《线性代数》电子教程之十四.ppt

1,线性代数电子教案之十四,2,主要内容,第十四讲二次型,二次型的概念，二次型的秩，二次型的矩阵表示式等概念；,二次型的标准形，合同矩阵，用正交变换将二次型化为标准形的方法和步骤；,配方法化二次型为标准形的方法，惯性定理；,二次型的正定性，正定二次型的性质与判别法.,3,基本要求,熟悉二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩，掌握用正交变换把二次型化为标准形的方法；,会用配方法化二次型为标准形(规范形)，知道惯性定理.,知道二次型的正定性及其判别法.,4,一、二次型的概念,第五节二次型及其标准形,1.概念的引入,5,2.二次型的定义,定义含有个变量的二次齐次函数,称为二次型.,当系数为复数时，称为复二次型；当系,数为实数时，称为实二次型.,6,3.二次型的矩阵表示式,令，则,于是,7,8,记,9,则,其中为对称阵：.,二次型的矩阵表示式,说明,对称阵与二次型一一对应；,若，,二次型的矩阵满足：,的对角元是的系数；,的元是系数的一半.,则对称阵称为二次型的矩阵；二次型称为对称阵的二次型；,10,例如二次型,的矩阵为,于是,11,二、二次型的标准形概念,二次型研究的主要问题是：,寻找可逆变换，使,这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形(法式).,特别地，如果标准形中的系数只在三个数中取值，那么这个标准形称为二次型的规范形.,标准形的矩阵是对角阵.,12,三、化二次型为标准型,1.经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：,因为有,所以与的关系为：,13,2.矩阵的合同关系,定义设和是阶矩阵，,若有可逆矩阵，使,则称矩阵与合同.,说明,合同关系是一个等价关系.,设与合同，若是对称阵，则也对称阵.,对称阵一定合同相似与一个对角阵.,若与合同，则.,经可逆变换后，二次型的矩阵由变为与合同的矩阵,且二次型的秩不变.,14,3.化二次型为标准形,相当于对对称阵作合同变换；,即寻找可逆阵,使.,定理8任给二次型,总,其中是的矩阵的特征值.,即任何二次型都可用正交变换化为标准形.,存在正交变换，使化为标准形,15,推论任给二次型，总,有可逆变换，使为规范形.,即任何二次型都可用可逆变换化为标准形.,4.用正交变换化二次型为标准形的步骤：,证明,写出二次型的矩阵；,求出的特征值；,求出的两两正交的单位特征向量；,用表示在中求得的特征向量构成的矩阵，写出所求的正交变换和二次型的标准型.,16,例1已知二次型,用正交变换把二次型化为标准形，并写出相应的正交矩阵.,解析：此题是一道典型例题.目的是熟悉用正交变换化二次型为标准形的“标准程序”.,写出二次型对应的矩阵,二次型对应的矩阵为,17,求的特征值,由，求得的特征值为,例1解答,18,求的两两正交的单位特征向量,例1解答,对应，解方程，由,得基础解系为,将其单位化，得,19,例1解答,对应，解方程，由,得基础解系为,将其单位化，得,20,例1解答,对应，解方程，由,得基础解系为,将其单位化，得,21,例1解答,写出正交矩阵和二次型的标准形,令矩阵,则为正交阵，于是，经正交变换,原二次型化为标准形,22,例2已知二次型,的秩为2.,求参数以及此二次型对应矩阵的特征值；,指出表示何种曲面.,解,二次型的矩阵,因为的秩为2，,所以的秩也为2，因而,23,例2解答,当时，的特征多项式为,24,例2解答,于是，的特征值为,由定理8知，必存在正交变换,其中为正交矩阵(不必具体求出)，使二次型,于是，曲面,这表示准线是平面上椭圆、母线平行于轴的椭圆柱面.,在新变量下称为标准形,25,26,一、情形1,第六节配方法,例3用拉格朗日配方法化二次型,成标准形，并求所用的变换矩阵.,解,27,用到的线性变换为,即,用到的线性变换为,即,28,29,所用的变换矩阵为,于是，的标准形为,30,二、情形2,例4用拉格朗日配方法化二次型,成规范形，并求所用的变换矩阵.,解,先用下面可逆变换，使二次型中,即,31,用到的线性变换为,即,32,用到的线性变换为,即,33,34,35,于是，,36,于是，,所用的变换矩阵为,因此，的规范形为,37,三、惯性定理,设有二次型，它,的秩为，有两个可逆变换,及,使,及,则,正数的个数相等.,中正数的个数与,中,38,说明,二次型的标准形正系数的个数称为二次型的,负系数的个数称为负惯性指数.,正惯性指数；,若二次型的正惯性指数为，秩为，则,的规范形变可确定为,只有用正交变换把二次型化为标准形，标准形的系数才是二次型矩阵的特征值.,39,例5下列矩阵中，与矩阵,合同的矩阵是哪一个？为什么？,40,解析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性定理解题.,容易求得的特征值，,于是可知，所对应的二次型的正惯性指数,为；负惯性指数为.,合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，,故选(B).,应选(B)，理由是:,41,一、正定二次型的概念,第七节正定二次型,定义设有二次型，,如果对任何，都有,如果对任何，都有，则称为负定二次型，并称对称阵是负定的；,阵是正定的；,(显然,0)，,则称为正定二次型，,并称对称,42,说明,按定义，当变量取不全为零的值时，二次型若是正定()二次型，则它的对应值总是正数().,负定,负数,若是正定二次型，则,就是负定二次型.,43,二、正定二次型的性质与判别法,定理10二次型为正定的充要条件,是：它的标准形的个系数全为正数，即它的,正惯性指数等于.,推论1正定二次型(正定矩阵)的秩为.,推论2对称阵为正定矩阵的充要条件是：,的特征值全为正.,证明,44,定理11(霍尔维茨定理),对称阵为正定的充要条件是：的各阶主子式都为正.即,对称阵为负定的充要条件是：的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正.即,45,正定,的正惯性指数,的个特征值全为正,的规范形为,合同于单位阵,可逆,的各阶主子式全为正,证明,46,例6判定二次型,的正定性.,解析：此题的目的是熟悉定理11，用定理11判定二次型的正定性.,的矩阵为,1阶主子式：,2阶主子式：,47,3阶主子式：,根据定理11知，,为负定.,48,三、本讲小结,个变量的二次齐次函数称为二次型.,只含平方项的二次型称为二次型的标准形，,将二次型化为标准形相当于把二次型的矩阵合同对角化.,对于任何一个二次型一定存在正交变换将它化为标准形.,配方法是化二次型成标准形(或规范形)的一种较方便的方法；惯性定理.,如果，总有(或)，则称二次型是正定(或负定)的，并称的矩阵是正定(或负定)的.,49,矩阵的三大关系：,它们的定义,存在阶可逆阵和阶可逆阵，使,存在可逆阵，使,存在正交阵，使,存在可逆阵，使,等价、相似(正交相似)、合同,50,关系不变量,等价关系的不变量：,相似关系的不变量：,秩，即,秩，即,特征多项式，即,特征值.,合同关系的不变量：,秩，即,对称性，即若是对称阵，则也是对称阵；,对称阵对应的二次型的正惯性指数和负惯性指数；,对称阵对应的二次型的规范形.,51,作业：,P14025.26.27.(1)31.32.,52,定理8推论的证明,证设有二次型,由定理8知，存在正交变换，使,设二次型的秩为，则特征值中恰有个不为0，不妨设不等于0，,于是，令,其中,则可逆，且变换把化为,53,记，,则可逆变换能把化为规范形,