2016年江苏省高考数学热身卷(解析版)

.2016年江苏省高考数学热身卷一、填空题：本题共14个小题，每小题5分，共70分1设集合A=x|1，B=x|y=，则A（RB）等于2若复数（aR，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为3已知平面向量的夹角为60，=（2，0），|=1，则|2|的值为4已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为5如图是一个算法的伪代码，其运行的结果S 为6已知直线l平面，直线m平面，则下列四个命题：lm；lm；lm；lm其中正确命题的序号是7已知双曲线=1 的一个实轴端点恰与抛物线y2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为8已知数列an 满足a1=2，an+1=（nN*），则a1a2a3a2010 的值为9已知函数（xR）的最大值为M，最小值为m，则M+m=10在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，且=4，则ABC的面积等于11已知函数f（x）及g（x）（xD），若对于任意的xD，存在x0，使得f（x）f（x0），g（x）g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，qR），g（x）=是定义在区间，2上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间，2上的最大值为12已知定义在（，+） 上的函数f（x）=，则方程f（x）+1=log4|x|的实数解的个数是13在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为14设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最大值时，的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15已知函数（其中0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为（I）求y=f（x）的单调递增区间；（）在ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2ba）cosC=ccosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断ABC的形状16如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ACBD，AC与BD交于点O，且平面PAC底面ABCD，E为棱PA上一点（1）求证：BDOE；（2）若AB=2CD，AE=2EP，求证：EO平面PBC17某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且EFG中，EGF=90，经测量得到AE=10m，EF=20m为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点G作一直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN=x（m）（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积18已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（）一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；（）直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2，使ABE的面积为？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由19已知各项均为正数的两个无穷数列an、bn满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（nN*）（）当数列an是常数列（各项都相等的数列），且b1=时，求数列bn的通项公式；（）设an、bn都是公差不为0的等差数列，求证：数列an有无穷多个，而数列bn惟一确定；（）设an+1=，Sn=，求证：2620已知函数f（x）=lnxx，aR（1）当a=0时，求函数f（x）的极大值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）当a1时，设函数g（x）=|f（x1）+x1+|，若实数b满足：ba且g（）=g（a），g（b）=2g（），求证：4b5附加题21选修42：矩阵与变换已知曲线C：y2=2x，在矩阵M=对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N=对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程22在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为=，曲线C的参数方程为（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程23某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为，第二道工序检查合格的概率为，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器（I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；（）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为，求的分布列和每月的盈利期望24如图，已知定点R（0，3），动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且（1）求动点M的轨迹C1；（2）圆C2：x2+（y1）2=1，过点（0，1）的直线l依次交C1于A，D两点（从左到右），交C2于B，C两点（从左到右），求证：为定值2016年江苏省高考数学热身卷参考答案与试题解析一、填空题：本题共14个小题，每小题5分，共70分1设集合A=x|1，B=x|y=，则A（RB）等于（0，1）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】由题意，可先解分式不等式和指数不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A（RB）即可得出正确选项【解答】解：由1即为10，即0，即为x（x1）0，解得0x1，A=（0，1），由2x160，即2x16=24，解得x4，B=4，+），RB=（，4），A（RB）=（0，1） 