在职工程硕士GCT 数学 第9章 基础三角学.ppt

第9章基础三角学,一、三角函数,二、两角和与差的三角函数,三、解斜三角形（正弦定理余弦定理）,四、反三角函数（定义、性质）,第9章基础三角学,一、三角函数,平面内一条射线绕其端点旋转所形成。,1.角的概念：,始边,终边,角,正角,负角,零角,（逆）,（顺）,2.角的度量,角度制,弧度制,3.的三角函数,设为顶点在坐标原点，始边在轴正半轴上的角,为终边上任一点，,则有：,象限角：,终边,终边相同的角的同一,三角函数值相等。,例是的辐角主值，已知,（P91例1）,及,求,解,点为终边上的一点,故,又,（P21第6题）,解,（04年）,例表示的辐角，今有,则（）.,点为终边上的一点,由题知，,点为终边上的一点,又,故,A.,B.,C.,D.,D,4.几个特殊角的三角函数值,5.三角函数值在各象限的符号,例判断的符号,解,B,设则是（）.,补,解,A.,B.,C.,D.,排除C,D,又,选B.,6.同角三角函数的关系,平方关系：,商的关系：,倒数关系：,7.诱导公式,（一）,的三角函数值与的三角函数值之间,的关系：,函数名相同,符号看象限,任意角的三角函数值锐角三角函数值,诱导公式,如：,例求,解,（二）,的三角函数值与的三角函数值之间,的关系：,函数名要变,符号看象限,如：,例已知求和,（P91例2）,的值。,解,又,8.三角函数的图像和性质,x,（P90）,性质：,定义域、值域；奇偶性；周期性；最值；,单调性。,在,在,在,B,函数的最小值是（）,补,A.,B.,C.,D.,解,当时，有最小值：,当时，有最大值：,法一,法二,令，则,当时，函数有最小值-4.,补,9.几个公式,周期为：,周期为：,常用于求最值,例如果函数的最大值是，,（P97第8题）,的最大值是（）.,最小值是，那么函数,C,A.,B.,C.,D.,解,由题知,（不妨设）,解之得,所求的最大值为5.,二、两角和与差的三角函数,1.两角和与差公式,例已知且,（P96第4题）,则（）.,D,A.,B.,C.,D.,解,由题知,故,例,（P97第6题）,（）.,B,A.,B.,C.,D.,解,先排除CD.,（式子）,法一,选B.,法二,例如图，在正方形网格中，,（P98第14题）,是（）.,是三个格点，设,A,A.,B.,C.,D.,（08年）,则的值,解,法一,设小正方形的边长为1，,且设出和,故,则,法二,用余弦定理求。,例三个边长为1的正方形拼成如图所示的图形，,图中有两条线段相交的锐角为，则（）.,D,A.,B.,C.,D.,（2011年）,如图设,解,则,设且,补,A.,B.,C.,D.,则,（）.,A,或,解,又,如果,补,那么,（）.,C,（2010年）,解,A.,B.,C.,D.,2.倍角公式,降幂公式很重要,例设是的一个内角，且满足：,（P96第2题）,则一定是（）.,C,A.不等边的锐角三角形,B.直角三角形,C.钝角三角形,D.正三角形,解,法一,（只推理，不计算！）,先排除A,D.,若矛盾。,故,选C.,法二,两边平方得,是内角，,故,为钝角,函数是（）,补,A,A.最小正周期为的奇函数,B.最小正周期为的偶函数,C.最小正周期为的奇函数,D.最小正周期为的偶函数应用降幂公式,解,例函数的最大值为（）,（P97第10题）,A.,B.,C.,D.,解,A,最大值为,三、解斜三角形,正弦定理,其中：,三角形外接圆的半径,应用正弦定理，要灵活变形,边,角,余弦定理,已知的三条边，可,求出三个内角。,在中，已知两边,及其夹角，可求出第三边,例在中，三个内角成等差数列，,（P97第9题）,A.,B.,C.,D.,解,C,则边上的中线的长为（）,由题知,即,3,2,由余弦定理知，在中,故,如果一个三角形的三边之比为则这,补,B,A.一定有一个角是直角,B.一定有一个角是钝角,C.所有的角都是锐角,D.三个角的大小不能确定,个三角形（）.,解,设三边为,由余弦定理,为钝角.,例等腰中，底边,D,则顶角的取值范围是（）.,A.,B.,C.,D.,（09年）,解法一,（画图）,排除A、B、C选D.,可取值接近,？,例等腰中，底边,D,则顶角的取值范围是（）.,A.,B.,C.,D.,（09年）,解法二,由余弦定理,为钝角,故排除A,B,C选D.,详细解法如下：,即,故,为钝角，且,又,在上单调减，,已知在中，则角的,A,取值范围是（）.,A.,B.,C.,D.,解,画图即可,法一,1,2,法二,用余弦定理,为锐角,补,例如图，在正方形网格中，,（P98第14题）,是（）.,是三个格点，设,A,A.,B.,C.,D.,（08年）,则的值,法二,解,由余弦定理,设小正方形的边长为1，,则,为钝角,又,四、反三角函数（定义、性质）,1.反正弦函数,定义：,的反函数，,叫反正弦函数。,记作：,性质：,的定义域：,值域：,单调性：,增函数,奇偶性：,奇函数,例求的值。,解,在内，,2.反余弦函数,定义：,的反函数，,叫反余弦函数。,记作：,性质：,的定义域：,值域：,单调性：,减函数,奇偶性：,无奇偶性,但有：,3.反正切函数,定义：,的反函数，,叫反正切函数。,记作：,性质：,的定义域：,值域：,单调性：,增函数,奇偶性：,奇函数,即,4.反余切函数,定义：,的反函数，,叫反余切函数。,记作：,性质：,的定义域：,值域：,