《线性代数》电子教程之九.ppt

1,线性代数电子教案之九,2,主要内容,第九讲向量组的秩与向量空间,向量组的最大无关组和向量组的秩的定义及等价定义；,基本要求,向量组的秩与矩阵的秩的关系，向量组的秩和最大无关组的求法；,向量空间的概念，向量空间的基和维数、子空间、向量组所生成的空间等概念及有关结论.,理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念，知道向量组的秩与矩阵的秩的关系.会用矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组.,知道向量空间、向量空间的基和维数、子空间、向量组所生成的空间的概念.会求向量在基中的坐标.,3,一、向量组的秩与最大无关组,第三节向量组的秩,定义,向量组线性无关；,设有向量组，如果在中能选出个向量，满足,向量组中任意个向量（如果中有个向量的话）都线性相关.,那么称向量组是向量组的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组，最大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记作.,只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.,4,例如设向量组,线性无关；,线性相关，所以,是向量组的最大无关组，且.,另外，也线性无关，所以,也是向量组的最大无关组.,同理，也是向量组的最大无关组.,5,说明,这个定义是把秩的概念引申到向量组中来，给秩的概念赋予几何解释.并且由于向量组可以含无限多个向量，从而使秩的概念深入到更广阔的领域.,定义表明最大无关组就是含向量个数最多的线性无关的部分组.,向量组的最大无关组一般不唯一.若向量组的秩为，则向量组中任意个线性无关的向量组成的向量组都是它的最大无关组.,6,二、向量组的秩与矩阵的秩的关系,1.定理的引入,记,根据最大无关的定义，知,所以中存在阶非零子式，即矩阵中含有阶非零子式.,另一方面，如果中有阶子式不为零，则,矩阵中所在的列线性无关（因为矩阵的秩为）.,设向量组的秩为，且是它的一个最大无关组.,这与是的列向量组的最大无关组矛盾.,因此,即，矩阵的列向量组的秩等于矩阵的秩.,7,2.定理6,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.,证,设,并设的阶子式.,由知，在中所在的列线性无关；,又由中所有阶子式均为零知，中任意个列向量都线性相关.,因此，所在的列是的列向量组的一个最大无关组，,所以的列向量组的秩为.,类似可证矩阵的行向量组的秩等于矩阵的秩.,8,说明,根据上述定理，有限向量组的秩的记号与矩阵的秩的记号不加区分.,向量组的秩也记作,此定理给出了向量组的秩和最大无关组的求法.,向量组的秩等于它所构成的矩阵的秩；,最高阶非零子式所在的列向量，就是列向量组的最大无关组.,由此可知，前面介绍的定理1、2、3、4中出现的矩阵的秩都可该为向量组的秩.,9,例1全体维向量构成的向量组记作，求的一个最大无关组及的秩.,解,我们已经知道，维单位坐标向量组,析：此例的目的是熟悉向量组的最大无关组和向量组秩的定义.联系后面的向量空间的概念，知是一个维向量空间，是它的一个基，称为的自然基.,是线性无关，,又中的任意个向量（维）都线性相关，,因此向量组是的一个最大无关组，且的秩等于.,显然，的最大无关组很多，任何个线性无关的维向量都是的最大无关组.,10,三、最大无关组的等价定义,1.结论的引入,问题：向量组与其最大无关组有什么关系呢？,设向量组是向量组的最大无关组，,显然，向量组能由向量组线性表示：,另一方面，因为向量组是向量组的最大无关组，所以向量组中任意个向量都线性相关，,特别地，对于中任一向量，向量组,线性相关，因此,线性表示，,所以向量组与其最大无关组等价.,即向量组能由向量组线性表示.,11,2.