多元函数的基本概念课件

第八章多元函数微分法及其应用,第一节多元函数的基本概念,一、区域,1.邻域:,设P0(x0,y0)是xOy面上一点,是某一正数,与P0(x0,y0)距离小于的点P(x,y)的全体,称为P0的邻域,记为U(P0,).,即:U(P0,)=P|P0P|,或,注:去心邻域U(P0,)=P|0|P0P|,下页,上页,首页,2.区域,(1)内点:,U(P)E,则称点P为点集E的内点.,注:若点集E的点都是内点,则称E为开集.,例如:点集E1=(x,y)|x2+y21是开集.,点集E2=(x,y)|x2+y21不是开集.,设E为一平面点集,P为E的一点,如果存在点P的某个邻域U(P),使这个邻域整个包含在E内,下页,上页,首页,(2)边界点:设E为一平面点集,P1为一点,不论P1点是否属于E,如果P1的任何邻域内,既有属于E的点,也有不属于E的点,则称点P1为点集E的边界点.,注:点集E的全体边界点所成的点集,称为点集E的边界.,例如:点集E=(x,y)|1x2+y20是区域.,E2=(x,y)|1x2+y24也是区域.,例如:,下页,上页,首页,E3=(x,y)|x2+y20,总存在0.,当,都有,成立，则称常数A为二元函数f(x,y)当PP0,(或xx0,yy0)时的极限，记作,下页,上页,首页,注1：二元函数的极限称为二重极限；,二重极限存在是指点P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时，z=f(x,y)都无限接近于A.,注2：二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数.,下页,上页,首页,证：,0,取,则当,总有,故,下页,上页,首页,注3：若P(x,y)以某一特殊方式趋于P0(x0,y0)时，f(x,y)能无限接近于某一定值,还不能判定函数的极限是否存在；反之,若当P(x,y)以不同方式趋于P0(x0,y0)时，函数趋于不同的值，则可判定函数的极限不存在。,下页,上页,首页,证明：,证明：令P(x,y)沿直线y=kx趋于O(0,0),则,当k=1时，极限为,当k=0时，极限为0.,故极限不存在。,下页,上页,首页,注4.二元函数极限有与一元函数极限类似的四则运算法则，夹逼定理.,例3.求,解：,下页,上页,首页,例4.,解：,下页,上页,首页,四、二元函数的连续性,1.定义：设z=f(x,y)在P0(x0,y0)的邻域内有定义.,若,或(),则称z=f(x,y)在点P0连续.,若f(x,y)在点P0不连续，则点P0称为f(x,y)的间断点.,若f(x,y)在区域D内每一点连续，则称f(x,y)在D内连续.,下页,上页,首页,例如：,注：二元函数的连续概念可相应地推广到n元函数上去.,下页,上页,首页,2.有界闭区域上多元连续函数性质,性质1.(最大值和最小值定理),在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值.,即:P1,P2D,对于PD.都有,f(P2)f(P)f(P1),下页,上页,首页,性质2.(介值定理),在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值.则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。,特别地：设m,M分别是f(P)在D上的最大值、最小值,mM,则QD,使f(Q)=,下页,上页,首页,3.多元初等函数,(1)二元基本初等函数,考虑一个变量x或y的基本初等数，将它们当成二元函数.如：C,x,y,sinx,siny，,称为二元基本初等函数.,下页,上页,首页,(2)二元初等函数,将二元基本初等函数经有限次四则运算与复合所组成的函数，称为二元初等函数.,例如：sin(x2y),都是二元初等函数.,结论：多元初等函数在其定义区域内连续.,(定义区域指包含在定义域内的区域或闭区域),注:类似地定义多元初等函数,下页,上页,首页,例5.求,解：,定义域D=(x,y)|x0或y0,因D不连通，故D不是区域.但,D1=(x,y)|x0,y0是区域,且D1D,故D1是f(x,y)的一个定义区域,且P0(1,2)D1,故,下页,上页,首页,例6.求,解：,下页,上页,首页,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,五、小结,多元函数的定义,下页,上页,首页,思考题