故答案为：（0，1）2若复数（aR，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为3【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值【解答】解：=是纯虚数，解得：a=3故答案为：33已知平面向量的夹角为60，=（2，0），|=1，则|2|的值为2【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量的数量积运算性质即可得出【解答】解：平面向量的夹角为60，=（2，0），|=1，|2|=2故答案为：24已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为frac710【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】求出从6瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率可求得所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率【解答】解：从5瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为=10（种），取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为=3（种）所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P=1=故答案为：5如图是一个算法的伪代码，其运行的结果S 为25【考点】伪代码【分析】根据题意，可知该循环变量的初值为3，终值为9，步长为2，代入模拟程序的运行过程，即可得出答案【解答】解：由于循环变量的初值为3，终值为9，步长为2所以该程序运行后输出的是算式S=1+3+5+7+9=25故答案为：256已知直线l平面，直线m平面，则下列四个命题：lm；lm；lm；lm其中正确命题的序号是【考点】平面的基本性质及推论【分析】直线l平面，直线m平面，当有lm，当有lm或l与m异面或相交，当lm有，当lm有或，得到结论【解答】解：直线l平面，直线m平面，当有lm，故正确当有lm或l与m异面或相交，故不正确当lm有，故正确，当lm有或，故不正确，综上可知正确，故答案为：7已知双曲线=1 的一个实轴端点恰与抛物线y2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为x2fracy23=1【考点】双曲线的简单性质【分析】先求出抛物线的焦点坐标，求出a=1，结合离心率求出，c，b的值即可得到结论【解答】解：抛物线线y2=4x 的焦点坐标为（1，0），双曲线=1 的一个实轴端点恰与抛物线y2=4x 的焦点重合，a=1，双曲线的离心率等于2，=2，则c=2，b2=c2a2=41=3，则双曲线的方程为：x2=1，故答案为：x2=18已知数列an 满足a1=2，an+1=（nN*），则a1a2a3a2010 的值为6【考点】数列递推式【分析】根据递推公式依次求出a2、a3、a4、a5，归纳出规律求出数列的周期，根据数列的周期性求出式子的值【解答】解：a1=2，an+1=（nN*），a2=3，同理可求a3=，a4=，a5=2，数列an的周期为4，且a1a2a3a4=1，a1a2a3a4a2009a2010=a1a2=2（3）=6，故答案为：69已知函数（xR）的最大值为M，最小值为m，则M+m=2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】先把函数变形为，令，可判断函数g（x）的奇偶性，据此找到g（x）的最大值与最小值之间的关系，在有f（x）=1+g（x），求出f（x）的最大值与最小值之和【解答】解：函数可变形为令，则=g（x），g（x）为奇函数设当x=a时g（x）有最大值g（a），则当x=a时，g（x）有最小值g（a）=g（a）f（x）=1+g（x），当x=a时f（x）有最大值g（a）+1，则当x=a时，f（x）有最小值g（a）+1即M=g（a）+1，m=g（a）+1，M+m=2故答案为210在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，且=4，则ABC的面积等于2sqrt3【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理【分析】利用已知表达式，通过余弦定理求出cosA，求出sinA，通过向量的数量积求出bc的值，然后求出三角形的面积【解答】解：因为b2+c2=a2+bc，所以cosA=，sinA=因为，所以，bccosA=4，bc=8，ABC的面积：S=2故答案为：211已知函数f（x）及g（x）（xD），若对于任意的xD，存在x0，使得f（x）f（x0），g（x）g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，qR），g（x）=是定义在区间，2上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间，2上的最大值为2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】化简g（x）=x+1，从而由基本不等式可判断g（x）在x=1处取得最小值1；从而可知f（x）在x=1处取得最小值1，再由二次函数的顶点式写出f（x）=（x1）2+1，从而求函数的最大值【解答】解：g（x）=x+121=1；（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）g（x）在x=1处取得最小值1；又f（x）与g（x）是定义在区间，2上的“兄弟函数”，f（x）在x=1处取得最小值1；f（x）=x2+px+q=（x1）2+1；又|1|21|，fmax（x）=f（2）=1+1=2；故答案为：212已知定义在（，+） 