2015年北京中考数学试题及答案(高清版)

2015年北京市高级中等学校招生考试数学试 卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为ABCD2实数在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是ABCD3一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为A. B. C. D. 4剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为5如图，直线交于一点，直线，若，则的度数为A. 26B. 36C. 46D. 566如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为1.2km，则两点间的距离为A 0.5 kmB 0.6 kmC 0.9 kmD1.2 km7某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是A21，21 B21， 21.5C21，22D22，228右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示太和门的点的坐标为，表示九龙壁的点的坐标为，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是A景仁宫B养心殿C保和殿D武英殿-9一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）A类5025B类20020C类40015例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于4555次之间，则最省钱的方式为A购买A类会员年卡B购买B类会员年卡C购买C类会员年卡D不购买会员年卡10一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的组成为记录寻宝者的行进路线，在的中点处放置了一台定位仪器设寻宝者行进的时间为，寻宝者与定位仪器之间的距离为，若寻宝者匀速行进，且表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为ABCD二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）11分解因式： _12右图是由射线组成的平面图形，则_.13九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术其中，方程术是九章算术最高的数学成就九章算术中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，可列方程组为_14关于的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数的值：_，_.15北京市20092014年轨道交通日均客运量统计如图所示根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约_万人次，你的预估理由是_.16阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确”请回答：小芸的作图依据是 三、解答题（本题共72分，第1726题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17计算：18已知求代数式的值 19解不等式组，并写出它的所有非负整数解20如图，在 中，是边上的中线， 于点求证：21为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个预计到2015年底，全市将 有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？22在中，过点作于点，点在边上，连接.（1）求证：四边形 是矩形；（2）若，求证：平分.23在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点为，与轴、轴分别交于点.（1）求的值；（2）若，求的值.24如图，是的直径，过点作的切线，弦，交于点，且，连接，延长交于点.（1）求证：是等边三角形；（2）连接，若，求的长.25阅读下列材料：2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次.其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高.2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，比2013年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次.2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9万人次.根据以上材料解答下列问题：（1）2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为万人次；（2）选择统计表或统计图，将2013-2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来.26有这样一个问题：探究函数的图象与性质.小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量的取值范围是；（2）下表是与的几组对应值.123求的值；（3）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：_.27在平面直角坐标系中，过点且平行于轴的直线，与直线交于点，点关于直线的对称点为，抛物线经过点.（1）求点的坐标；（2）求抛物线 的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线 与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求的取值范围.28在正方形中，是一条对角线，点在射线上（与点不重合），连接，平移，使点移动到点，得到，过点作于，连接.（1）若点在线段上，如图1.依题意补全图1；判断与的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点在线段的延长线上，且，正方形的边长为1，请写出求长的思路.