有限元分析方法第三章平面问题的三角形单元ppt课件

.,1,第三章平面问题的有限元法三角形单元,.,2,第三章平面问题的有限元法-三角形单元,3.1离散化3.2三结点单元位移模式3.3用结点位移表示单元应变3.4用结点位移表示单元应力3.5单元刚度矩阵3.6单元刚度矩阵的性质3.7外力等效移置到结点3.8两个单元的结构,.,3,3.1离散化,（一）离散化将平面域划分为有限个小单元，每个单元用单元结点相连接，把无限个自由度的连续体变为通过有限个结点联结起来的“单元组合体”，使问题转变成有限个结点上有限个未知量问题。,.,4,3.1离散化,.,5,3.1离散化,（二）离散化过程建立坐标系选择单元类型划分网格单元和结点编号，给出结点坐标在结点上施加载荷及位移约束,.,6,3.1离散化,（二）离散化过程单元类型,.,7,3.1离散化,（三）离散化应注意的问题1、单元精度问题，复杂的单元计算精度高2、单元尺寸问题，合理确定单元尺寸3、集中力的作用点及分布力的突变点最好选在结点处4、区分厚度变化和物性变化5、单元形状问题，以内角60为宜,.,8,3.2三结点单元的位移模式,（一）三结点单元,.,9,3.2三结点单元的位移模式,（一）三结点单元i结点坐标为（xi，yi）i结点位移为j结点坐标为（xj，yj）j结点位移为m结点坐标为（xm，ym）m结点位移为,.,10,3.2三结点单元的位移模式,（二）形函数以平面逼近曲面的想法，设单元内任一点的位移是x，y的线性函数，即,.,11,3.2三结点单元的位移模式,（二）形函数将i，j，m三个结点的水平位移分量和结点坐标分别代入上式中的第一式，可以得到：,.,12,3.2三结点单元的位移模式,（二）形函数写成矩阵形式，有：,.,13,3.2三结点单元的位移模式,（二）形函数将矩阵C求逆，可将待定的中间参量1，2，3用节点位移ui等表示出来，即,.,14,3.2三结点单元的位移模式,（二）形函数A是三角形单元ijm的面积。只要i，j，m三点彼此不重合则A不等于0；当i，j，m呈逆时针排列时|C|0。由线性代数,.,15,3.2三结点单元的位移模式,（二）形函数,.,16,3.2三结点单元的位移模式,（二）形函数,.,17,3.2三结点单元的位移模式,（二）形函数,.,18,3.2三结点单元的位移模式,（二）形函数同理，从三个结点的y方向位移vi，vj，vm得出单元内任一点的y方向位移三个形函数Ni，Nj，Nm与u的完全相同,.,19,3.2三结点单元的位移模式,（二）形函数单元内任一点的位移矢量可记为,.,20,3.2三结点单元的位移模式,（二）形函数单元结点位移列阵,.,21,3.2三结点单元的位移模式,（二）形函数单元形函数矩阵单元内任一点的位移矢量可简写为,.,22,3.2三结点单元的位移模式,（三）形函数的性质（1）形函数Ni在i结点值为1，在其余结点为零；即,.,23,3.2三结点单元的位移模式,（三）形函数的性质（2）在单元内任一点三个形函数之和等于1，即Ni+Nj+Nm=1。,.,24,3.2三结点单元的位移模式,（三）形函数的性质由形函数的性质1和性质2及与坐标的线性关系在三角形ijm的形心有在ij及im两边的中点有在单元ijm面积上积分有在单元ijm的ij边上积分有,.,25,3.2三结点单元的位移模式,（三）形函数的性质（3）三角形单元ijm在ij边上的形函数与第三个结点的坐标无关。,.,26,3.3用结点位移表示单元应变,（一）几何矩阵Be,.,27,3.3用结点位移表示单元应变,（一）几何矩阵Be,.,28,3.3用结点位移表示单元应变,（一）几何矩阵Be,.,29,3.3用结点位移表示单元应变,（一）几何矩阵Be,.,30,3.3用结点位移表示单元应变,（二）Be的作用表示l点位移对单元应变的贡献率，一旦单元确定，Be也就确定了，此时单元内的应变仅依赖于结点位移。