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现代数学教育理论及启示,江苏师范大学数学科学学院吴晓红wxhong369,教师专业发展的需要数学课程改革的要求教师专业知识的现状,为何讲？,“教师专业发展要达成的基本品质”：精通学科专业知识、具备扎实的教育教学知识技能、具有强烈的社会与政治责任感以及具有深厚的文化底蕴。（中国教育报2011.12.6）中小学教师的知识主要有三类：本体性知识：学科知识条件性知识：教育学、心理学知识实践性知识：在教育教学中形成的知识,教师知识是由数学知识、教育学知识、心理学知识、其他学科知识组成的一个有机整体对数学教学影响较大的是教育学知识与数学知识，且二者之间无显著性差异。其次是心理学知识，然后是其他学科知识。,李渺。数学教师的知识对数学教学的影响研究。南京师范大学博士学位论文，2007,新课程呼唤综合型的教师，要求教师具有复合型的知识结构，既要具备精深的学科专业知识（主体性知识）和广博的一般性文化知识，同时又应具备基本的教育科学知识（条件性知识）和丰富的实践性知识。,目前普通中学数学教师由于内、外部因素的影响，在知识方面仍然存在一些问题。1.本体性知识方面:(1)数学专业基础知识仍需要进一步加强;(2)对课标新增知识的储备不足;(3)数学史知识以及数学学科前沿知识比较匾乏2.条件性知识方面:教师对教育学与心理学知识的总体掌握与运用比较差，对学生的身心发展与个体差异、教与学的理论、学生成绩评价等方面还缺乏科学的认识，教师中还未形成一个运用教育学和心理学的科学理论来指导教学实践的良好氛围。同时，教师的现代信息技术知识和科研知识也相当匾乏，需要进一步加强。3.实践性知识方面:(l)课堂教学重结果轻过程;(2)关注预设，忽视生存;(3)对新课程提倡的新的教学方式尚不适应。,汪会玲。普通中学数学教师知识结构的调查与分析。首都师范大学硕士学位论文，2007,农村小学数学教师知识发展存在的问题：知识结构不完善，教育教学知识的掌握较差，实践性知识水平校低,卢秀琼，张光荣，傅之平。农村小学数学教师知识发展现状与对策研究。课程教材教法，2007（9）,苏霍姆林斯基：不掌握教育学、心理学知识，在教育工作中就会像在黑暗中上路一样,弗赖登塔尔数学教育理论波利亚解题理论数学双基教学课程改革：统整的建构主义研究与实施素质教育的重要的理论依据多重智力学说与成功智力学说的综合全面更新与评估人的智力素质的理论依据情境认知理论,重要的数学教育理论,弗赖登塔尔数学教育理论,汉斯弗赖登塔尔(HFreudenthal，19051990)，荷兰数学家、数学教育家，国际上极富盛名的数学教育权威对于数学教育，在20世纪上半叶是F.克莱因做出了不朽的功绩，而在下半叶则是弗赖登塔尔作出了巨大的贡献。,早年从事纯粹数学研究，在李群和拓扑学方面多有建树。1951年起为荷兰皇家科学院院士，1954年起担任荷兰数学教育委员会主席，1967年担任国际数学教育委员会主席ICME独立举行，国际数学教育委员会（ICMI）成为一个促进数学教育研究的国际机构创办了世界性数学教育杂志数学教育研究（EducationalStudiesinMathematics）,一生发表关于数学教育的著述达几百篇(部)作为教育任务的数学（1973）播种和除草（1978）数学结构的教学法现象学（1983）1987年冬，应邀访华数学教育再探：在中国的讲学,主要内容：什么是数学数学教育的目的核心思想启示,什么是数学,对数学本质的看法数学是系统化了的常识：数学的根源在于普通的常识，数学实质上是人们常识的系统化。常识并不等于数学，常识要成为数学，它必须经过提炼和组织而凝聚成一定法则。这些法则在高一层次里又成为常识，再一次被提炼、组织，而凝结成新的法则。新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升以至无穷。这样，数学发展过程就显出层次性，构成许多等级，同时也形成诸如抽象、严密、系统等特性。即数学是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。