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第五章 二次型 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 把方程化为标准形式 .这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论个变量的二次多项式的化简问题.第一节 二次型及其矩阵分布图示 引言 二次型的定义 例1 二次型的矩阵形式 例2 例3 例4 例5 线性变换 例6 矩阵的合同 内容小结 习题5-1内容要点一、二次型的概念定义1 含有个变量的二次齐次函数称为二次型. 当为复数时，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型 称为二次型的标准型(或法式).二、二次型的矩阵取,则于是其中 .称为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵称为该二次型的矩阵.二次型称为实对称矩阵的二次型. 实对称矩阵的秩称为二次型的秩. 于是，二次型与其实对称矩阵之间有一一对应关系.三、线性变换 定义2 关系式 称为由变量到的线性变换. 矩阵 称为线性变换矩阵. 当时，称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型,我们的问题是：寻求可逆的线性变换将二次型化为标准型，将其代入得这里，为关于的二次型，对应的矩阵为.注: 要为标准型，即要为对角矩阵。由上章实对称矩阵对角化的方法，可取为正交变换矩阵.对于简单的二次型，也可以用用配方法解之.四、矩阵的合同定义3 设A,B为两个n阶方矩阵,如果存在n阶非奇异矩阵C,使得则称矩阵A合同于矩阵B,或A与B合同,记为易见, 二次型的矩阵A与经过非退化线性变换得到的二次型的矩阵是合同的.矩阵的合同关系基本性质:(1) 反身性 对任意方阵;(2) 对称性 若则(3) 传递性 若则例题选讲 例1 (1)是一个含有2个变量的实二次型. (2)是一个含有3个变量的实二次型. (3)是一个4个变量的实二次型. (4) 是一个含有4个变量的实二次型. (5) 不是一个实二次型, 因为它含有一次项及常数项1. (6) 不是一个实二次型, 因为它含有3次项 (7) 不是一个实二次型, 因为是虚数, 但它是一个复二次型. 例2 写出下列是二次型相应的对称阵. (1) 其矩阵为 (2) 相应的实对称阵为 (3) 相应的实对称阵是一个对角阵: (4) 相应的对称阵为 例3 设有实对称矩阵 求对应的实二次型.解 是三阶阵，故有3个变量，则实二次型为例4 (E01) 二次型的矩阵反之, 对称矩阵所对应的二次型是例5 (E02) 求二次型的秩.解 先求二次型的矩阵.所以对作初等变换 即所以二次型的秩为3.例6 设二
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