（可以不写出计算结果）29在平面直角坐标系中，的半径为，是与圆心不重合的点，点关于的反称点的定义如下：若在射线上存在一点，满足，则称为点关于的反称点，下图为点及其关于的反称点的示意图.特别地，当点与圆心重合时，规定.（1）当的半径为1时.分别判断点关于的反称点是否存在，若存在?求其坐标；点在直线上，若点关于的反称点存在，且点不在轴上，求点的横坐标的取值范围；（2）的圆心在轴上，半径为1，直线与轴，轴分别交于点，若线段上存在点，使得点关于的反称点在的内部，求圆心的横坐标的取值范围.2015 年北京市高级中等学校招生考试一、选择题数 学 考参考答案题号12345678910答案BABDBDCBCC二、填空题题号11121314答案5x ( x - 1)23605x + 2 y = 102x + 5 y = 8a = 1b = 1（满足 b2 = a ，a 0 即可，答案不唯一）15参考答案：1038，按每年平均增长人数近似相等进行估算参考答案：980，因为 2012-2013 年发生数据突变，故按照 2013-2014 增长进行估算（因为题目问法比较灵活，只要理由合理均可给分估计学生答出 980 至 1140 之间均可 给分）16到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线17解：原式 = 4 - 1 + 2 -3 + 4 32= 5 -3 + 2 3= 5 + 318解：原式 = 3a(2a + 1) - (2a + 1)(2a -1)= 6a2 + 3a - 4a2 + 1= 2a2 + 3a + 1 2a2 + 3a - 6 = 0 2a2 + 3a = 6原式 = 74( x + 1) 7 x + 1019解： x 8 - x - 5 3由 4x + 4 7x + 10-3x 6x -2由 3x -15 x - 82x 7x 72 -2 x 72非零整数解为0，1，2，3.20证： AB = AC ABC = C又 AD 是 BC 边上的中线 AD BC BAD + ABC = 90 . BE AC . CBE + C = 90 CBE = BAD .21解：设 2015 年底全市租赁点有 x 个.50000 = 1.2 25000xx = 1000600经检验： x = 1000 是原方程的解，且符合实际情况.答：预计到 2015 年底，全市将有租赁点 1000 个.22解 四边形 ABCD 为平行四边形 DC AB即 DF BE又 DF = BE 四边形 DEBF 为平行四边形 又 DE AB ，即 DEB = 90 四边形 DEBF 为矩形四边形 DEBF 为矩形 BFC = 90 CF = 3 ， BF = 4 BC =32 + 42 = 5 AD = BC = 5 AD = DF = 5 DAF = DFA DFA = FAB DAF = FAB即 AF 平分 DAB23解：（1）点 P(2 ，m) 在 y = 8 上.x m = 8 = 42m = 4（2） P （2，4）在 y = kx + b 4 = 2k + bb = 4 - 2k y = kx + b 与 x 、 y 轴交于 A 、 B 两点 A(2 - 4 ，0) ， B(0 ，4 - 2k)k PA = 2AB如图PB = AB ，则 OD = OA = 2 . 4 - 2 = 2 .k k = 1如图PA = 2AB ， PD = 2OB = 4 OB = 2 ， 2k - 4 = 2k = 3 k = 1 或 k = 324证：（1） BM 是O 切线， AB 为 O 直径 AB BM BM CD AB CD= AD = AC D= DC = AD AD = CD = AC ACD 为等边三角形.证：（2）ACD 为等边三角形， AB CD DAB = 30连结 BD ， BD AD .EBD = DAB = 30 DE = 2 BE = 4 ， BD = 2 3AB = 4 3 , OB = 2 3在 RtOBE 中OE =OB2 + BE2 =12 + 16 = 2 725（1）40（2）2013-2015 清明小长假公园游客接待量统计表公园人数（万）年份玉渊潭颐和园动物园20133221.614.920144026.22220153826182013-2015 清明小长假公园游客接待量统计图26（1） x 0（2）令 x = 3 y = 1 32 + 12 3= 9 + 1 = 292 3 6 m = 296y6543（3）如图-4 -3 -2-1O 1 2 3 4 x-1-2-3-4（4）该函数没有最大值该函数在 x = 0 处断开该函数没有最小值该函数图像没有经过第四象限27解：当 y = 2 ，则 2 = x - 1 ， x = 3 A （3，2） AB 关于 x = 1 对称 B(-1，2)把（3，2）（ -1 ，2）代入得：2 = 9 + 3b + c2 = 1 - b + c，解得 b = -2c = -1 y = x2 - 2x - 1如图，当 C2 过 A 点， B 点时为临界代入 A(3，2) 则 9a = 2 ， a = 29-12代入 B(-1，2) 则 a = 2 2 a 2928（1）ABH法一：轴对称作法判断： AH = PH ， AH PH证：连接 CH得：DHQ 等腰 Rt DPCQ又 DP = CQ ，HDP HQC PH = CH ， HPC = HCPBD 为正方形 ABCD 对称轴 AH = CH ， DAH = HCP AH = PH ， DAH = HPC AHP = 180 - ADP = 90 AH = PH 且 AH PH法二：四点共圆作法.同上得： HPC = DAH A 、 D 、 P 、 H 共同 AHP = 90 ， APH = ADH = 45 APH 等腰 Rt ABHPDRQC（2）法一：轴对称作法 考虑DHQ 等腰 RtPD = CQ作 HR PC 于 R AHQ = 152 AHB = 62 DAH = 17 DCH = 17设 DP = x ，则 DR = HR = RQ = 1 - x .2由 tan17= HR 得：CR x = 1 - tan171 + tan171 - x21 + x2= tan17法二：四点共同作法A 、 H 、 D 、 P 共同 APD = AHB = 62 PD =AD =tan 621tan 62= tan 2829CP 2r = 2 CP2 4P ( x, -x + 2)CP2 = x2 + (-x + 2)2= 2x2 - 4x + 4 42x2 - 4x 0x ( x - 2) 00 x 2当 x = 2 时， P (2, 0), P(0, 0) 不符合题意当 x