三角形的中位线习题(精讲精析)

三角形的中位线,回顾与联想：,ABCD,(1)ABCD,BCAD,(2)AB=CD，BC=AD,(4)A=C，B=D,(5)AO=OC,BO=OD,(3)ABCD,AB=CD,A,B,C,D,O,平行四边形的判定方法,A。,。B,A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？,这堂课，我们将教大家一种测量的方法。,连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线,三角形有三条中位线,D、E分别为AB、AC的中点DE为ABC的中位线,三角形的中位线和三角形的中线是否相同？,DF、EF也为ABC的中位线,E,D,F,定义,画出ABC中所有的中位线,注意：,三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段,三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段,区分三角形的中位线和中线：,理解三角形的中位线定义的两层含义:,DE为ABC的中位线,D、E分别为AB、AC的中点,DE为ABC的中位线,D、E分别为AB、AC的中点,一个三角形共有三条中位线。,定义,A,B,C,D。,。E,。F,在ABC中，中位线DE和边BC什么关系?,DE和边BC关系,数量关系：,位置关系：,DEBC,D,E,平行,DE是BC的一半,观察猜想,如图，点D、E分别是ABC的边AB、AC的中点，求证DEBC且DE=BC,证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF,四边形ADCF是平行四边形,四边形DBCF是平行四边形,AE=EC,CFDA，CF=DA,CFBD，CF=BD,DFBC，DF=BC,又DE=DF,DEBC且DE=BC,想一想：还可以怎样做辅助线？,三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半,用符号语言表示,三角形中位线定理,证明平行问题证明一条线段是另一条线段的两倍或一半,适用范围:,A。,。B,C。,D。,。E,如图，在A、B外选一点C，连结AC和BC，,并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。,1.三角形各边的长分别为6cm、8cm和10cm，求连接各边中点所成三角形的周长.,AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,EF=5cm,DF=4cm,DE=3cm,12cm,练一练,三角形三条中位线所围成三角形周长是原三角形周长的一半,例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？,有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形,有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线,温馨提示：,顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形,例2：已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF.求证:AB=2OF,A,D,B,C,E,G,F,O,提示:证明ABFECF,得BF=CF,再证OF是ABC的中位线.,1已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形,课堂练习,提示:连接AC或BD,2、ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点.求证：OE=BE.,课堂练习,提示:取AE的中点F，连接DF,总结,通过这节课的学习你有哪些收获？,1.三角形的中位线定义.,2.三角形的中位线定理.,3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线.,4.线段的倍分要转化为相等问题来解决.,小结,证法四：如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于GAGBCEAG=ECFAEGCEFAG=FC，GE=EF又ABGF，AGBF四边形ABFG是平行四边形BF=AG=FC，AB=GF又D为AB中点，E为GF中点，DB=EF四边形DBFE是平行四边形DEBF，即DEBC，DE=BF=FC即DE=1/2BC,A,B,C,E,D,F,G,过D作DEBC，交AC于E点,D为AB边上的中点,所以DE与DE重合，因此DEBC,同样过D作DFAC，交BC于F,BF=FC=1/2BC(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边),四边形DECF是平行四边形,DE=FCDE=1/2BC,A,B,C,D,E,E,F,证明：,三角形中位线定理,三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。,如果DE是ABC的中位线那么DEBC，DE=1/2BC,证明平行问题证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2,用途,A,B,C,D,E,1.如图1：在ABC中，DE是中位线（1）若ADE=60，则B=度，为什么？（2）若BC=8cm，则DE=cm，为什么？,2.如图2：在ABC中，D、E、F分别是各边中点AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，则DEF的周长=cm,图1,图2,60,4,12,A,B,C,D。,。E,B,A,C,D。,。E,。F,5,4,3,3.梯形ABCD中ADBC，对角线AC、BD相交于点O，A、B、C、D分别是AO、BO、CO、DO中点，则四边形ABCD是_若梯形ABCD周长为10，由四边形ABCD的周长为_,梯形,5,A。,。B,C。,D。,。E,4.在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。为什么？如果测的DE=20m，那么A、B两点间的距离是多少？为什么？,20,40,随着学习的不断深入，同学们将会有更多的办法来解决这个问题,进入几何画板,顺次连结一个四边形各边中点，会得到什么样的图形呢？,例1,例1.求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形,求证：四边形EFGH是平行四边形,证明:连结AC,AH=HDCG=GD,HGAC,(三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半),同理EFAC,HGEF且HG=EF,四边形EFGH是平行四边形,在四边形ABCD另加条件AC=BD，四边形EFGH是菱形，为什么？在四边形ABCD另加条件ACBD，四边形EFGH是什么特殊四边形？为什么？若四边形EFGH是正方形，AC与BD应满足什么条件？,2.连结BD证：EH=FG,3.连结AC、BD，证：EFHG，EHFG4.连结AC、BD，证：EF=HG，EH=FG,1.连结AC，证：EF=HG,如果四边形ABCD是特殊的四边形，将会有特殊的平行四边形EFGH出现吗？,小结,三角形中位线定义,三角形中位线定理,三角形中位线定理应用,作业,1.如图,AF=FD=DB,FGDEBC,PE=1.5,则BC=,3,4.5,9,2.已知：如图E、F把四边形ABCD的对角线BD三等分，CE、CF的延长线分别平分AB、AD.求证：四边形ABCD是平行四边形.,A,B,D,C,E,F,G,H,已知：如图E、F分别是AC、BD的中点，CDAB，E、F不都是对角线的交点.求证：EF1/2（CDAB）.,图2,G,图3,注意：在处理这些问题时,要求出现三角形及中位线有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形有三角形而无中位线,要作中点的连线或过中点作平行线,定理应用：,定理为证明平行关系提供了新的工具定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2提供了一个新的途径解决“中点问题”,三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段,三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段,三角形的中位线是三角形中一种重要的线段,它与三角形的中线不同：,理解三角形的中位线定义的两层含义:,DE为ABC的中位线,D、E分别为AB、AC的中点,DE为ABC的中位线,D、E分别为AB、AC的中点,一个三角形共有三条中位线。,定义,如果DE是ABC的中位线那么DEBC，DE=1/2BC,证明平行证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2,A,B,C,D,E,三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.,定理的主要用途：,必做题：P184页4、6;P180页4让学生自选一个顺次连结特殊四边形中点的问题，总结形成文字命题，并加以证明把证明三角形中位线定理的几种方法整理出来选做题：,作业,END,顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是,顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是,顺次连结矩形四边中点所得的四边形是,顺次连结菱形四边中点所得的四边形是,顺次连结正方形四边中点所得的四边形是,填空题：,已知:梯形ABCD,ADBC,对角线AC、BD相交于点O,A、B、C、D分别是AO、BO、CO、DO的中点,求证:四边形ABCD是梯形梯形ABCD的周长=梯形ABCD的周长的2倍,A,B,C,D,O,D,C,B,A,证明:AD为OAD的_AD_1/2AD同理：BC=_,ADBCAD_BC，由ADBCAD_BC四边形ABCD是梯形,_为OAD的中位线AD=_AD同理：AB=_=2BC,CD_