05 相似三角形12015年寒假 初二数学竞赛进阶进度一班教师

相似三角形相似三角形（1 1） 1 / 12 第五讲 相似三角形（1） 【相似的定义】 相似形：形状相同的两个图形 相似三角形：三个角对应相等、三边对应成比例的两个三角形两个三角形相似，用符号“”表示符 号“”读作“相似于” 【相似三角形性质性质】 相似三角形的对应角相等、 对应边成比例 两个相似三角形对应边的比， 叫做这两个三角形的相似比， 一般用 k 表示当1k 时，这两个相似三角形为全等三角形可见全等三角形是相似三角形的特例 【相似的传递性】 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似 【相似三角形的判定】 1. 两角对应相等，两个三角形相似 2. 两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似 3. 三边对应成比例，两个三角形相似 相似三角形相似三角形（1 1） 2 / 12 【直角三角形相似特有的判定方法】 斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似 【射影定理】 已知：如图，在 RtABC 中，90BAC，ADBC 于 D， 那么： （1） 2 ABBD BC； （2） 2 ACCD CB； （3） 2 ADDB DC 证明步骤： （1）证ABDCBA （2）同理证：ACDBCA （3）证ADBCDA A BCD 相似三角形相似三角形（1 1） 3 / 12 【例题1】 如图，ABCADE，若ADEB，则C_； DE BC _ 【例题2】 如图，平行四边形ABCD中，5AD ，3AB ，DCFADB，CF交BD于点 E，交AD于点F，若2.5CF ，则BE的长为； 【例题3】 已知：ABC中，90BAC，ADBC于,D E为AC中点，ED的延长线交AB 的延长线于F，求证： 2 FDFB AF；AB AFAC DF； E D CB A 相似三角形相似三角形（1 1） 4 / 12 【例题4】 如图，ABC中，BDAC于D，CEAB于E，DGBC于G，交CE于F， 交BA的延长线于H， 求证： 2 GDGF GH； 【例题5】 如图，在ABC 中，D 是 AC 上一点，ABD=C，AB=10，AD=8，BC=15，求证： （1） ABDACB； （2）求证：AB2=AD AC； （3）求 BD、CD 的长 解： （1）在ABD和ACB中 AA ABDC ABDACB （2）ABDACB ADAB ABAC 即 2 ABAD AC （3）ABDACB ADABBD ABACBC 即 810 = 1015 BD AC 12.5AC，12BD 4.5CD G H F E D CB A D BC A 相似三角形相似三角形（1 1） 5 / 12 【例题6】 如图，ABC 是等边三角形，P 是边 BC 上任意一点（不与点 B、C 重合） ，联结 AP，线 段 AP 的垂直平分线交 AB、AC 于点 E、F，联结 PE、PF. 求证： （1）EBPPCF； （2）BE CFBP PC 证明： （1）EF垂直平分AP ,EAEP FAFP 又EFEF，EFAEFP，EPFEAF 在等边ABC中， 0 60BACBC ，EPFB 又12EPFB ，12 又BC ，EBPPCF （2）EBPPCF， BEBP CPCF 即BE CFBP PC 【例题7】 已知：如图，平行四边形 ABCD 中，DBC=45 ，DEBC 于 E，BFCD 于 F，DE、BF 相交于 H，BF、AD 的延长线相交于 G求证：AB2=GA HE 证明：1+290CC 12 39045 34 DBC DBEBDEDEBE BEHDEC BHCDAB ， ， 又， ABCD，BFCD，901ABGG ， 2 3 1 ABGHEB ABG G ABAG ABGHEB HEHB ABAG HBAB HEAB ABGA HE 在和中 ， ， F E A BCP 相似三角形相似三角形（1 1） 6 / 12 【例题8】 如图，ABBD，CDBD，AB=6，CD=16，BD=20，一动点 P 从 B 向 D 运动，问当 P 离 B 多远时，PAB 与PCD 是相似三角形？