,对完全归纳法原理和皮亚诺公理系的学习：“首先必须有一个例子以迫使学生发现完全归纳法，通过特殊例子他认识到普遍的原理；随后又将其用于更复杂的情况；再在掌握原理的基础上，才能在教师的帮助下进行系统的阐述；最后如果他在公理化方面有一些亲身体验的话，他才能进入皮亚诺公理的轨道。”,对现代数学特征的看法数学表示的再创造与形式化活动。数学变化更多的是形式的变化，而非实质内容的变化。数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向实现公理系统的抽象化。承认隐含形式的定义，从而在现代科学方法论的道路上，迈开了决定性的一步。传统的数学领域之间的界限日趋消失，一贯奉为严密性的典范几何，表面上看来似乎己经丧失了往昔的地位，实质上正是几何直观在各个数学领域之间起着联络的着用。正如康德(Kant)所说:“没有概念的直观是无用的，没有直观的概念是盲目的。”相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视概念数学，或者说是思辩数学。,张奠宙等。数学教育学，江西教育出版社，1991,数学方式描述的形式化传统数学分支的综合化数学组织的结构化现代数学应用分支的多元化,数学教育的目的,数学教育的目的应随时代而变化，数学教育的作用必然受到社会条件的约束和限制，同时也要与学生的接受能力相适应。,弗赖登塔尔分析了一些数学教育目的掌握数学的整个体系因为数学的应用广泛，又有高度的灵活性，每个人将来究竟需要用到哪些概念和技能，难以预料，于是希望通过数学教育能够掌握数学的整个结构，所教的数学内容必须符合数学体系的要求，能够紧密地组合成一个整体，彼此联系密切。但是，数学教育的目的绝对不是为了培养数学家，如果过于强调数学体系，以之作为数学教育的最终目的，那不恰当的，特别是如果仅仅以数学体系来决定教学内容的取舍，那必然会违反教学法的规律；甚至引起学生反感。,学会数学的实际应用由于从过去、现在一直到将来，教数学的教室都不可能浮在半空中，学数学的学生也必然属于社会，因此认真考虑数学在社会中的角色，应该成为数学教育的首要目的。即数学教育必须让学生学会数学在解决实际问题中的作用，会运用数学于具体现实。,数学作为思维的训练数学是智力的磨刀石，是一种思维的训练(1)诗人中最伟大的画家与画家中最伟大的诗人，是否同一个人?(2)诗人中最老的画家与画家中最老的诗人，是否同一个人?(3)如果诗人中只有一个画家，那么画家中是否只有一个诗人，他们是否同一个人?(4)一个小镇上有许多房子，房子里有许多桌子。对任意n=1,2,3,，下列断言成立:如果一座房子中有n条腿的桌子，那里就没有多于n条腿的桌子。问以下命题是否成立?对n=1,2,3,，如果一座房子中有n条腿的桌子，那里就没有少于n条腿的桌子。(5)一个蓝子里有各种不同颜色和不同形状的物体，试问蓝子里是否一定有两件物体，它们的颜色和形状都不相同?数学教育与逻辑思维有着一定的联系,数学作为筛选的工具社会本有各种不同的需要，也有各种不同的层次，人们必须通过形形色色的入场考试，即使社会差异会逐渐消失，但社会总是要对它的成员进行各种挑选，以保证合理的社会分工，因此筛选工具是必须的，考试也是必要的。他认为，如果说“数学教学的目的就是为了考试”，“学生学习只是为了一个分数，而教师的职责也只是在给分宽严之间作一个最佳选择”，那就与数学教育的目的相距太远了。,培养解决问题的能力数学可以训练语言的表达，以最精确、简洁的语言来描述现象，数学可以简化问题，也能推广问题使之一般化，因而数学可以从多个侧面，给人们提供解决问题的手段、背景以及思维方法。但是如果人们只会套公式，而从不亲身体验一下数学可以成为解决问题的一种活动，那又怎么能做到这一点呢？,若干核心思想,数学现实基本出发点：数学源于现实，扎根于现实，并且应用于现实。,不同的人有不同的“数学现实”：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、规则和有关的数学知识结构，其中既含有客观世界的现实情况，也包含个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。