概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布函数

.,随机变量及其分布,Chapter2,RandomvariableandDistribution,.,目录,CONTENTS,随机变量及其分布,2.1,2.2,2.3,2.4,常用的连续型随机变量,常用的离散型随机变量,随机变量函数的分布,.,2.1随机变量及其分布函数Randomvariableanddistribution,E4：在土地里种下一粒种子。,E1：记录一个路口在一段时间内经过的车辆数,1=0，1，2，3，,E2：扔一个骰子，出现的点数,2=1，2，3，4，5，6,4=发芽，不发芽,E5：在工厂生产的零件中任取一件。,5=正品，次品,E3：检验灯泡的寿命,3=t|t0,随机试验的结果虽然不是数量，但是可以将它数量化！,引例:,.,2.1随机变量及其分布函数,E4：在土地里种下一粒种子。,4=发芽，不发芽,E5：在工厂生产的零件中任取一件。,5=正品，次品,随机试验的结果虽然不是数量，但是可以将它数量化！,由于试验的结果是随机的，因而X=X()的取值也是随机的，所以将X=X()称为随机变量！,在样本空间上定义一个集合函数,.,一、随机变量Randomvariable,例如：设X=某路口在一段时间内通过的车辆数,A=通过的车辆数不超过4,B=通过至少6辆车,设X=取到次品的件数,=至多取到2件次品=A,=恰好取到2件次品=B,今后，我们用随机变量的取值和取值范围来表示随机事件！,为随机变量,记为R.V.X.(randomvariableX)。,.,二、分布函数Distributionfunction,取值或取值范围的概率？,例如：将一枚硬币连抛三次，观察正反面向上的情况。,设X=正面向上的次数,.,二、分布函数Distributionfunction,对于任意区间（a，b,.,二、分布函数Distributionfunction,定义2设X为随机变量,x为任意实数,函数,为随机变量X的分布函数(distributionfunction)。,分布函数F(x)是随机事件Xx的概率,它是一个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.,.,随机点,实数点,二、分布函数Distributionfunction,分布函数,.,利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质:,1、0F(x)1;,2、F(x)在其间断点处是右连续.,3、F(-)=0,F(+)=1,4、F(x)是单调不减函数,即对任意实数x1,x2(x1x2),有F(x1)F(x2);,图像值域范围,图像左右趋势,间断点右连续(离散型),图像自左至右呈上升,利用分布函数计算事件概率,.,【例1】设随机变量X的分布函数为,试求(1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1中的概率。,解（1）由,解得：,于是，分布函数为：,.,（2）由分布函数计算事件概率公式得：,解：已知分布函数为：,【例1】设随机变量X的分布函数为,试求(1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1中的概率。,.,【例2】设随机变量X的分布函数为,求:常数a和b。,解：,因为F(x)在x=0点右连续,所以,又因为,故,.,2.1离散型随机变量Discreterandomvariable,一、概念,定义2,设离散型随机变量X所有可能取值为,且X取各个可能值的概率为,定义1若随机变量X的全部可能取值为有限个或可列无限个可能值,则称X为离散型随机变量.,称为离散型随机变量X的概率分布(分布律或分布列).,DiscreteDistribution,.,数列:,分布列的表示方法:,表格:,概率分布图：,.,由概率的性质易知离散型随机变量的分布列满足下列特征性质:,非负性,规范性用于确定待定参数,随机点,实数点,Nonnegativity,Normalization,Additivity,.,注意Attention,对离散随机变量的分布函数distributionfunction应注意：,(1)F(x)是递增的阶梯函数;,(2)其间断点均为右连续的;,(3)其间断点即为X的可能取值点;,(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.,Figure1Thedistributionfunction,.,【例1】给定离散型R.V.X的分布列如下：,解：,所以有：,求：常数C；分布函数F(x)概率,.,求：分布函数F(x)概率,解：,当时，,在内不含X的任何取值,当时，,在内含X的一个取值,.,当时，,在内含X的2个取值,当时，,在内含X的3个取值,.,当时，,在内含有X的全部取值,综上所述：,.,因为X的可能取值中没有1，,所以,求：概率,解：,.,2.2常用离散型随机变量的分布,1、两点分布或（0-1）分布,定义1设离散型随机变量X的分布列为,则称X服从（0-1）分布，记作X（0-1）分布,（0-1）分布的分布函数,其中0p1,two-pointdistribution,.,设随机试验E的只有两个样本点：，其中则称这种试验为贝努利试验(Bernoulliexperiment)。,显然，贝努利试验服从（0-1）分布,若将一个贝努利试验独立重复地做n次，则称之为n重贝努利试验。,各次试验的结果互不影响,每次试验中P(A)=p,例如：抛一枚硬币，观察正反面出现的次数。这是一个一重贝努利试验。,若将一枚硬币连抛n次，观察正反面出现的次数。令A表示出现正面，那么这是一个n重贝努利试验。,.,袋中有a个红球，b个白球，任取一球，观察其颜色，令A表示“取到红球”，则若连续有放回的取n次，那么这是一个n重贝努利试验。,问题：n重贝努利试验服从什么分布？,注意：不放回抽样取n次，不是n重贝努利试验！,假设在n重贝努利试验中，用X表示事件A发生的次数,那么X是一个离散型随机变量，其可能取值为,0,1,2，n,求：P(X=k)=?k=0,1,2,.,n,.,假设在n重贝努利试验中，用X表示事件A发生的次数,那么X是一个离散型随机变量，其可能取值为,0,1,2，n,求：P(X=k)=?k=0,1,2,.,n,现在：取n=3，k=2,即进行3次贝努利试验，事件A发生2次的概率。,设Ai=事件A在第i次发生（i=1,2,3）,X=“三次试验中A发生的次数”，,.,2、二项分布binomialdistribution,则称X服从参数n，p的二项分布，记为,特别的，当n=1时，称之为两点分布或0-1分布。