线性系统理论讲义第一章4：两种描述的比较.ppt

14系统两种数学描述之间的关系,输入输出描述仅揭示在初始松弛的假定下输入与输出之间的关系。这种描述方法不能表示在非松弛情况下系统的输入输出关系，更重要的一点是它也不能揭示系统内部的行为。,一、两种描述方法的比较,例：考虑系统：,对于比较复杂的线性系统，求其动态方程是一件困难的工作。在这种情况下，籍助于直接量测来得到输入输出描述有时更为有效。,内部状态y是不能观测到的。若控制对y亦有要求，则采用经典控制论的设计方法有时难以奏效。采用状态空间描述：,系统的内部和外部状态均能得到揭示。,3、在经典控制理论中，分析和综合都是在传递函数基础上实现的。例如容易用根轨迹方法或Bode图完成反馈系统的设计，这种设计由于解的不唯一性，在设计法上含有较多的试凑的成份，故设计者的经验起着很重要的作用。,4、现代控制理论能处理那些经典理论所不能处理的问题，如最优控制问题、极点配置问题等。在现代控制理论中，系统设计是用动态方程完成的。虽然动态方程的解析解可能直接得到，但其数值计算通常要用数字机来完成。,5、本书中所研究的动态方程仅限于有限维的情况，故它们仅适用于集中参数系统（用微分方程描述的系统，其运动状态只是时间t的函数）。输入输出描述既适用于集中参数系统也适用于分布参数系统（用偏微分方程描述的系统，其运动状态不仅是时间t的函数，而且还是空间变量的函数。如横向振动的弦，它的横向位移u(t,x)既是时间t，又是弦上不同点位置x的函数）。,由上述讨论可见，输入输出描述和动态方程描述各有长处。因此，为了有效地进行设计，一个设计者应该掌握这两种描述。,二、脉冲响应矩阵与动态方程,在x(t0)=0时，动态方程的解为,1.由动态方程到输入/输出描述,（176）式可写成,若一个系统可以用状态变量描述，容易得到其输入输出描述。相反的问题，即从系统的输入输出描述求取状态变量描述则要复杂得多。,2.由输入/输出描述到动态方程这里实际上包含有两个问题：1).（存在问题）是否可能从系统的脉冲响应阵获得状态变量描述？2).（实现问题）如果可能，怎样由脉冲响应阵求出状态变量描述？,定义111一个具有脉冲响应矩阵的系统，若存在一个线性有限维的动态方程，,与它具有相同的脉冲响应阵，则称是可实现的，并称是的一个动态方程实现。,定理18qp脉冲响应矩阵是能用(A(t),B(t),C(t),D(t)形式有限维动态方程实现的，当且仅当可分解为,其中D(t)是qp矩阵，M(t)和N(t)的分别是t的qn和np连续矩阵。,证明必要性：设动态方程,是的一个实现，则有,其中是的状态转移矩阵。只要令,就可以了。,充分性：若G(t,)有,的形式，构造下列维动态方程,容易验证上式是G(t,)的一个实现。事实上，,证完。,（179）可用图111所示的没有反馈的结构来模拟：,易于得到,是g(t,)的一个实现。当然，可能的实现不止一个。,3.有理函数矩阵可实现的条件,现假定已找到G(s)的动态方程描述为,由（181）可求出,时不变系统的输入/输出描述为：,结论：(1-83）表明，G(s)可用(A,B,C,D)的动态方程实现的条件是G(s)的每一个元都是s的有理函数，而且它的分母的次数不小于分子的次数。,定义112若是常量矩阵，则称有理函数矩阵G(s)是正则有理函数矩阵。若，则称有理函数矩阵为严格正则有理函数矩阵(StrictlyProperRationalMatrixFunction)。,定理19G(s)可由限维线性动态方程(A,B,C,D)实现的充分必要条件是，传递函数矩阵G(s)是正则有理函数矩阵。,证明：必要性：因为(sIA)的行列式是s的n次多项式，adj(sIA)的每一个元是矩阵(sIA)的n1阶子式，而这些子式都是次数至多为n1次的多项式。,充分性：因为G(s)是qp正则有理函数矩阵，G()显然是一常量矩阵，记G()为D，因而G(s)可分解如下：,证明是构造性的。设各元素的分母的首一最小公倍式为,其中是严格正则的有理函数矩阵。现在证明存在A、B、C阵，使得,则可表示如下：,其中，Gi均为