13 平行四边形的性质、判定1教师

第13讲 平行四边形的性质、判定（1）【平行四边形的定义和性质】平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用“ ”表示性质1：平行四边形的对边平行（对边位置关系）性质2：平行四边形的对边相等（对边数量关系）性质3：平行四边形的对角相等（对角数量关系）性质4：平行四边形的对角线互相平分（对角线）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等【例题与练习】1. 如图，在中，分别平分，交于点，若，求的长. 解：平分 在ABCD中， 同理 2. 在中，是的中点，求的度数 解：是的中点 在平行四边形中，又即思考：平行四边形的4条性质定理有没有逆定理？【平行四边形的判定】判定1：两组对边分别平行的四边形为平行四边形（对边位置关系）判定2：两组对边分别相等的四边形为平行四边形（对边数量关系）判定3：两组对角分别相等的四边形为平行四边形（对角数量关系）判定4：对角线互相平分的四边形为平行四边形（对角线）判定5：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形（对边位置数量关系）【例题与练习】3. 如图，在中，是对角线的三等分点. 求证：四边形是平行四边形.证（1）：联结，交于 在ABCD中 是的三等分点 即 四边形是平行四边形证（2）： ，且 四边形是平行四边形.4. 如图，分别以中的为边作等边、等边，联结求证：四边形和四边形都是平行四边形证：在中 即 在等边、等边中 即 ，且， 四边形是平行四边形 ， 四边形是平行四边形【课堂练习】1. 平行四边形的一内角平分线与对边相交，把对边分成5cm和3cm两段，求这个平行四边形的周长解：（1） （2）2. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24t，CQ=2t，BQ=302t（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，24t=2tt=88秒后四边形PDCQ是平行四边形；（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，t=302tt=1010秒后四边形APQB是平行四边形.3. 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，于E，于F（1）求证：BE=DF；（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状解：（1） 四边形ABCD是平行四边形， （2）四边形MENF是平行四边形证明：有（1）可知：BE=DF， 四边形ABCD为平行四边行， 四边形MENF是平行四边形4. 如图所示，AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D求证：四边形ABCD是平行四边形证明： 四边形AECF是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形5. 如图，已知，ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点求证：四边形MFNE是平行四边形证明：由平行四边形可知，又，又 M、N分别是DE、BF的中点， ME=NF又由AB DC，得 四边形MFNE为平行四边形6. 在ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边和等边，连接BE、DF求证：四边形BEDF是平行四边形 证明： 四边形ABCD是平行四边形， 又 ADE和 CBF都是等边三角形， 四边形BEDF是平行四边形7. 如图，已知以ABC的各边为边，在BC同一侧作正BCE、正ACF、正ADB, 连接DE、EF.求证：四边形DAFE是平行四边形证：在正和正中 同理： 四边形是平行四边形8. 平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点， ，求的取值范围解：过的延长线于,易证四边形是平行四边形，所以在,即9. 如图，ADBC, B=C, BC=8, AD=6. 求：（1）AB+DC的长 （2）AB和CD间的距离解：作，交的延长线于 四边形是平行四边形 （2）作于 10. 如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD、等边ABE已知BAC=，EFAB，垂足为F，连结DF求证：四边形ADFE是平行四边形证明：易证RtABCRtEBF AC=EF 在等边ACD中，DAC=，AD=AC又BAC=DAF=ADEF 又AC=EF AD=EF四边形ADFE是平行四边形【课后作业】1、在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A(2，1)，B（3，1），C（1，0）.若点A、B、C、D构成平行四边形，求点D的坐标. 解：（1）当为对角线时， （2）当为对角线时 （3）当为对角线时 2、如图，已知在等边ABC中，CD=BF, 以AD为边作等边AED.求证：四边形CDEF是平行四边形 证： 四边形是平行四边形【教师备用】1. 将一副三角尺如图拼接：含30角的三角尺（ABC）的长直角边与含45角的三角尺（ACD）的斜边恰好重合已知AB2，P是AC上的一个动点（1）当点P运动到ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PDBC时，求此时PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时的面积解：在RtABC中，AB2，BAC30，BC，AC3（1） 如图（1），作DFAC，RtACD中，ADCD，DFAFCFBP平分ABC，PBC30，易知CP1，PF，DP （2） 当P点位置如图（2）所示时， 当P点位置如图（3）所示时， 根据（1）中结论， 同（2）可得PDF30DF，ADF45， PDAADFPDF75又PDBC，易知，PDF30PDAADFPDF15（3）CP（如图4）在DPBQ中，BCDP，