从这个意义上说，这里所谓的“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”。大多数人的数学现实世界，可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人的数学现实世界可能需要熟悉某些简单的函数和比较复杂的几何(如数学教师)。至于一个数学家的数学现实，可能就要包含希尔伯特空间的算子、拓扑学以及纤维丛等。,为学生准备的数学就应明确学生的“数学现实”，并使之扩展提高。,数学化把数学当成一种活动，其主要特征：数学化数学化：就是数学地组织现实世界的过程。即人们在观察、认识、和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织，以发现其规律的过程。,数学的产生与发展本身就是一个数学化的过程数学体系的形成是数学化的结果形式化、公理化及模式化等这些发展数学的过程都是数学化的过程，“任何数学都是数学化的结果，不存在没有数学化的数学，不存在没有公理化的公理，也不存在没有形式化的形式”。人们学习数学的过程，或多或少地遵循着历史发展的规律。数学教育应该尊重数学的传统，将数学与它有关的现实世界紧密联系在一起，通过“数学化”的途径来进行数学的教与学。与其说是学习数学，还不如说是学习数学化;与其说是学习数学公理系统，还不如说是学习公理化;与其说是学习形式体系，还不如说是学习形式化。,数学化对象有两大类：一类是现实客观事物另一类是数学本身的内容，包括数学符号、各种观点、概念以及它的运算方法和规则等。对客观世界的数学化，形成了数学的概念、运算法则、规律、定理以及为解决实际问题而构造的数学模型;对数学本身的数学化，是深化数学知识，或者是数学知识的系统化，形成不同层次的公理体系和形式体系。,数学化的层次：水平数学化和垂直数学化水平数学化：发现情景问题中的数学成分，并对这些成份作符号化处理的数学化过程，是从“生活”到“符号”的转化。经过水平数学化，现实问题转化为数学问题。,垂直数学化：从具体问题到抽象概念的转化，是建立数学问题与数学系统之间关系的过程。垂直数学化是在数学的范畴内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理的数学化过程，是从“符号”到“概念”的转化。,再创造学习数学最好的方法就是“再创造”，学生将要学的知识自己去发现创造出来，亲自参与知识的产生与发展过程，亲尝数学的激情与生命。“再创造”包括数学知识的再创造、数学教学的再创造、数学学习的再创造等。,学生的再创造不应该是盲目的、无序的，它需要教师在适当的时机引导学生加强反思，巩固已经获得的知识，点拨学生思维的关键点，以提高其思维水平。使学生的“创造”活动逐步由不自觉或无目的的状态发展成为有意识有目的的创造活动，尽量促使每个学生所能达到的水平尽可能地提高。有指导的再创造师生要在创造的自由性和指导的约束性之间，在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间，在教的强迫性和学的自由性之间，达到一种微妙而和谐的平衡。,往哪儿指导？到活动中去，到数学化和它的各个方面中去：学生应该再创造数学化而不是数学，抽象化而不是抽象，图式化而不是图式，形式化而不是形式，算法化而不是算法，用语言描述而不是语言,在哪儿指导？现实,怎样指导？在学生当前的现实中选择学习情境，使其适合水平数学化。为纵向(垂直)数学化提供手段和工具。相互作用的教学系统。对于教与学的过程，是观察还是加强，是使它们结合还是使它们分离确实需要而且应该允许有灵活性，相互影响意味着教师与学生双方既都是动因，同时又都对对方起作用，教与学应该是相辅相成的。承认和鼓励学生自己的成果。学生自己的成果不仅包括解法的再创造，而且包括问题的再创造。将所学的各个部分结合起来。对所学的各个部分的结合应尽可能早的组织，并且应该尽可能延续得更长，并尽可能不断地加强。在不可避免地出现杂乱状态时，惟一可以继续下去的机会就是能够和别的内容联系起来，使之成为一个交织的起点，并合乎逻辑地延续下去。