Be中所有元素与坐标x，y无关，说明单元内应变是常数，且各点应变均相同。因此称这种三结点单元为常应变单元。,.,31,3.4用结点位移表示单元应力,（一）矩阵Se,.,32,3.4用结点位移表示单元应力,（一）矩阵Se1、平面应力问题,.,33,3.4用结点位移表示单元应力,（一）矩阵Se2、平面应变问题,.,34,3.4用结点位移表示单元应力,（二）Se的作用表示l点位移对单元应力的贡献率，一旦单元确定，Se也就确定了，此时单元内的应力仅依赖于结点位移。Se中所有元素都是常数，e的三个分量也是常数，与坐标x，y无关，因此称这种三结点单元为常应力单元。,.,35,3.5单元刚度矩阵,（一）单元结点力单元在结点处受到的力，是单元和结点相连接的内力。单元的三个结点共有6了结点力分量，分别是,.,36,3.5单元刚度矩阵,（一）单元结点力单元结点虚位移单元内虚位移场,.,37,3.5单元刚度矩阵,（一）单元结点力单元内的虚应变单元结点力在结点虚位移上的虚功,.,38,3.5单元刚度矩阵,（一）单元结点力单元吸收的总虚变形功由虚功原理得,.,39,3.5单元刚度矩阵,（一）单元结点力由于B，D中元素都是常数，式中积分则得到单元结点平衡方程,.,40,3.5单元刚度矩阵,（二）单元刚度矩阵单元刚度矩阵Ke将矩阵Ke以分块形式表示,.,41,3.5单元刚度矩阵,（二）单元刚度矩阵将几何矩阵和弹性矩阵代入可得每个子块的表达式,.,42,3.6单元刚度矩阵的性质,（1）Ke中的每个元素都是一个刚度系数，表示单位结点位移分量所引起的结点力分量。（2）Ke是对称矩阵，即Ke=KeT。（3）Ke是奇异矩阵，即|Ke|=0。（4）当两个单元大小、形状、对应点次序相同且在整体坐标系中方位相同，则它们的单元刚度矩阵也是相同的。,.,43,3.7外力等效移置到结点,外力等效移置将作用在物体上的集中外力或分布外力用等效的结点力替代等效原则虚功相等，若单元上作用有不在结点上的集中力及分布力，则集中力和分布力在其作用点的虚位移上的虚功等于其等效结点力在结点虚位移上的虚功。,.,44,3.7外力等效移置到结点,体力f单元e受体力体力的等效结点力,.,45,体力,等效结点力在结点虚位移上的虚功应当等于体力在虚位移上的虚功,.,46,体力,.,47,3.7外力等效移置到结点,边界分布力f单元e受分布面力，集度为等效结点力记为,.,48,边界分布力,设分布外力f作用在单元的ij边上，由虚功相等原则,.,49,边界分布力,.,50,边界分布力,.,51,3.7外力等效移置到结点,单元任意点的集中力设e单元任一点c处受集中力F集中力的等效结点力,.,52,单元任意点的集中力,根据等效结点力在结点虚位移上的虚功等于集中力在虚位移上所做的虚功,.,53,单元任意点的集中力,若e单元受集中力、体积力和分布力的共同作用，在线弹性范围内，可将上述三种情况叠加,.,54,3.8两个单元的结构,矩形薄平板，一端固支，一端受集中力。划分为两个三角形单元，共4个结点。第一个单元结点排序1，2，3，第二个单元结点排序3，4，1。,.,55,3.8两个单元的结构,对于单元，由于1，2结点为全位移约束，则u1=0，v1=0，u2=0，v2=0，有,.,56,3.8两个单元的结构,.,57,3.8两个单元的结构,同理对于单元,.,58,3.8两个单元的结构,.,59,3.8两个单元的结构,.,60,3.8两个单元的结构,.,61,3.8两个单元的结构,.,62,3.8两个单元的结构,整体结构系数矩阵或总刚度矩阵K它的每一个子块都是由所有单元的子块按照其点号下标求和得到，只需将