《数字信号处理》第七章 有限单位冲激响应(FIR)数字滤波器设计.ppt

第七章FIR滤波器的设计,IIR数字滤波器：,可以利用模拟滤波器设计,但相位非线性,FIR数字滤波器：,可以严格线性相位，又可任意幅度特性,因果稳定系统,可用FFT计算,但阶次比IIR滤波器要高得多,主要内容,线性相位FIR滤波器的特点窗函数设计法频率抽样设计法IIR与FIR比较,7.1引言,一、FIR滤波器的主要特点：,单位冲激响应只有有限多项可以设计成线性相位系统只在原点处有极点，因此系统总是稳定的便于DSP实现（并可用立即数乘加指令编程，节约存储器）,二、FIR与IIR相比较：,首先在相频特性控制上可以做到线性相位，IIR而不能做到这一点，这一点在通信等领域中要求却很重要；其次，FIR不存在稳定性问题，其非递归结构不会产生极限环现象等有限精度问题；最后，FIR还可以FFT用来滤波。故FIR应用越来越多。,三、线性相位设计的重要性,1、系统的相移会造成信号波形的改变,2、系统非线性相移造成输出信号失真,系统相位特性决定了信号不同频率的时延,3、忽略相位信息的后果,4、要求线性相位的例子,通信系统：调制解调器、综合业务数据网（ISDN）等。希尔伯特变换器：要求输入输出信号正交。高保真音响系统：音乐的相位失真必须减到最小，尽可能逼真地重现原来的声音。理想微分器：,线性相位要求：,5、线性相位的FIR滤波器设计基础,-系统的群延迟,7.2线性相位FIR滤波器特点,FIR滤波器的单位冲激响应：,系统函数：,在z平面有N1个零点,在z=0处是N1阶极点,一线性相位条件,如果FIRDF的单位抽样响应h（n）为实数，而且满足偶对称h（n）=h（N-1-n），或满足奇对称h（n）=-h（N-1-n），其对称中心在处，可证明filter就具有准确的线性相位。N又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相位FIRDF，如下所述。,1、N为奇数的偶对称例如N=11，对称中心为,2、N为偶数时的偶对称例如N=10，对称中心为,n,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,3、N为奇数时的奇对称例如，N=11，对称中心为,n,5,6,7,8,9,10,4、N为偶数时的奇对称例如，N=10，对称中心为4.5，,n,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,有两类准确的线性相位，分别要求满足：,其中、均为常数,因此有：,令上两式实部虚部相等，则有：,若将前页的实部虚部相除：,从而有：,要使上式成立，必须：,对另一相位形式，必须有：,二线性相位频率响应特点,命题：设FIR单位冲激响应h(n)为实序列，且满足偶对称（或奇对数）条件：,则：,证明：1、偶对称时：,即：,所以有：,则为线性相位。,其物理意义：该FIR有(N-1)/2个采样周期的群时延。,0,2奇对称时,即,所以有：,或,则为线性相位,可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个900相移，这样就使得通过filter的所有频率都相移900，因此称它为正交变换网络。（相移900的信号与原信号为正交的）。,0,二幅度特点,1、h(n)偶对称，N为奇数,对（1）式,由于:,由于,得,其中:,由于对是偶对称的。因此，对为偶对称。,线性相位滤波器的幅度特点,其中，,2、h(n)偶对称，N为偶数,对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数，项即为0，则,由于时，且对呈奇对称。因此，对呈奇对称。并有:,3、h(n)奇对称，N为奇数,所以有：,为奇对称的，即：,代入式:,其中,由于在均为0并对这些点呈奇对称。,其中：,对（2）式,4、h(n)奇对称，N为偶数,线性相位滤波器的幅度特点,由于在处为0。因此，对呈奇对称。,线性相位滤波器的幅度特点,总结：（1）第1，2种一般为低通特性；第3，4种一般为高通、带通特性。（2）当N，h(n)均为偶（或奇）时，H(w)为奇对称。当N，h(n)为一奇一偶时，H(w)为偶对称。,四、系统函数H（Z）的零点分布情况1、零点的分布原则,所以，如果是零点，则也一定是H（Z）的零点，h（n）为实数时，H（Z）的零点必成共轭对出现，即也一定是H（Z）的零点，也一定是H（Z）的零点。,2、零点的位置,（1）既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对，,(2)不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的倒数就是它们本身，如,（3）在实轴上，不在单位圆上，实数零点，没复共轭；只有倒数。例如，,0,1,（4）既在实轴上也在单位圆上。此时，只有一个零点，且有两种可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。