试求出所有符合条件的 P 点的位置 解：,ABBD CDBDBD 设,20BPxPDx则 当 ABBPABBP PDCDCDPD 或时 PAB 与PCD 相似， 66 20161620 (8)(12)01160 60 8,12, 11 60 8,12, 11 xx xx xxx x PBPABPCD 或 或 当时 【例题9】 已知：如图，ABC 和ADE 有公共顶点 A， ABBCAC ADDEAE ， 求证：ABAC=BDCE 证：在ABCADE和中 12 ABBCAC ABCADE ADDEAE BACDAE 在 1= 2 : ABDACE ABDACE ABAC ADAE AB ACBD CE 和中 C BD A P 相似三角形相似三角形（1 1） 7 / 12 【例题10】 如图， 四边形 ABCD 是平行四边形， AEBC 于 E， AFCD 于 F 求证： EAFABC 证：,AEBC AFCD 1290 ABCDBD ABEADF 在平行四边形中， ABAEABAD ADAFAEAF ABBC ADBC AEAF ，AB190CDBAF ， ， 3903+90EAFBEAFB ，又， EAFB EAFABCEAFABC ABBC AEAF 在和中， 【例题11】 如图，在ABC 中，高 BD 与 CE 相交于点 H，联结 DE （1）求证：ADEABC； （2）若A=60 ，BC=6cm，求 DE 的长 （3）图中共有几对相似三角形？ 证： （1）,BDAC CEAB，90ADBAEC ADBAEC在和中 AA ADBAEC ADBAEC ， ADABADAE AEACABAC 即 ADEABC AA ADAE ABAC 在和中 ADEABC （2）ADEABC， ,60 11 3cm 262 DEAE CEABA BCAC AEDE DE AC ， ， （3）共 8 对 BEHBDACDHCEA，ADEABC，DHECHB H E D CB A 相似三角形相似三角形（1 1） 8 / 12 【例题12】 已知：如图，在ABC 中，BAC=90 ，ADBC 于点 D，ABE 与ACF 是等边三角形 求证： （1）EBDFAD； （2）DEFABC 证明： （1）901590BAC 2590ADBC 12 ABEACF和是等腰三角形 3= 4=60, 1324 BEBA ACAF EBDFAD ， 即 1= 2 90 ADBCDA ADCBDA ADBCDA 在和中 ABDBEBDB CADAAFDA EBDFAD EBDFAD EBDB AFDA 在和中 EBDFAD （2）证：EBDFAD 67, 687890 90 , FDFA EDEB EDFBAC FAAC EBAB FDACFDFD EDABACAB 即 DEFABC EDFBAC FDED ACAB DEFABC 在和中 相似三角形相似三角形（1 1） 9 / 12 【例题13】 如图，M、N 分别为正方形 ABCD 的边 AB、BC 上一点，BM=BN，BGMC 于 G 求证：BNGCDG 证：在正方形ABCD中 90ABCDCBBCCD， 490BGMCBGC 13231590 35, 12 4 53 BGCMGC BGC BCCG BGCMGB BMBG 在和中 ,BCCD BMBN CDCG BNBG 1= 2 BNG CDG CDCG BNBG 在中 ，BNGCDG 【例题14】 如图，在ABC 的边 AB 上取一点 D，连 CD，过 D 作 DEBC 交 AC 于 E，过 E 作 EF CD 交 AB 于 F求证：AB4DF F BC A D E 相似三角形相似三角形（1 1） 10 / 12 【作业1】 如图，在ABC 中，AB=AC，A 是钝角，EAF=B，求证： 2 ABBF CE 证明：EAFB 11EAFB 又12B 2BAF ABAC，BC 在ABF和ECA中 2 BC BAF ABFECA， ABBF CEAC ，AB ACBF CE ACAB， 2 ABBF CE 【作业2】 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，点 F 在 CD 上，且 1 4 CFCD，联结 AE、 EF、AF 求证： （1）ABEECF； （2）ABEAEF 证明：设 1 14 4 CFCFCDCD E是BC的中点 1 2 2 BEECBC 在正方形490ABCDABCDBC 中，22 ABBE ECCF ， 在ABEECF和中， BC ABBE ECCF ABEECF CB A EF 相似三角形相似三角形（1 1） 11 / 12 1. 相似三角形的几种类型 相似三角形相似三角形（1 1） 12 / 12 2. 如图 1-11 所示，在ABC中，90A ，分别以AB、AC为边向外作正方形ABCD、ACFG. 设CD交AB于点N，BF交AC于点M，求证：AMAN. 证明： 因为四边形ABDE、ACFG都是正方形，90BAC， 所以CFAB，ACBD，ABBD， ACCF. 所 以C F MABM， 可 得 C FC M A BA M ， 即 AMCM ABCF ， 由 合 比 性 质 得 AMAMCMAC ABABC