调减区间为(0,+); ()当a=时,导数为零的根是,函数在(0,+)单调减(iii)当a时,由f(x)=0得x1=,x2=,若a0,则x1x20,由f(x)0,得0xx2,xx1;由f(x)0,得x2xx1所以,f(x)的单调减区间为(0,),(,+),单调增区间为(,); 若a=0,由(1)知f(x)单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+);若a0,则x10x2,由f(x)0,得xx1;由f(x)0,得0xx1f(x)的单调减区间为(,+),单调增区间为(0,) (3)g(x)=|ln(x1)|(x1)由g()=g(a),得ln|=|ln(a1)|1ab,b1=a1(舍),或(a1)(b1)=1b2 由g(b)=2g()得|ln(b1)|=2|ln (a1)+(b1)(*)因为=1,所以(*)式可化为ln(b1)=2ln (a1)+(b1),即b1= 令b1=t(t1),整理,得t44t3+2t2+1=0记h(t)=t44t3+2t2+1,h(t)=4t(t23t+1),令h(t)=0得t=(舍),t=,列表:t(1,)(,+)h(t)+h(t)所以,h(t)在(1,)单调减,在(,+)单调增,又因为h(3)0,h(4)0,所以3t4,从而4b5 附加题21选修42:矩阵与变换已知曲线C:y2=2x,在矩阵M=对应的变换作用下得到曲线C1,C1在矩阵N=对应的变换作用下得到曲线C2,求曲线C2的方程【考点】旋转变换【分析】设P(x,y)为曲线C2上任意一点,P(x,y)为曲线y2=2x上与P对应的点,根据矩阵变换得出 结合P是曲线C1上的点,求得C2的方程即可【解答】解:NM=设P(x,y)为曲线C2上任意一点,P(x,y)为曲线y2=2x上与P对应的点,=,得 P是曲线C1上的点,C2的方程(x)2=2y即y=22在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=,曲线C的参数方程为(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;(2)过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点,若|MA|MB|=,求点M轨迹的直角坐标方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程【分析】(1)利用极坐标与直角坐标方程的互化,直接写出直线l的普通方程,消去参数可得曲线C的直角坐标方程;(2)设点M(x0,y0)以及平行于直线l1的直线参数方程,直线l1与曲线C联立方程组,通过|MA|MB|=,即可求点M轨迹的直角坐标方程通过两个交点推出轨迹方程的范围,【解答】解:(1)直线l的极坐标方程为=,所
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