,N为偶数时的偶对称为其零点；N为偶数奇对称H（0）=0，有Z=1零点；N为奇数奇对称有零点Z=1，和Z=-1。,7-3窗函数设计法一、设计方法1、设计思想先给定理想filter的频响，所要求设计一个FIR的filter的频响为，使逼近2、设计过程设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想filter的单位抽样响应，然后加时间窗对截断，以求得FIRfilter的单位抽样响应h(n)。,例如，低通filter,0,是矩形的，则一定是无限长的且是非因果的。,二、窗函数对频响的影响1、理想LF的单位抽样响应理想低通filter的频响为,1,0,0,为群延时,因为其相位，所以是偶对称，其对称中心为，这是因为时，即为其最大，故为其对称中心。又是无限长的非因果序列,2、加矩形窗加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于通过窗口看，称为窗口函数。,其他n值,因h（n）是偶对称的。长度为N，所以其对称中心应为，所以h（n）可写作,h（n）=,n为其他值,3、h（n）的频响h（n）的频响可通过傅式变换求得，为了便于与的频响相比较，利用卷积定理,(1)对于矩形窗的频响,其中，为幅度函数，为相位函数。,（2）对于理想LF的频响,其中，为幅度函数，为相位函数。,（3）h（n）的频响,其中，为幅度函数，为相位函数。,4、窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响:,（1）时，,也就在到全部面积的积分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）归一化）。,0,0,（2）时，正好与的一半相重叠。这时有。,(3)时，的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。,（4）时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。,（5）当时，随增加，左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积也随着的旁瓣在通带内的面积变化而变化，故将围绕着零值而波动。,(6)当时，的右边旁瓣将进入的通带，右边旁瓣的起伏造成值围绕值而波动。,1,0,0.5,5、几点结论（1）加窗后，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度（2）在处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。（3）吉布斯（Gibbs）效应因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能改变的绝对值的大小，和主瓣的宽度，旁瓣的宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%，不管N怎样改变，最大肩峰总是8.95%，这种现象称作吉布斯效应。,三、各种窗函数1、基本概念（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2）对窗函数要求a）希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这是因为过渡带等于主瓣宽度。b）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。2、矩形窗时域表达式：频域表达式（频谱）：幅度函数：,3、三角形（Bartlett）窗时域表达式：,1,01234,频谱：,第一对零点为，即，所以主瓣宽度，比矩形宽一倍。,4、汉宁窗（升余弦窗）其窗谱可利用如下方法求出，将变形为又由于其中又考虑到，这里,所以有,当时，窗谱分析可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣加宽一倍，即为,汉宁窗是时，特例,5、海明窗，又称作改进升余弦窗其窗函数为仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为其主瓣宽度仍为，（旁瓣峰值/主瓣峰值）1%有99.963%的能量集中在主瓣内。海明窗是下一类窗的特例,6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为其主瓣宽度为，是矩形窗的三倍。,7、五种窗函数的比较（1）时域窗,布拉克曼,三角,矩形,海明,（2）各个窗的幅度函数，如P.340，图7-11，注意图中是dB表示的。（3）理想LF加窗后的幅度函数（响应）如P340，图7-12所示。