科学计算与数学建模第4章 养老保险问题-非线性方程的数值解法-4.2-非线性方程的迭代解法(1)-2017-01.pptx

,4.2非线性方程的迭代解法(1),价的方程：,xg(x),(4.2.1),价方程：,然而将f(x)0化为等价方程(4.2.1)的方法是很多的。例4.2.1对方程f(x)xsinx0.50可用不同的方法将其化为等,2,1,xsin,x0.5g(x),（2）,（1）xsinx0.5g1(x),4.2.1迭代解法的基本概念迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程，超越方程及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢的问题。用迭代法求解f(x)0的近似根，首先需将此方程化为等,定义4.2.1（迭代法）设方程为xg(x),取方程根的一个初始近似x0，按下面的逐次代入法，可构造一个近似解序列：,这种方法称为迭代法（或单点迭代法），g(x)称为迭代函数。,x2gx1,xk1gxk,xk1gxk,x0,x1,x2,xk,迭代过程,x1gx0产生数列xn:,迭代公式：,若由迭代法产生序列,极限存在，即,，,称迭代法收敛，否则称迭代法不收敛。,k,x,*,k,k,limxx,k,k1k,kkk,xlimx,limg(x)glimx,g(x),若连续，且,，则,k,k,limxx*,gx,即x为方程f(x)0的解（称x为函数g(x)的不动点）在由方程f(x)0转化为等价方程xg(x)时，选择不同的迭代函数g(x)，就会产生不同的序列xk（即使初值x0选择一样），且这些序列的收敛情况也不会相同。,例如对例4.2.1中的方程,f(x)xsinx0.50用下面两种不同迭代函数进行迭代，初值都取为1，计算结果如右图所示。xsinx0.5g1(x),2,1,xsin,x0.5g(x),部分计算结果,对用迭代法求方程f(x)0的近似根，需要研究下面的问题：,(1)如何选取迭代函数g(x)使迭代过程xk1gxk收敛。,(2)若xk收敛较慢时，怎样加速xk收敛。迭代法的几何意义：求方程xg(x)根的问题，是求曲线yg(x)与直线yx交点的横坐标x，当迭代函数g(x)的导数函数gx在根x处满足下述几种条件时，从几何上来看迭代过程xk1gxk的收敛情况如图4.2.1。,(1)0gx*1,1gx*0,(2),gx*1,(3),(4)gx1x,gx*1,4.2.2迭代解法的收敛性,由迭代法的几何定义知，为了保证迭代过程收敛，应该要求迭代函数的导数满足条件g(x)1。当xa,b时，原方程在a,b中可能有几个根或迭代法不收敛，为此有关于迭代收敛性的定理。,(1)设g(x)于a,b一阶导数存在，(2)当xa,b时，有g(x)a,b，(3)g(x)满足条件g(x)L1,xa,b,则有,定理4.2.2,设有方程xg(x)，若g(x)满足,xg(x)在a,b上有唯一解x*,对任意选取初始值,12,0,xa,b,k,即：limxx*,k,，迭代过程x,k1,g(x),k0,1,.收敛，,3,1,k,k,L,x*,k1,k1,xk,xx,xx,1L,1L,4,*,k,k,L,xx,(k1,2,.),xx1L10,误差估计,(1)设g(x)于a,b一阶导数存在，(2)当xa,b时，有g(x)a,b，(3)g(x)满足条件g(x)L1,xa,b,则有,定理4.2.2,设有方程xg(x)，若g(x)满足,定理条件g(x)L1,xa,b，在一般情况下，可能对大范围的含根区间不满足，而在根的邻近是成立的，为此有如下迭代过程的局部收敛性结果。,，,则对任意初值（在收敛于x*。,0,x,x的邻域内），迭代过程,k1,xg(x),k0,1,.,g(x*)1，,定理4.2.3（迭代法的局部收敛性）设给定方程xg(x)(1)设x*为方程的解，(2)设g(x)在x*的邻域内连续可微，且有*,？,若xk收敛较慢时，怎样加速xk收敛。,4.2非线性方程的迭代解法(1),弹幕问题：,a.,；b.,1.逐迭代收敛定理4.2.2中的条件要求g(x)在区间上可导，这一要求可以降低成连续吗？(可以)2.第k次迭代的误差估计式为