,设n重贝努利试验中事件A发生的概率为令随机变量X表示“n次试验中事件A发生的次数”，则其可能取值为0，1，2，n，且其分布列为,.,例2.2.1一批产品中，一等品率为20%，从这批产品中任取20件，则取出的产品中至少2件一等品的概率？,解：,设X表示20件产品中一等品的件数，,则X的可能取值为0,1,2，20,A=抽检产品为一等品,20重贝努利试验,X表示“n次试验中事件A发生的次数”,.,例2.2.2某种特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？,令X表示治愈的人数，则,X表示“n次试验中事件A发生的次数”,.,由此得：,从而解得:p=2/3.,例2.2.3设，已知，求,解:由，知P(X=0)=1/9.,所以,.,3、泊松分布Poissondistribution,定义3设离散型随机变量X所有可能取的值为0,1,2,，且其分布律为,则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为,泊松分布主要用于描述（i）稀有事件发生的概率;,（ii）单位时间或单位面积上的计数过程,.,解：令X表示铸件的砂眼数，则,故所求事件的概率为：,.,例2.2.4由某商店过去的销售记录可知，某种商品每月的销售数可用参数为的泊松分布描述。为了有99%以上的把握保证商品不脱销，问：商店在月底至少要进货该商品多少件？,设商店月底进货N件,令X表示“商店每月销售该种商品的件数”,则有r.v.XP(5)。,【解】,由题意可知，当时，产品不脱销。,所以有,即,查泊松分布表可得：,或,.,关于二项分布的近似计算，当n20，p0.05时，满足泊松逼近定理的条件。,泊松分布可作为二项分布的一种近似计算。（二项分布的泊松逼近定理）,设,当n很大，np很小时，有,.,例2.2.5某射击运动员射击400次，每次射击击中目标的概率为0.01，问：至少2次击中目标的概率？,解：,设X=击中目标的次数，,则X的可能取值为0,1,2,400,根据题意可知，,则所求事件的概率为,又因为,利用泊松逼近定理有：,400重贝努利试验,.,4.几何分布Geometricdistribution,定义4独立重复的进行一个试验（无数次），设事件A在每次试验中发生的概率为p，0pa独立，,解:因为X与Y同分布，故P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B),从中解得,且P(AB)=3/4,求常数a.,且由A、B独立，得：,=2P(A)P(A)2=3/4,从中解得:P(A)=1/2,由此得03,则P(A)=P(X3),设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则Yb(3,2/3)，所求概率为,P(Y2)=,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,已知,.,例2.4.3某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X（单位：吨）服从（300,500)上的均匀分布，每售出一吨该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压1吨，则公司损失0.5（千元）问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？,解：由已知，可得,设公司应组织a吨货源，收益Y千元。,.,故平均收益为,.,定义3设连续型随机变量X的概率密度为,其中0为常数,则称随机变量X服从参数为的指数分布，记为,2、指数分布ExponentialDistribution,注：,指数分布常用来描述对某,一事件发生的等待时间.例如，,乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.,.,凑微分,.,例2.4.3设打一次电话所用时间（分钟）服从参数为0.2的指数分布。如果有人刚好在你面前走进公用电话亭并开始打电话（假定只有一部电话），试求你等待：超过5分钟的概率；5分钟到10分钟之间的概率？,解：,设X表示打电话所用的时间,则,其概率密度函数为,根据题意可有：,即：等候的时间,.,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.,(1)正态分布的应用与背景,3、正态分布NormalDistribution,.,定义4设连续型随机变量X的概率密度函数为,其中均为常数,则称随机变量X服从参数为的正态分布或高斯分布,记为,.,(2)正态概率密度函数的几何特征,.,.,.,(3)正态分布的分布函数及其图像,连续型随机变量的分布函数的图像是一条连续没有间断的曲线！,.,标准正态分布的概率密度表示为,4.标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,定义5,在正态分布中，如果，则称该正态分布为标准正态分布，记作,.,标准正态分布的图形,概率密度函数,概率分布函数,.,2、标准正态分布的概率计算,若，则有,.,.,例1,=0.7517,=1-0.9591=0.0409,=0.8925,=2*0.975-1=0.95,=0.9591-1+0.7517=0.7108,=2*(1-0.9671)=0.0658,.,一般正态分布的标准化过程,对于一般的正态分布只要通过一个线性变换就能将其转化为标准正态分布！,设,则有,令,.,因此：,则它的分布函数可以写成：,若,对于任意区间则有,【例2】若，求,.,.,.,线性插值法,.,4、随机变量函数的分布,已知随机变量X的分布,现求其连续函数Y=g(X)的分布。此时，Y也是随机变量。,一、离散型随机变量函数分布列的求法（同一表格法）,设离散型r.v.X的分布律为,则求函数Y=g(X)的分布律的步骤为：,求Y的所有可能取值,计算Y取各可能值的概率：,如果Y各可能取值互异,即则,.,如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该值的概率为这些相等值对应的X取值的概率之和.,例如,当,则由基本事件互斥性与概率可加性得：,.,【例1】设r.v.X的分布律为:,求X-1,X2-1的分布律.,【解】采用“同一表格法”.,互异,有等值,.,故X-1分布律为:,X2-1的分布律为:,其中,.,二、连续型随机变量函数概率密度的求法,方法1分布函数法(一般情形),设连续型随机变量X的概率密度为,则求Y=g(X)的概率密度的步骤为：,其中积分区间是以y的函数为端点的区间。,分布函数对y求导数即得概率密度：,求导时一般用到变限函数的导数公式.,求Y的分布函数：,.,【解】设Y的分布函数为，则,对y求导得