控制系统仿真-薛定宇第三章--科学运算问题的MATLAB求解

国家级精品课程控制系统仿真与CAD第三章科学运算问题的MATLAB求解,东北大学信息学院薛定宇,2/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,第三章科学运算问题的MATLAB求解,几乎所有应用数学分支都有MATLAB工具箱解析解与数值解，用一个命令即可以解决问题需要将数学问题用规定的形式输入给计算机可以搜索问题的MATLAB求解或自编函数本节主要介绍和这门课程相关的问题线性代数问题的MATLAB求解代数方程求解、微分方程求解最优化问题的求解Laplace变换与z变换问题的求解,3/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,进一步学习这方面内容建议阅读,薛定宇、陈阳泉高等应用数学问题的MATLAB求解（第二版），清华大学出版社，2008。英文版：SolvingAppliedMathematicalProblemswithMATLAB，CRCPress，2008遇到某个MATLAB问题找不到合适的工具箱，试在下面网址搜索,4/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.1线性代数问题的求解,线性代数在控制中是很重要的数学工具稳定性可以通过矩阵特征值求解系统可控性、可观测性可以求矩阵的秩线性相似变换需要求解矩阵的逆和乘法状态方程解析解需要矩阵的指数函数等本节主要内容矩阵的基本分析矩阵的分解矩阵指数和指数函数,5/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.1.1矩阵的基本分析,MATLAB的一系列函数可以求线性代数问题的数值解，大部分可以求解析解行列式det(A)、迹trace(A)、秩rank(A)范数norm(A,n)、特征值eig(A)、多项式polyvalm(A)逆inv(A)、广义逆pinv(A)、奇异值svd(A)例3-1Hilbert矩阵，求行列式精确值,6/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,例3-2Vandermonde矩阵符号矩阵行列式求解逆矩阵特征多项式,新版,7/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.1.2矩阵的分解,矩阵的相似变换非奇异方阵T，矩阵的三角分解：LU、Cholesky分解LU分解：lu()函数可以利用重载函数直接处理符号矩阵chol()函数处理对称矩阵,8/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,正交基与正交分解：正交矩阵定义：正交基分解：矩阵的奇异值分解定义：条件数：MATLAB函数：,9/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.1.3矩阵指数与指数函数,矩阵指数数学记号MATLAB求解（解析与数值解）指数函数同样可以用expm()函数直接求取例3-3求,10/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,数值解解析解解析解,11/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,演示：自编funm()求矩阵的任意函数,求,结果：左上角元素,12/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.1线性代数问题求解小结,线性代数很多问题可以用MATLAB语句直接求解，和数学表示差不多一样直观很多方法可以同时得出解析解和数值解涉及的函数：det()、trace()、norm()、rank()、poly()、polyval()、polyvalm()、inv()、pinv()、svd()、lu()、chol()、cond()、orth()、expm()函数的两种调用方法，det(A)、det(sym(A)线性代数方程的求解将在3-2节介绍,13/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.2代数方程的MATLAB求解,在控制中有各种问题涉及到方程求解线性代数方程如Lyapunov方程？非线性方程如Riccati方程等，如果变形能否求解本节主要内容线性代数方程的数值解与解析解一般非线性方程的数值解非线性矩阵方程的求解,14/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.2.1线性代数方程的解析解与数值解,本节主要内容线性方程的求解Lyapunov方程求解Sylvester方程求解Riccati方程求解前三个问题将介绍解析解与数值解，后一个属于非线性矩阵方程只能介绍数值解，并在下节进一步探讨数值解,15/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,线性代数方程的求解,线性代数方程的标准型AX=B解的判定矩阵：C=A,B求解方法分三种情况考虑唯一解：A为非奇异方阵，有无穷多解rank(A)=rank(C)y=(x).调用fsolve()函数直接求解，选择初值,25/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,例3-9变量替换方程描述,26/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,非线性矩阵方程的MATLAB求解,一次得到多个根的函数,27/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,函数调用格式（死循环、可Ctrl+C中断）例3-10Riccati方程其他根的求解函数are()只求出一个根，方程到底有多少根？,28/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,问题：Riccati变形方程如何求解？如例3-11,29/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,例3-12例3-8存在的问题图解法求出多个根，fsolve()一次只一个,30/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.2代数方程求解小结,仿照线性代数介绍AX=B方程求解三种情况：inv()、null()、pinv()、rank()、rref()Lyapunov、Sylvester与Ricatti方程涉及的函数：lyap()、are()、重载的lyap()一般非线性方程求解解析解法：solve()图解法：ezplot()、hold数值解法：fsolve()、optimset()设置参数（精度）矩阵方程与多解方程：more_sols(),31/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.3微分方程的MATLAB求解,连续控制系统数学模型的理论基础是微分方程，研究微分方程对其仿真分析有意义只有少数微分方程（线性定常或极少量非线性方程）有解析解，其他的微分方程得借助数值方法求解本节主要介绍一阶显式微分方程组的数值解如何将一般微分方程化为可解形式、解的验证常微分方程的解析解法,32/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.3.1一阶常微分方程组的数值解法,一阶显式微分方程的标准型微分方程数值解算法Runge-Kutta法、Adams法、Gear法等传统定步长方法适合于讲解不适合应用变步长方法MATLAB直接可调用函数,33/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,微分方程求解的步骤,将微分方程变换成标准型用MATLAB描述微分方程M-函数入口：functiondx=funmane(t,x)匿名函数f=(t,x).