,弗赖登塔尔数学教育思想：着眼点在于数学出发点是数学的本质和特性：数学是人们常识的系统化，是人类对现实世界经验的总结，数学具有抽象性、精确性和应用的极其广泛性关注的是如何把数学以最好的方式教给不同的人,若干启示,现实数学教育把情景问题作为发现的源泉，课堂讨论的基础。学生通过情景问题去发现新的数学概念，通过自己的发现去解决新的情景问题。情景问题是现实数学教育的出发点，也是学生应用数学的领域。现实世界与数学世界之间，具体与抽象之间的联系就是通过情景问题建立并沟通的。数学教育要面向社会现实，必须联系生活实际，注重培养和发展学生从客观现象发现数学问题的能力；用再创造的方法去进行教学，反对灌输式和死记硬背；提倡讨论式、指导式的教学形式，反对传统的讲演式的教学形式；数学学习具有层次性，数学认识的发展即是学习过程层次的不断提高，通过反思低层次上获得的数学知识而上升到较高层次的过程；,问题情境过程教学探究学习数学应用,案例：教材：矩阵的运算,案例：勾股定理的建构,“过程”的内涵：（1）“过程”是数学知识生成的过程，即数学发生、发展乃至应用的过程。就是说要再现人类的发现过程，通过揭示数学问题产生的过程、暴露概念的形成过程、展现公式的发现推导过程、尝试定理的猜想过程、明确数学问题解决的过程等，引导学生经历知识生成的过程，体验知识“再创造”的过程，使学生了解知识的来龙去脉，更深刻地理解知识的本质，更灵活地运用知识。（知识的再创造不是数学家发现知识的全过程，而是在课堂意义下经过重组和改造的知识的类发现过程）（2）“过程”是思维发展的过程，即学生数学思维不断发展和完善的过程。就是说要再现人类研究问题的思维过程，通过暴露数学家的思维活动过程，暴露教师由“失败”走向“成功”的过程，揭示人类思考问题的方式方法，使学生学会自己探索，自己发现，乃至自己创造数学，促进学生数学思维的发展。（3）“过程”不仅是手段，也是教学目标，即必须让学生在数学学习活动中去“经历过程”。如果仅仅注重在知识的形成过程中学习知识，那么对“过程”的定位主要是服务于知识的学习，难免会出现教师直接讲授“探索过程”的现象，这样，数学学习就会由听“结果”变成了听“过程”，这样的“过程”就失去了探索的意义。,袁玲玲，吴晓红“过程教学”视角下的勾股定理的教学过程中学数学杂志，2010（8）,所谓“探究学习”，笼统地说，即是指学生通过主动探索相对独立地作出科学发现或创造，包括由此而获得科学活动的实际体验和经验。表现为使学生亲历科学发现过程，通过对具体问题、特殊对象的探究而发现较为明显的数学规律，因此探究学习所关注的是具体的事物或现象，并表现为对于活动的突出强调。也即通过实际的活动归纳出数学规律。,郑毓信，吴晓红探究学习之省思，2005,勾股定理1勾股定理2,要处理好以下关系：教师与学生操作活动与数学思维过程与结果,水平数学化有余垂直数学化不足,数学思维发展具有不连续性。探究活动是数学教学必不可少的层次。数学学习不能停留于一个固定的层次上，特别是最低的层次上，只有将探索的东西作为进一步反思的对象，或者说促进学生对低层次活动的反思，才能提高学习的层次，理解探究活动的数学内涵。,有效的探究学习探究的起点：问题性问题指向明确探究的过程：过程性学生亲历探究过程探究的结果：自主性学生自主建构结果探究的环境：开放性开放的课堂教学体系探究的结束：反思性实现向更高层次过渡,情境认知理论,自20世纪60年代起，认知心理学逐渐取代行为主义，在心理学领域中占据了主导地位。从20世纪90年代开始，学习领域中出现了众多“新理论”，如“情境学习”、“分配认知”、“生态心理学”、“社会共享认知”，等等。贝尔等人指出，这些理论“大多数是以学生为中心的，关注学习活动的，注重学习情境脉络重要性的”。情境认知（SituatedCognition）唯一注重认知心理学的研究采取了多样化的视角，强调社会的视角、知识的社会本质。,将研究学习的焦点移至实践共同体中学习者社会参与的特征，将参与视作学习的关键成分，并要求学习者通过理解和经验的不断地相互作用，在不同情境中进行知识的意义协商。学习研究的社会转向分析的基本单位：由个体转向共同体，转向个体与共同体之间的关系。