,四、窗函数法的设计1、设计步骤（1）给定频响函数（2）求出单位抽样响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数基本参数表（P202表3）确定窗的形式及N的大小（4）最后求及2、设计举例,例1：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的FIR低通滤波器，具体要求：,其他,并画出相应的频响特性,解：（1）由于是一理想LF，所以可以得出（2）确定N由于相位函数，所以呈偶对称，其对称中心为，因此,（3）加矩形窗,则有,可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心,由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以,例如H（0）=0.94789，可以计算的值，画如下图,（4）加汉宁窗由于可以求出序列的各点值,通过可求出加窗后的h（n）,相应幅度函数可用下式求得：,如H（0）=0.98460，图如下,例2.设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为，通带截止频率为，阻带起始频率为，阻带衰减不小于-50dB.幅度特性如图所示。,解：（1）求对应的数字频率：,通带截止频率为：,阻带起始频率为：,（2）求：设为理想线性相位滤波器,（3）求窗函数：由阻带衰减确定窗形状，由过渡带确定N。,查表7-3知可选海明窗。,所要求的过渡带宽（数字频域）：,又海明窗的过渡带满足：,由此求得：,所以：,（4）求h(n)：由海明窗的w(n)确定FIR滤波器的h(n)。,所以：,7-4、凯泽（Kaiser）窗及其滤波器设计,上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。,一、凯泽窗,凯泽在1966（1974）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗,函数。凯泽窗定义为：,1。定义,其中，为第一类零阶修正贝塞尔函数，,，,是一个可自由选择的参数。,2.特点,可同时调整主瓣宽度与旁瓣;,越大，窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣,相应增加；,相当于矩形窗;,通常选择,，它们相当于旁瓣与主,瓣幅度为,3.1%-0.047%；,凯泽窗随变化的曲线如下图：,注：第一类零阶修正贝塞尔函数为,由图可以看出,为对称中心，且是偶对称,即,3.凯泽经验公式,该公式可使filter设计人员根据filter的设计指标,估算出,值和N值。,且，,：通带截止频率，由定;,：止带截止频率，由定.,过渡带宽度,4.设计举例,利用凯泽窗设计一FIR低通filter，要求,解：,取38,将N=38,=5.653代入表达式，得,0370.01.0000.02040.02,1361.83362.0300.04150.04,2352.55683.3450.07040.07,8294.654819.960.40820.41,3343.0865.2510.10740.11,4333.51117.4410.15220.15,5323.865610.110.20670.21,6314.167813.100.26790.29,7304.428616.440.33620.34,17205.635048.030.98220.98,9284.851223.830.48730.49,10275.021527.730.56710.57,11265.168231.720.64890.65,12255.293135.330.72250.72,13245.398039.010.79780.80,14235.483841.930.85750.86,15225.551544.670.91350.91,16215.601746.740.95580.96,18195.651548.901.01.00,0,4,8,12,16,18,19,25,29,33,37,21,的图形如下所示,7-5、频率取样设计法,一、设计思想,窗函数设计法是从时域出发，把理想的用一定,形状的窗函数截取成有限长的，以来近似,从而使频响近似理想频响,。,频率取样法是从频域出发，对理想的频响,进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响,，即：,，,等间隔取样,并且,二、利用N个频域采样值重构FIR的系统函数与频响,1.重构FIR的的单位抽样响应h(n),根据频域抽样理论（p99），由N个频域采样点,可以唯一确定h(n),即对H(k)进行IDFT,2.重构系统函数H(Z),3.FIR的频响,将代入表达式可得,其中,为大家所知的内插函数.,分析可知，当时（采样点）,有：,这说明，重构的频响，在采样上严格等于H(k),而在采样点之间，频响则由加权的内插函数延伸叠加而成。,三、线性相位的约束条件,以h(n)为偶对称，N为奇数的情况进行分析.,1.FIR的频响具有线性相位的一般表达式,当h(n)为偶对称，N为奇数时，则,（P191，表6-1）,而且幅度函数应为偶对称，即,2.采样值H(k)具有线性相位的约束,其中，表示采样值的模（纯标量），表示,其相角。因此，在采样点上具有线性