上的函数f（x）=，则方程f（x）+1=log4|x|的实数解的个数是6【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】在同一坐标系中作出y=f（x），及y=log4|x|1的图象，根据图象交点的个数，即可得出结论【解答】解：在同一坐标系中作出y=f（x），及y=log4|x|1的图象，如图所示，方程f（x）+1=log4|x|的实数解的个数是6故答案为：613在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为18【考点】点到直线的距离公式【分析】利用点到直线的距离公式可得：|ab|+|a+b2|=4通过分类讨论可知：点（a，b）是如图所示的正方形的4条边即可得到最大值【解答】解：动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=x+2的距离之和为，化为|ab|+|a+b2|=4分为以下4种情况：或或或可知点（a，b）是如图所示的正方形的4条边可知：当取点A时，取得最大值=a2+b2的最大值为18故答案为：1814设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最大值时，的最大值为3【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】将z=x23xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得的最大值【解答】解：x23xy+4y2z=0，z=x23xy+4y2，又x，y，z为正实数，=+323=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y0），取得最大值1z=x23xy+4y2=2y2，=+2=（1）2+3y=1时，的最大值为3故答案为：3三、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15已知函数（其中0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为（I）求y=f（x）的单调递增区间；（）在ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2ba）cosC=ccosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断ABC的形状【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x），由题意可得周期T=，可得=1，进而可得f（x）=sin（2x），根据正弦函数的图象和性质即可求出单调增区间；（）由由正弦定理以及角的和差公式，求出，即C=，根据正弦函数的性质，求出，即ABC为等边三角形【解答】解：（），=，f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，T=，=1，得：，函数f（x）单调增区间为；（）（2ba）cosC=ccosA，由正弦定理，得（2sinBsinA）cosC=sinCcosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），sin（A+C）=sin（B）=sinB0，2sinBcosC=sinB，sinB（2cosC1）=0，0C，根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值ymax=1，此时，即，ABC为等边三角形16如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ACBD，AC与BD交于点O，且平面PAC底面ABCD，E为棱PA上一点（1）求证：BDOE；（2）若AB=2CD，AE=2EP，求证：EO平面PBC【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【分析】（1）由面面垂直的性质得BD平面PAC，由此利用线面垂直的性质能证明BDOE（2）由已知得=2，由ABCD，AC与BD交于点O，得，从而利用平行线分线段成比例定理得OEPC，由此能证明EO平面PBC【解答】（1）证明：在四棱锥PABCD中，ACBD，且平面PAC底面ABCD，BDAC=O，BD平面PAC，OE平面PAC，BDOE（2）证明：AB=2CD，AE=2EP，=2，ABCD，AC与BD交于点O，AOBCOD，OEPC，EO平面PBC，PC平面PBC，EO平面PBC17某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且EFG中，EGF=90，经测量得到AE=10m，EF=20m为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点G作一直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN=x（m）（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1）作GHEF，垂足为H，过M作MTBC交CD于T，求出，可得SMBCDW=SMBCT+SMTDN=，从而可得五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；（2）将函数变形，利用基本不等式，可求市民健身广场的面积最大值【解答】解：（1）作GHEF，垂足为H，因为DN=x，所以NH=40x，NA=60x，因为，所以，所以过M作MTBC交CD于T，则SMBCDW=SMBCT+SMTDN=，所以=由于N与F重合时，AM=AF=30适合条件，故x（0，30，（2），所以当且仅当，即x=20（0，30时，y取得最大值2000，所以当DN=20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m218已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（）一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；（）直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2，使ABE的面积为？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由【考点】平面向量数量积的运算；轨迹方程【分析】（）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程为（）直线l1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k的值，问题得以解决（）根据直线和椭圆额位置关系，以及三角形的面积公式得到SABE=，令=2，则不成立，问题得以解决【解答】解：（） 因为，即，所以，所以又因为|AB|=1，所以，即：，即，所以椭圆的标准方程为（） 直线l1斜率必存在，且纵截距为2，设直线为y=kx+2联立直线l1和椭圆方程，得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，由0，得（*），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 （1）以PQ直径的圆恰过原点，所以OPOQ，即x1x2+y1y2=0，也即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，将（1）式代入，得+4=0，即4（1+k2）32k2+4（3+4k2）=0，解得，满足（*）式，所以所以直线方程为y=x+2（）由方程组，得（3t2+4）y2+6ty9=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则所以，因为直线l：x=ty+1过点F（1，0），所以SABE=|EF|y1y2|=2=令=2，则不成立故不存在直线l满足题意19已知各项均为正数的两个无穷数列an、bn满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（nN*）（）当数列an是常数列（各项都相等的数列），且b1=时，求数列bn的通项公式；（）设an、bn都是公差不为0的等差数列，求证：数列an有无穷多个，而数列bn惟一确定；（）设an+1=，Sn=，求证：26【考点】数列与不等式的综合；数列递推式【分析】（I）设an=a0，利用数列an、bn满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（nN*），可得bn+1+bn=2n，（nN*），于是当n2时，bn+bn1=2（n1）于是bn+1bn1=2可知：数列bn当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；（II）设an、bn公差分别为d1、d2，可得其通项公式，代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（nN*）可得a1+（n1）d1b1+nd2+（a1+nd1）b1+（n1）d2=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解出即可；（III）利用，可得an+1an=an=，于是anan+1利用anbn+1+an+1bn=2nan+1an+1bn+1+an+1bn，可得2nbn+1+bn又anbn+1=（2nbn）an+10，an+10，可得2nbn0可得，进而得出【解答】（I）解：设an=a0，数列an、bn满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（nN*），bn+1+bn=2n，（nN*），于是当n2时，bn+bn1=2（n1）bn+1bn1=2可知：数列bn当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，又，b1+b2=2，可得=， =，即（nN*）（2）证明：设an、bn公差分别为d1、d2，则an=a1+（n1）d，bn=b1+（n1）d2，代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（nN*）可得a1+（n1）d1b1+nd2+（a1+nd1）b1+（n1）d2=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解得，可得an=na1，bn=n只有取a10可得数列an有无穷多个，而数列bn惟一确定；（3）证明：，an+1an=an=，anan+1anbn+1+an+1bn=2nan+1an+1bn+1+an+1bn，可得2nbn+1+bn因此=（b1+b2）+（b3+b4）+（b2n1+b2n）21+3+（2n1）=2n2又anbn+1=（2nbn）an+10，an+10，2nbn0=2n（1+2n）=4n2+2n，20已知函数f（x）=lnxx，aR（1）当a=0时，求函数f（x）的极大值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）当a1时，设函数g（x）=|f（x1）+x1+|，若实数b满足：ba且g（）=g（a），g（b）=2g（），求证：4b5【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导数，利用极值的定义，可得函数f（x）的极大值；（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（3）先证明（a1）（b1）=1，进而可得b1=令b1=t（t1），整理，得t33t2t1=0记h（t）=t33t2t1，h（t）在（1，1+）单调减，在（1+，+）单调增，又因为h（3）0，h（4）0，即可得出结论【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+）（1）当a=0时，f（x）=lnxx，f（x）=1，令f（x）=0得x=1 列表：x（0，1）1（0，+）f（x）+0f（x）极大值所以f（x）的极大值为f（1）=1 （2）f（x）=令f（x）=0得x2+x+a=0，记=1+4a（）当a时，f（x）0，所以f（x）单调减区间为（0，+）； （）当a=时，导数为零的根是，函数在（0，+）单调减（iii）当a时，由f（x）=0得x1=，x2=，若a0，则x1x20，由f（x）0，得0xx2，xx1；由f（x）0，得x2xx1所以，f（x）的单调减区间为（0，），（，+），单调增区间为（，）； 若a=0，由（1）知f（x）单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+）；若a0，则x10x2，由f（x）0，得xx1；由f（x）0，得0xx1f（x）的单调减区间为（，+），单调增区间为（0，） （3）g（x）=|ln（x1）|（x1）由g（）=g（a），得ln|=|ln（a1）|1ab，b1=a1（舍），或（a1）（b1）=1b2 由g（b）=2g（）得|ln（b1）|=2|ln （a1）+（b1）（*）因为=1，所以（*）式可化为ln（b1）=2ln （a1）+（b1），即b1= 令b1=t（t1），整理，得t44t3+2t2+1=0记h（t）=t44t3+2t2+1，h（t）=4t（t23t+1），令h（t）=0得t=（舍），t=，列表：t（1，）（，+）h（t）+h（t）所以，h（t）在（1，）单调减，在（，+）单调增，又因为h（3）0，h（4）0，所以3t4，从而4b5 附加题21选修42：矩阵与变换已知曲线C：y2=2x，在矩阵M=对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N=对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程【考点】旋转变换【分析】设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P（x，y）为曲线y2=2x上与P对应的点，根据矩阵变换得出 结合P是曲线C1上的点，求得C2的方程即可【解答】解：NM=设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P（x，y）为曲线y2=2x上与P对应的点，=，得 P是曲线C1上的点，C2的方程（x）2=2y即y=22在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为=，曲线C的参数方程为（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为=，所