两自由度系统的振动

5-1对于图中所示的系统，如果运动的初始条件是：尝试找到系统对初始条件的响应。问题5-1图5-2图解决方案：有两个值图5-2所示为双摆，约束弹簧连接在质量m1和m2上。使用质量的微小水平位移x1和x2作为坐标，设置、以试图找到系统的固有频率和主振动模式。问题5-1图5-2图解决方案：让我们沿着这个方向移动一个单元，并保持它不动。是的，通过力的分析，我们可以得到：同样，沿着方向移动一个单元并保持不变，力分析可以获得：，刚度矩阵是质量矩阵，可用运动的微分方程为：=；总而言之，可以理解的是：用刚度影响系数法计算刚度矩阵。假设我们分别画出和的力图，并应用两个物体的力来形成平衡方程。是的：,是的：,分别设置、绘制和施加两块力图，列平衡方程，是的：,是的：,由，我能理解。，力的方程式是由方程得到的系统刚度矩阵为=系统的质量矩阵为=从频率方程，我们得到展开并求解频率通过将特征矩阵的伴随矩阵的第一列分别代入两个频率值，得到二阶振动模式如下：,系统的主要振动模式矩阵为图5-3所示的扭转振动系统由一个无质量轴和两个圆盘组成。已知轴部分的扭转刚度是kq1和kq2，盘的转动惯量是I1和I2。在力矩M1和M2的作用下，写出了系统运动的微分方程，计算了系统的固有频率和主振型。图5-3解决方法：取广义坐标，分别是M1和M2的角。当分别=1和=0时，意味着在这个位置保持系统平衡，并且应该加到M1和M2的偶极矩上。从刚体的平衡条件出发当分别=0和=1时，意味着在这个位置保持系统平衡，并且应该加到M1和M2的偶极矩上。从刚体的平衡条件出发对于任何值，根据达朗贝尔原理，系统的微分方程可以如下获得也就是说，未考虑图5-4所示悬臂梁的质量，梁的抗弯刚度为EI。设定，试着写出系统运动的微分方程，并找出系统的固有频率和主要振动模式。图5-4解：取广义坐标，根据柔度冲击系数的定义，表示在单位力作用的地方(沿方向)产生的位移。根据材料力学的挠度公式，有指示在施加单位力的位置(在方向上)产生的位移。是指示在施加单位力的地方产生的位移等于在施加单位力的地方产生的位移。是系统的位移方程也就是说，所需的微分方程是解决方案：质量矩阵M=。首先，只有垂直单位力Q=1施加在质量M上，然后由M产生的位移是；m产生的位移是。绘制M的应力图，如图(1)所示。，so=0；So=0。何时；我认为它很小，所以我做了。如果对表面施加单位力，位移为，位移为。绘制的应力图如图(2)所示。因此，当；所以。当时，当时，然后可以写入柔性矩阵系统的特征矩阵让，有频率方程，得到找到每个根因此，获得了固有频率为了获得系统的主要振动模式，首先寻求如果分别代入第一列，每个阶的主要振动模式为如图5-5所示，两个质量m1和m2连接到拉紧的无质量弦上。假设当质量横向振动时，弦中的张力不会改变，设定，试着写出系统运动的微分方程，并找出系统的固有频率和主振动模式。图5-5解决方案：在垂直方向，Y坐标以m1为坐标原点(正方向垂直向下)建立。让m1有一个单位位移=1，并保持静止，它首先，只有垂直单位力Q=1施加在质量M上，然后由M产生的位移是；m产生的位移是。绘制M的应力图，如图(1)所示。被力量平衡：同样的道理，当单位力量，得到然后可以写入柔性矩阵系统的特征矩阵秩序，有：频率方程找到每个根因此，获得了固有频率为了获得系统的主要振动模式，首先寻求如果分别代入第一列，每个阶的主要振动模式为图5-6中刚性杆的质量没有计算在内。根据图中坐标建立微分方程，试图找到系统的固有频率和主振型。图5-6解决方案：当m每单位长度下降时，根据系统的力平衡和m的零力矩：断然的类似地系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为微分方程系统的特征矩阵为从频率方程中必须我能理解。自然频率为特征矩阵的伴随矩阵将固有频率值代入主振型，或者由公式计算固有频率和主振型命令.然后替换数据后的结果是：5-7尝试找出图示系统的固有频率和主要振动模式。已知。图5-75-8刚性杆AB的长度为L，质量不计算在内。其一端B铰接，另一端恰好与质量为M的物体A连接；下部连接弹簧常数为k的弹簧，悬挂质量为m的物体d，弹簧常数为k的弹簧拉动杆AB的中点，使杆平衡在水平位置，测试系统的固有频率。图5-8解决方案：x:k；x:k解决方案k已知值=0=0P解决方法：如果你给单杠一个单位角度，就会有,那么，那么对于对象d，所以给定物体d的单位位移，然后对于物体d，有，呃又所以刚度矩阵是因此即从系统的固有频率为5-9两根重量为W的相同杆铰接在中间，杆长为2a。如图所示，两根杆的端点由弹簧k和k1连接。尝试找出该系统的固有频率和主要振动模式。图5-95-10一个刚性圆盘的质量为M，半径为r。圆盘的轴与一个L形长臂铰接，臂的末端装有一个质量为M的摆锤，如图5-10所示。找到钟摆自由振动时的固有频率。广义坐标是x1和x2，它们完全决定了系统的位置，并且与任何约束无关。图5-10因为让我们用拉格朗日方程然后可以获得运动方程：让我们用拉格朗日方程可用的运动方程是假设这个运动方程组可以求解。因此，可以获得频率方程W=0或还有。问题5-11两层刚架如图5-11 (a)所示。每层的地板质量分别为m1=m和m2=2m。应分析每层的横向刚度(当该层中每根柱的上端和下端发生单位相对位移时，该层中每根柱的剪力之和)的自由振动。横梁的变形应省略。解：(1)求刚度矩阵K和质量矩阵M水平链杆连接到每个楼层，每个楼层分别产生一个单位位移。从各层的剪切力平衡条件，可以得到刚度影响系数，它们的值分别示于图5-11(b)和(c)中。刚度矩阵为(a)质量矩阵是(b)图5-11(2)频率分析引