02 凸多边形的内角和定理学生2016春季 初二数学培优

凸多边形的内角和定理凸多边形的内角和定理1/7 第二讲 凸多边形的内角和定理 1.多边形概念多边形概念 由同一平面内 不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫多边形多边形 由 n 条线段组成的多边形称为 n 边形边形 组成多边形的每一条线段叫做多边形的边多边形的边 相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点多边形的顶点多边形的各顶点通常用大写的英文字母表示如 下左图，五边形的顶点依次分别是 A、B、C、D、E，记作五边形 ABCDE 多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角多边形的内角在上左图中A、B、C、D、E都是五边 形 ABCDE 的内角 联结多边形两个不相邻 顶点的线段， 叫做多边形的对角线多边形的对角线 如上右图中， AC、 AD 是五边形 ABCDE 的两条对角线 n 边形的对角线条数： (3) 2 n n 2.凸多边形、凹多边形凸多边形、凹多边形 对于一个多边形，画出它的任意一边 所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多 边形叫做凸多边形凸多边形（如下左图） ；否则叫做凹多边形凹多边形（如下右图） 我们本章节只研究讨论凸多边形 凸多边形的内角和定理凸多边形的内角和定理2/7 3.多边形内角和多边形内角和 多边形内角和定理：n 边形的内角和等于(2) 180n 4.多边形外角和多边形外角和 多边形的一个内角的邻补角叫做多边形的外角 多边形的外角中， 与同一个内角相邻的外角有两个， 这两个角互为对顶角，它们的大小相等 对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形 的外角和 多边形外角和等于360，与边数无关 凸多边形的内角和定理凸多边形的内角和定理3/7 【例题 1】填空题： （1）一百边形的内角和比九十边形的内角和大_度 （2）如果一个多边形的内角和是 1440，那么它的边数是_ （3）如果一个多边形的内角和与它的外角和加起来， 所得的和为 2160， 那么它是_ 边形 （4）如果一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍，那么它是_边形 （5）如果一个多边形的边数增加 1，它的内角和增加 1 10 ，那么这个多边形的边数是_ 【例题 2】选择题： （1）一个多边形的内角和不可能是（） A、1800B、540C、720D、810 （2）一个四边形的四个内角中，钝角最多有（） A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个 （3） 如果多边形的边数由 3 逐渐增加到 n 时 （n 是正整数） ， 求这个多边形的外角和的度数 （） A、在逐渐增加B、在逐渐减少 C、没有变化D、增、减情况不确定 （4）已知下列命题： 多边形中至少有一个角不是钝角； 多边形的外角中至少有一个是锐角； 多边形的边数每增加 1，内角和的度数就增加 180； 如果把一个多边形的边数增加，那么所有外角的平均值将减小 其中真命题的个数是（） A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个 凸多边形的内角和定理凸多边形的内角和定理4/7 【例题 3】一个八边形，截去一个角后所得的多边形的内角和是多少？ 【例题 4】设 n 边形的内角和是( )f n，则( )f n是 n 的什么函数？ 【例题 5】各个角都相等、各条边也相等的多边形叫做正多边形解下列有关正多边形的问题： （1）已知正多边形的一个外角为 72，求这个正多边形的边数； （2）已知正 n 边形的一个内角等于 150，求 n； （3）已知正 n 边形的每个内角与外角之差为 90，求这个正 n 边形的边数； （4）有两个正多边形边数之比为2:1，内角度数之比为4:3，求它们的边数 【例题 6】已知两个多边形的内角和 1800，且这两个多边形的边数均为偶数，求这两个多边形的 边数 凸多边形的内角和定理凸多边形的内角和定理5/7 【例题 7】已知一个多边形最小的一个内角为 120，比它稍大的一个内角为 125，以后依次每个内 角比前一个内角多 5，且所有内角和与最大内角的度数之比为63:8，求这个多边形的边数 【例题 8】已知一个多边形的所有内角从小到大的排列，恰好依次增加相同的角度，设最小的角为 100，最大的角为 140，求这个多边形的边数 【例题 9】过多边形的一个顶点有 8 条对角线，问这个多边形共有几条对角线？ 【例题 10】 如图所示的花环图案中，六边形 ABCDEF 和六边形 111111 ABC D E F都是正六边形，求证：12 【例题 11】 如图，在正五边形 ABCDE 中，对角线 AD、CE 交于点 F，求AED 和AFE 的度数 凸多边形的内角和定理凸多边形的内角和定理6/7 【例题 12】 如图，求ABCDEF 的度数 【例题 13】 如图，求ABCDEF 的度数 【例题 14】 如图，已知/ /FGCE，求ABCDEFG 的度数 【例题 15】 如图，已知=660ABCDEF ，求GH 凸多边形的内角和定理凸多边形的内角和定理7/7 【作业 1】（1）已知一个多边形的每一个内角为 140，求这个多边形的边数 （2）已知一个多边形的内角和与外角和的度数之比为9:2，求这个多边形的边数 【作业 2】如图所示，在五边形 ABCDE 中，60C，135A ，延长 CD