推论（最大无关组的等价定义）,设向量组向量组的一个部分组，且满足,向量组线性无关；,向量组的任一向量都能由向量组线性表示，,（向量组与等价）,那么向量组就是向量组的一个最大无关组.,12,证,析：按所设，要证明向量组是向量组的一个最大无关组，只要证明向量组中任意个向量线性相关.,设是向量组中任意个向量，,按条件知，能由向量组线性表示，从而有,（由定理3）,于是，由定理4知，,线性相关，,因此向量组是向量组的一个最大无关组.,13,例2设齐次线性方程组,的全体解向量构成的向量组为，求的秩.,解,析：此题的目的是运用“最大无关组的等价定义”求向量组的最大无关组和秩.,先解方程,14,得,所以方程组的通解为,再写出向量组，,15,把上式记作,则,即能由向量组线性表示，而显然是线性无关的.,因此根据最大无关组的等价定义知，,是的最大无关组，从而.,16,四、含无限个向量的向量组的结论,利用最大无关组和向量组的秩，可以把定理1、2、3推广到含无限个向量的向量组：,17,定理2设向量组表示由向量组与向量组合并而成的向量组，则向量组能由向量组线性表示充要条件是.,定理3设向量组能由向量组线性表示，则,定理3设向量组能由向量组线性表示，则,证明,18,例3设向量组能由向量组线性表示，且它们的秩相等，证明向量组与向量组等价.,证,析：本例的目的是熟悉各种关系（矩阵与矩阵关系、向量组与向量组关系、向量组的秩与向量组的秩关系等）之间的转换.,用表示由向量组与合并起来的向量组，,因组能由组线性表示，所以,又已知，故有,因此根据定理2的推论，知,组与组等价.,19,说明,本例也可改述成下列两个命题：,设向量组能由向量组线性表示，则组与组等价的充要条件是；,设，则向量组与向量组等价的充要条件是组能由组线性表示（或组能由组线性表示）.,必须注意，两个向量组的秩相等，这两个向量组是不一定等价.,20,解,析：此例无论在理论上还是计算实践上都具有重要意义.此例的理论依据是：,则与的列向量组各向量之间具有相同的线性关系.,主要依据是矩阵的行最简形.,21,可见,故的列向量组的秩为3，,而矩阵的行阶梯形的3个非零行的非零首元在1、2、4三列，,故为列向量组的一个最大无关组.,22,所以的列向量组与有相同的线性关系，,而是单位坐标向量，容易看出有如下线性关系：,因此也有如下线性关系：,23,说明,这是一道典型例题，具体方法是：,用初等行变换将化为行最简形；,由的非零行数知，的列向量组的秩；,若，则中有列为单位坐标向量，中其余各列可以非常方便地写成它们的线性组合；,根据与的列向量组有相同的线性关系，的列向组中蕴含的复杂线性关系就随之而知：,中对应于中的列构成的列向量组的最大无关组；,中其余列向量用此最大无关组线性表示的系数与中对应列用线性表示的系数依次相同.,24,五、小结,把秩的概念引入向量组后，使方程组、矩阵、向量组三者之间的转换的几何意义更加深刻.,向量组的最大无关组是把有限向量组的结论推广到无限向量组的“桥梁”.,最大无关组的两个等价定义：,向量组线性无关；,向量组中任意个向量都线性相关,设向量组向量组的一个部分组，且满足,那么向量组就是向量组的一个最大无关组.,25,一、向量空间的概念,第四节向量空间,不是空集；,（对于向量加法封闭）,（对于向量与数的乘法封闭）,那么称集合为向量空间.,26,例如,因为3维向量的和仍然是3维向量，数乘3维向量仍然是3维向量，另外，显然非空.,一般地，维向量的全体也是一个向量空间.,是一个向量空间.,设,则,于是,另外，显然非空，所以是一个向量空间.,这是因为,27,集合,不是向量空间.,这是因为,设,则有,而,不满足数乘的封闭性.,设是两个已知的维向量，集合,是一个向量空间.,显然非空；,这是因为,若,则有,线性组合的全体,28,二、向量组所生成的向量空间,定义,再例如,齐次线性方程组,的解集为.,因为,所以是一个向量空间，称为解空间.,向量组的线性组合的全体，称为由向量组所生成的向量空间，记作,29,例5（结论）设向量组与向量组等价，记,试证.,（即等价的向量组所生成的向量空间相同）,证,析：要证，即证,又因为能由线性表示，,则能由线性表示，,所以能由线性表示，,设,即有,这就是说,因此,因此,30,三、子空间,1.