关注的不再是纯粹的认知活动，而是过渡到了个体的社会定位，即个体“身份”的形成或界定。合法的边缘参与就是学习。,情境认知理论的基本假设学习以日常情境中的活动为基础知识需要情境化并转移到相似情境中：突出了情境在学习过程中的作用学习是包括思考，感知，解决和交互的社会过程的结果学习存在于复杂的社会环境中学习本质上是从日常生活的真实活动中建立有意义的事件通过把内容嵌入学习者正在经历的体验，为学习者提供机会在真实世界挑战中体验内容，他们就可以获得知识，而且学习也从教室迁移到了实践领域中情境学习意味着把思维和行动放在具体的时间和空间中情境意味着包括其他的学习者，环境和建构意义的活动，意味着定位于特殊的场景，在这当中专家使用思维和活动过程来完成知识和技能任务,若干观点知识“普遍存在于学习者、日常生活工具、媒体、教材与文化脉络中”。知识的意义是无法从环境中单独隔离出来的。学习需要有“真实的环境,习得的知识才具意义”。知识有“透过真实活动而逐渐发展的特性”,学校中人造的、简化的学习环境与真实世界中的环境截然不同。社会的互动及学习者之间的合作在教育上极为重要。情境学习论者鼓励“以群体的方式来进行学习”,它宣称“学习是经由合作式的社会互动及团体共同建造知识而逐步完成”。学习不仅仅是一个个体的意义建构的心理过程，而更是一个社会性的、实践性的、以差异资源为中介的参与过程，知识的意义和学习者的自身的意识、角色都是在学习者与情境的互动、学习者之间的互动中生成的。,基于情境认知的教学模式抛锚式教学：为了使知识能在适当的环境中着锚(anchor),主张“选择出与当前学习主题密切相关的真实性事件或问题锚作为学习的中心内容,营造一个能提供足够实践机会的完整的教学环境”,让学生从不同的角度去探索、体会知识的意义。认知学徒制：最有效的训练是在一个行为的现场中，学习“应该像技艺学徒一般,长期居住在师傅家中学习技艺”。学习者“必须身处专业领域的文化环境中,亲身观察、模仿、学习才能建立坚实的知识。”,基于“情境认知”的数学教学行动根植于它发生的具体情境之中，在教学中应将数学学习与具体任务联系，倡导做中学，强调知与行的统一；知识与情境相依，在一个情境中获得的知识很难迁移到其他情境中，教学中教师的重要任务是设计真实的学习情境；重视学习共同体与实践共同体的作用（学习是经由合作式的社会互动及团体共同建造知识而逐步完成）,教学涵义数学知识应根植于情景脉络中；通过运用来理解数学；数学学习是一个文化浸润的过程；真实的学习评价（以情景为参照）合作学习与学习共同体；,案例：合作学习,第一次小组合作1：量一量“自己身上哪儿离地面是1米？”第二次小组合作2：量一量“从指尖到哪儿是1米？”第三次小组合作3：在舞台上找个东西量，量一量从哪儿到哪儿是1米。第四次小组合作4：“想不想知道自己1米走几步？每人走一走。”第五次小组合作5：“每组同学剪一个1米长的绸带。”实录,“米的认识”,第一次合作：师：孩子们，你们想不想知道自己身上哪儿离地面1米高？每个组的4个同学为一个小组，量其中的1个人。当然了，我们有合作就得有分工。比如说，我们这4个同学呀，可以一个同学像张老师这样站直了，第2个同学拿着米尺去量，第3个同学仔细瞧瞧，检查检查方法，第4个同学拿着标签去贴。你们会合作吗？下面就请一个小组给大家合作看一下。底下的同学就仔细瞧瞧他们是怎么合作的？你们谁是组长啊？赶快分工师：有一个细节让我感动，他们贴完标签后，4个孩子同时用眼睛打量这个标签，我在猜想，你们心一定在说：是这儿离地面有1米高。你们也能像他们这样合作好吗？贴完标签以后也要像他们一样仔细地打量打量，行吗？,有效的合作学习明确学习任务合理分工，责任明确人人参与角色互换明确合作学习规则指导示范监控介入适时评价,合作学习的目标,三种目标：合作目标、设计目标、课堂教学目标有效的合作学习是合作目标、设计目标、课堂教学目标的有机统一，由明确的合作目标、理性的设计目标，有效地达成课堂教学目标。,合作学习的内容,合作学习的内容，不仅有学科内容知识，还有实施合作学习的方法规则；不仅包括体验合作学习的过程，也包括经历合作学习获得的结果。有效的合作学习内容是学科知