《1.3 组合》 课件 3.ppt

,1.3组合课件3,解决组合应用题的基本对策解决组合应用题的基本思想是“化归”，即由实际问题建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而解决实际问题,简单的组合问题,(1)建立组合模型的第一步是分析该实际问题有无顺序，有顺序便不是组合问题(2)解组合应用题的基本方法仍然是“直接法”和“间接法”(3)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复和遗漏,【例1】有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选出2名去参加教代会，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加教代会，有多少种不同的选法？【审题指导】从10名教师中任选2名和选出男、女教师各2名参加教代会，与顺序无关，因此是组合问题解答本题可采用直接法，但解答(2)时需分步考虑,【规范解答】(1)从10名教师中选名去参加教代会，即是从10个不同的元素中取出个元素的组合数所以不同的选法有45种(2)从名男教师中选出名的选法有种，从名女教师中选名的选法有种，根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法,【变式训练】一口袋内装有大小相同的4个白球和2个黑球(1)从中任意取出3个球，有多少种不同的取法？(2)从中取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种不同的取法？,【解析】(1)从中任意取出个球，即是从个不同的元素中取出个元素的组合数，所以共有取法(2)从中取出3个球，使其中含有一个黑球，即是从4个白球中取出2个球，从2个黑球中取出一个球，共有取法,有限制条件的组合问题有限制条件的组合问题的解答策略,在涉及“至多”、“至少”等组合问题时，通常使用间接法.另外应注意“至多”、“至少”、“都不是”、“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准,【例2】“抗震救灾，众志成城”在我国甘肃舟曲的抗击泥石流的战斗中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴某灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的名专家中恰有名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有名外科专家的抽调方法有多少种？,【审题指导】本题属于组合问题，解答本题的关键是分清“恰有”、“至少”、“至多”的含义，正确地分类或分步解决【规范解答】(1)分步：首先从名外科专家中任选名，有不同的选法，再从除外科专家的人中选取人，有种不同的选法，所以共有,(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有选3名外科专家，共有选4名外科专家，共有根据分类计数原理，共有抽调方法.,方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有种选法，考虑选取1名外科专家参加，有种选法；没有外科专家参加，有种选法，所以共有：=185种抽调方法.,(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，可分类解答.没有外科专家参加，有种选法；有1名外科专家参加，有有2名外科专家参加，有共有,【互动探究】本题条件不变，所求问题改为：(1)抽调的名专家中都不是外科专家的抽调方法有多少种？(2)抽调的名专家中不都是非外科专家的抽调方法有多少种？,【解析】(1)“抽调的名专家中都不是外科专家”即都是非外科专家，抽调方法只有(2)“抽调的名专家中不都是非外科专家”即需有外科专家，可考虑利用间接法从10人中任选人的不同选法有种，都是非外科专家的选法只有种，所以抽调的名专家中不都是非外科专家的抽调方法有,【误区警示】解答本题易混淆“都不是”与“不都是”的含义，从而导致解答错误.“都不是”的含义是“一个也不是”，即“没有”，而“不都是”的否定为“都是”,与几何图形有关的组合问题解与几何图形有关的组合应用题的思路(1)解决几何图形中的组合问题首先应利用处理组合问题的常规方法，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，如线段和向量不同，向量与方向有关，是排列问题，而线段与方向无关，是组合问题,(2)图形多少问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多统计(3)在处理与几何图形相关的组合应用题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象为组合问题来解决计算几何图形的个数时，要注意分清“对应关系”，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等,【例3】从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为()(A)56(B)52(C)48(D)40【审题指导】正方体的八个顶点中任何三点均不共线，所以从中任取三点都能构成一个三角形解答本题的关键是确定如何选取三点才能构成直角三角形.可从某个顶点作直角三角形的直角顶点的角度考虑，通过分类研究得出整体的结果,【规范解答】选C八个顶点中的任一点作为直角顶点构成直角三角形的机会均等，不妨固定A为直角顶点(如图)，那么两条直角边只能从AB、AD、AA1、AC、AD1、AB1中选取(由于AC1与这六条线段均不垂直，因此AC1不可能成为直角边).从AB、AD、AA1中任取2条,作为直角边，有种取法；此外，还可取AB和AD1、AD和AB1、AA1和AC作直角边，有3种取法，所以以A为直角顶点的直角三角形的个数是故所求直角三角形的个数是,【变式训练】从正方体八个顶点中选取4个点，作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为_【解题提示】不共面的四点可构成一个四面体，而正方体的八个顶点中位于同一面上的四个顶点不能构成一个四面体，因此，解答本题可从反面考虑，即从八个顶点中任取四点，考虑减去四点共面的个数,【解析】从八个顶点中任取4个点，有种取法，其中共面的四个点不能构成四面体，因为正方体的任意面上的四个点共面，对角面上的四个点共面，正方体共6个面和6个对角面，故前面所取的各组点中，共有12组不能构成四面体，所以可得到答案：58,【例】一直线和圆相离，这条直线上有个点，圆周上有个点，通过任意两点作直线，最少可作多少条不同的直线？【审题指导】解答本题的关键是所作直线如何才能最少，应考虑点或更多点共线,【规范解答】要使所作直线最少，应出现点或更多点共线的情况，由于直线与圆相离，所以应让圆上任意点都与直线上的一点共线，圆周上点能连成条直线，而直线上恰有个点，故这10个点中最多有个三点共线和个六点共线的情况，因此最少可作直线+6+1=19(条),【变式备选】平面上有个点，其中有个点共线，除此外无3点共线.(1)这9个点可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？,【解析】两点确定一条直线，不共线的三点确定一个三角形，注意其中有4点共线的情况.方法一：(直接法)(1)可确定直线(2)可确定三角形(3)可确定四边形,方法二：(间接法)(1)可确定直线(2)可确定三角形(3)可确定四边形,【典例】(12分)某数学研究小组共有13名学生，其中男生人，女生人，从这13人中选出人准备做报告，在选出的人中，至少要有名女生，共有多少种不同的选法？【审题指导】至少要有名女生，意义是选出的人中可有名、名、名女生，可用直接法或间接法求解,【规范解答】方法一(直接法)：按选出的女生数的多少分类考虑第一类，选出的人中恰有名女生，有种不同选法；3分第二类，选出的人中恰有名女生，有种不同选法；分第三类，都是女生，有种不同选法分根据分类加法计数原理，共有同的选法12分,方法二(间接法)：从这13人中任意选出人的选法有种，其中不含女生的选法有种，分所以至少要有名女生不同的选法共有(种)12分,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【即时训练】100件产品中有件次品，现从中任抽取件产品，至少有件次品的不同取法有多少种？【解析】从100件产品中任意选取件，有种不同取法，其中不含次品的取法有种，所以，符合题意的取法有,1.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为()(A)100(B)110(C)120(D)180【解析】选B.10人中任选3人的组队方案有没有女生的方案有所以符合要求的组队方案数为110种,2.凸十边形的对角线的条数是()(A)10(B)35(C)45(D)90【解析】选B凸十边形共有10个顶点，任意两点可连成条线段，再减去10条边,故对角线的条数为,3.从五双不同的鞋子中任取4只，4只鞋子恰好配成2双的取法有_种.(用数字作答)【解析】即从五双不同的鞋子中任取两双，有种取法.答案：10,4.从1，2，3，9九个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c，且abc，则不同的数组有_个.【解析】从1，2，3，9中任取三个数大小顺序确定，答案：84,5.要从12名同学中选出5人参加一项社会实践活动，按下列要求，有多少种不同选