定义的引入,维向量的全体是一个向量空间.,是一个向量空间.,这两个向量空间有什么关系呢？,显然这两个向量空间的元素都是维向量，并且有,31,2.定义,设有向量空间及，若，则称是的子空间.,任何由维向量所组成的向量空间，总有,所以这样的向量空间总是的子空间.,32,四、向量空间的基与维数,1.定义,设为向量空间，,个向量，,若满足,线性无关；,中任一向量都可由线性表示，,只含零向量的向量空间没有基，规定它的维数为0.,这样的向量空间称为零空间或0维向量空间.,那么向量组称为向量空间的一个基；称为向量空间的维数，记作并称为维向量空间.,33,说明,但是向量组一般不是向量空间,向量空间可以看作是一个向量组（），根据最大无关组的等价定义知，,的维数就是向量组的秩.,的基就是向量组的最大无关组，,向量空间的基也是不唯一的.,34,例如,任何个线性无关的维向量都可以是向量空间的一个基，由此可知的维数为.,称为维向量空间.,向量空间,取中如下个向量：,显然线性无关，且中任一向量都有,因此是的一个基,且是维向量空间.,可以取其它的个线性无关的向量,35,向量空间,设是向量组的一个最大无关组，,则中任一向量可由线性表示,因而是的一个基,是维向量空间.,36,2.关于基和维数的有关结论：,若向量空间，则的维数不超过.,若向量空间,且则,若向量组是向量空间的一个基，则可表示为,即是基所生成的向量空间，这清楚地显示出了向量空间的构造.这就是基的涵义.,证明,37,五、向量的坐标,1.向量的坐标,定义,设是向量空间的一个基，则中任一向量可由它惟一地表示为,数组称为向量在基中的坐标.,特别地，维向量空间中的向量，,若,则,所以在基中的坐标为.,即向量在自然基中的坐标就是向量的分量.,38,2.过渡矩阵,定义,设和是维向量空间的两个基，根据基的定义知，它们是等价的.,若,则称矩阵从基到基的过,渡矩阵.,39,说明,用表示的表示式称为基变换公式.,向量在某个基中的坐标是唯一的；但是同一个向量在不同中基的中作表示不同的.,向量在两个基中的坐标之间的关系式称为坐标变换公式.,过渡矩阵是可逆矩阵.,40,解,析：本例是关于向量空间的问题，也即线性代数中的几何问题.就计算而言，只需将它转换为相应的矩阵问题：求解矩阵方程.这已经前面分析过这类问题的解法.,要证是的一个基，只需证线性无关，,即证.,41,要求在基中的坐标，就是求下面线性表示式的系数：,两式合起来即为,所以亦即要求解矩阵方程,42,可见,所以是的一个基，且,的解为,43,即,44,例7设中的两个基和，其中,求从基到基的过渡矩阵；,设向量在基中的坐标为，求在基中的坐标.,解,设从基到基的过渡矩阵为，则,即,45,所以,因为在基中的坐标为,所以,设在基中的坐标为，则有,46,因而,所以,47,六、小结,向量组的一个最大无关组与向量空间的区别于联系：,由定义知，除零空间外，任一向量空间作为一个向量组必定是无限集；但向量组作为一个向量的集合可以是有限集.,设是向量空间，把看作一个无限向量组，则中向量组是的一个基的充要条件是是的一个最大无关组；向量空间的维数就等于向量组的秩.这是可以认为只是描述的语言不同而已.,48,向量的维数与向量空间的维数：,向量的维数是指向量分量的个数；向量空间的维数是指向量空间的基中所含向量的个数.维向量空间，“维”是指向量空间的维数.,设向量空间是由向量组所生成的，即,这时，与向量组的联系特别紧密：,，且向量组与向量组等价；,向量组的任一个最大无关组是的