求解验证：odeset()函数,34/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,例3-13变换,35/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,解方程带附加变量问题求解,36/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.3.2微分方程的变换,目的：将需要求解的方程变成例：高阶微分方程变换选择状态变量状态变量不唯一，变换结果不唯一调用ode45()直接求解,37/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,例：高阶微分方程组变换选择状态变量由下面方程解出，仿照前面得出标准型,38/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,例3-14VanderPol方程选择状态变量,39/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.3.3微分方程解的验证,例3-15Apollo轨迹参数初值,40/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,引入状态变量变换后结果参数初值,41/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,描述微分方程（不能用匿名函数）求解问题：结果正确与否？,42/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,解的检验不能过分依赖MATLAB直接生成的结果选择不同的控制变量或算法必须检验，否则结果没有可信度,43/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.3.4微分方程的解析解,MATLAB函数dsolve()例3-16直接求解,44/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.3微分方程求解小结,一阶显式微分方程数值解法相关的函数：ode45()、ode23()、ode5s()等其他微分方程如何转换状态变量的选择、转换结果不唯一性微分方程的解析解dsolve()微分方程的其他解法第6章将介绍基于框图的求解方法用Simulink把微分方程画出来，用仿真方法求解这样的求解范围更广，比如延迟微分方程,45/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.4最优化问题的求解,最优化思想在科学研究中很重要不满足得到的普通解，追求最好的解有目的定义“最好”的指标用数值方法求解最优控制问题学会最优化的思想和解决途径，将使研究水平和认知水平提升一个档次本节主要内容无约束最优化问题的求解有约束最优化的求解最优曲线拟合,46/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.4.1无约束最优化问题求解,数学描述物理意义目标函数、决策变量MATLAB求解求解步骤写标准型描述目标函数：M-函数或匿名函数直接求解（边界约束求解fminsearchbnd()）,47/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.4.2有约束最优化问题的求解,有约束最优化问题的数学描述MATLAB求解,48/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,例3-17目标函数与约束条件,49/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,求解函数的警告信息考虑循环语句求解其他最优化求解程序线性规划linprog()、二次型规划quadprog()等其他规划问题：整数规划、混合整数规划等,50/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.4.3最优曲线拟合,数学问题已知数据：已知函数的原型目标函数求待定系数向量a,51/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,例3-18下面语句可以生存数据原型函数,52/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,多项式拟合,已知数据选择多项式阶次nMATLAB求解多项式拟合,53/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.4最优化求解小结,最优化问题求解时可以描述目标函数M-函数、匿名函数约束条件返回等式和不等式，不能用匿名函数最优化问题求解函数无约束最优化：fminsearch、fminunc有约束最优化：fmincon、fminsearchbnd线性规划：linprog数据拟合：lsqcurvefit()、polyfit()其他内容：神经网络数据拟合,54/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.5Laplace变换与z变换,Laplace变换与z变换是连续控制系统理论与离散系统理论的基础这样的变换可以将微分方程和差分方程变换成代数方程的形式，可以建立起传递函数模型本节主要内容Laplace变换和反变换的计算机求解z变换与反变换的求解,55/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.5.1Laplace变换的MATLAB求解,数学基础：t域到s域的变换反变换：s大于所有F(s)极点的实部MATLAB求解步骤申明符号变量对函数调用laplace()或ilapace()函数,56/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,例3-19例3-20,57/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,例3-21例3-22,分数阶系统的解,58/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,3.5.2z变换与反变换,数学基础反变换例3-23,59/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,例3-24Laplace和z变换的小结用syms申明符号变量调用laplace()、ilaplace()、ztrans()、iztrans()化简：simple(),60/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,本章要点小结,线性代数问题计算机求解利用MATLAB提供的函数即可求出矩阵分析问题的数值解和解析解。矩阵指数、矩阵函数的求解：expm()代数方程求解线性方程：inv()、rank()、null()、pinv()、rref()Lyapunov、Sylvester发出：lyap()Riccati方程：are()一般非线性方程：图解法ezplot()、一般求解solve()、fsolve()矩阵方程：fsolve()、more_sols(),61/62,控制系统仿真与CAD国家级精品课程,微分方程求解求解步骤变换成标准型：描述方程：*.m函数与匿名函数微分方程求解：ode45()、ode23()、ode15s()等检验：odeset()参数的设置解析求解：dsolve()最优化问题求解无约