《名师伴你行》人教A版数学必修五第三章学案4+简单的线性规划问题.ppt

开始,学点一,学点二,学点三,学点四,1.要求的函数叫做目标函数.2.目标函数中的变量所要称为约束条件.3.如果约束条件是，则称为线性约束条件.4.一般的，在线性约束条件下求的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.5.使目标函数取得最大值或最小值的，叫做这个问题的最优解.6.满足线性约束条件的叫做可行解，由所有可行解组成的叫做可行域.,最大值或最小值,满足的不等式组,关于变量的一次不等式,线性目标函数,可行解,解(x,y),集合,学点一求目标函数的最值,【分析】求目标函数最大值或最小值的步骤：作可行域、画平行线、解方程组、求最值.,图3-4-2,【评析】（1）z并不是直线2x+3y=z在y轴的截距，而是截距的3倍，因此，直线过点B时，最小，z最小.（2）中z并不是直线3x-y=z在y轴的截距，而是截距的相反数，过A（-3，0）截距最大而z值最小，注意不要搞反.图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移直线ax+by=0时，看它经过哪个点（或哪些点）时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值.,学点二简单的线性规划的实际问题的求解方法,已知甲、乙两铁矿的年产量分别为200万吨和100万吨.两矿生产的铁需经东、西两个车站运往外地.若东、西两车站分别最多只能接收160万吨，甲、乙两矿运往东、西两车站的运输价格如下表所示，问如何安排运输方案能使运输费用最低.,西站,车站,价,1元,格,铁矿,东站,【分析】本题是信息量较大的实际应用问题，需合理选择设元，准确建立目标函数，全面罗列条件，借助线性规划问题求解的常用模式解决.,图3-4-3,【评析】解决实际问题要深入其境，既要考虑涉及数学方面的约束条件，又要注意约束条件的实际意义.解答线性规划应用问题的常用步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式组；（2）作出可行域，写出目标函数；（3）借图确定目标函数的最优解.,某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如下表所示：求该工厂合理安排生产后，每天可获得的最大利润.,产品,消耗量,资源,学点三寻找整点最优解的方法,【分析】根据题意，布列约束条件与目标函数.,要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A，B，C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用的钢板张数最少.,规格类型,钢板类型,图3-4-4,（4，8）时，直线与原点的距离最近，即z的最小值为12.解法二：特值验证法由解法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A0(0,15),A1(1,13),A2(2,11),A3(3,9),A4(4,8),A5(5,8),A6(6,7),A7(7,7),A8(8,7),A9(9,6),A10(10,6),，A27(27,0).将这些点的坐标分别代入z=x+y，求出各个对应值，经验证可知，在整点A3（3,9）和A4（4,8）处z取得最小值.解法三：调整优值法由非整点最优解知，z=.z12，令x+y=12,则y=12-x，代入约束条件整理，3x.x=3,x=4，这时最优整点为（3，9）和（4，8）.,【评析】寻找整点的方法：（1）平移找解法：先打网格，做整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较小时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.（2）调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解.（3）由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找出最优解，此时可将可能的数逐一检验即可分晓.,假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和资金有限，在你经营时会受到如下限制：你最多能进50件T恤；你最多能进30双运动鞋；你至少需要T恤和运动鞋共40件才能维持经营；已知进货价：T恤每件36元，运动鞋每双48元.现在你有2400元资金，假设每件T恤的利润是18元，每双运动鞋的利润是20元，问：如何进货可以使你获利最大？,解：设进T恤x件，运动鞋y双，则有x50,y30,x,yN*，x+y40，36x+48y2400，,其目标函数为z=18x+20y.作出它的可行域如图所示，由图可知：当x=50且y=12.5时，z取得最大值1150.但x,yN*,(50,12.5)不是最优解.则在可行域内，若调整纵坐标，与它最接近的整点为(50,12)，则z=1850+2012=1140；若横坐标和纵坐标都调整，即(49,13)，则z=1142；再调整得(48,14),则z=1144；再调整，则整点(47,15)不在可行域内.故T恤进48件，运动鞋进14双，其利润最大.,学点四与解析几何中斜率、距离的联系,【分析】由于本题的目标函数不是一次函数，所以它不是线性规划问题，但可以利用z的几何意义，用类似于线性规划的图解法解问题.,【解析】由约束条件x-4y+30,3x+5y-250,作出点（x,y）x1,的可行域（如图3-4-5）.,图3-4-5,【评析】直接求的最值无从下手，解决这类问题的关键是利用图形的直观性，这就需要：第一，要准确作出可行域；第二，要抓住目标函数z=f(x,y)中z的几何意义.如z=中的z的几何意义就是点A（x,y）与原点连线的斜率，当求与之相关的最值问题时，就要观察图中斜率的变化情况.z=中z的几何意义为：点A（x,y）与点B（x1,y1）连线的斜率.z=中z的几何意义为：点A（x,y）与原点的距离.z=中z的几何意义为：点A（x,y）与点C（a，b）的距离.z=x2+y2中z的几何意义为：A（x,y）与原点距离的平方.,D,解：（1）D（点（x,y）在图中阴影部分，=,即动点（x,y）与定点A（-1,1）连线的斜率,l1的斜率k1=kAB,由得B点的坐标（1，0），k1=-,l2与x-y=0平行,.故应选D.）,y=0，2x-y-2=0，,1.如何用图解法解线性规划问题？在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函数为z=ax+by);（2）移：平行移动直线ax+by=0，确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点；（3）求：求出取得最大值或最小值的点的坐标（解方程组）及最大值和最小值；（4）答：给出正确答案.,2.简单线性规划的实际问题的求解方法是怎样的？（1）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.不管是哪种类型，解线性规划的实际问题，关键在于根据条件写出线性约束条件及线性目标函数，然后作出可行域，在可行域内求出最优解.（2）即使是简单的线性规划问题，常常是题中的条件较多.因此，在解题前应切实做到认真细致地审清题目，将所有的约束条件全部罗列出来，尤其是约束条件中有没有等号，用的未知数x,y,z等是否是正整数，有没,有包含零等等，都应考虑清楚；另外，还应弄清约束条件与目标函数的区别，不能混为一谈.约束条件一般是不等式，而目标函数是一个等式.要解决实际问题中的线性规划，要根据实际问题列出不等式组，根据不等式组画出平面区域.其次，找出实际要求出的目标函数，然后求目标函数的最值.（3）利用线性规划解决实际问题的一般步骤为：模型建立；模型求解；模型应用.但有时根据实际问题的需要，在“模型建立”之前需要作出“模型假设”，而在“模型求解”之后需要作“模型分析”和“模型检验”，这要根据具体问题而定.（4）解决实际问题的关键在于正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言进而建立数学模型，这需要读者在学习有关例题解答时仔细体会范例给出的建立模,型的方法.（5）确定实际问题的最优解，要注意结合所建立的目标函数的特点而选定可行域中的特殊点作为最优解.（6）建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤：明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示；明确问题中所有的限制条件（约束条件），并用线性方程或线性不等式表示；明确问题的目标，并用线性函数（目标函数）表示，按问题的不同，求其最大值或最小值.（7）解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范.但考虑到作图必然会有误差，假如图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解.,1.可行域就是二元一次不等式组表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.2.最优解可有两种确定方法：（1）将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解；（2）利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行域的直线l1,l2,ln的斜率分别为k1k2kn，而且目标函数的直线的斜率为k，则当kikki+1时，直线li与li+1相交的点一般