2020年西城高三诊断性测试数学试题及答案.doc

西城区高三诊断性测试 数学2020.56150120本试卷共页,分。考试时长分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 40第卷(选择题共分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.设集合A=x|x|cb()abc()bca()bacABCD 16北京市西城区诊断性测试高三数学第页(共页)7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A6()B4()C3()D28.+y-4x+2y+a=022若圆x与x轴,y轴均有公共点,则实数a的取值范围是()()(A-1B-0,(),),C0+D5+)()若向量”是“”的9.2|a-b|a|+|b|a与b不共线,则“ab0()充分而不必要条件()必要而不充分条件AB()充要条件()既不充分也不必要条件CD(x)(x-1).若关于x的不等式f(x)有且仅有一个整数解10.=e0)经过点(,),则该双曲线渐近线的方程为.12.-=12016a2的最小正周期为;若对于任意13.=sin2x+2cos2设函数f(x)x.则函数f(x)都有f(mxR,x)成立,则实数m的最小值为.14.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛,其中有两人最终获奖.在比赛结果揭晓之表示猜测某人获奖,“”表示猜测某人未获前,四人的猜测如下表,其中“”则表示对某人是否获奖未发表意见奖,而“”.已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确的,那么两名获奖者是,.甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测乙的猜测丙的猜测丁的猜测在四棱锥P-ABCD中,PA=AB=4,15.,底面ABCD为正方形,PA底面ABCDE,F,H分别是棱PB,BC,PD的中点,对于平面EFH截四棱锥P-ABCD所得的截面多边形,有以下三个结论:;46截面的面积等于截面是一个五边形;截面只与四棱锥P-ABCD四条侧棱中的三条相交.其中,所有正确结论的序号是. 36北京市西城区诊断性测试高三数学第页(共页)三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.(本小题满分16.14分)2如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD是边长为的正方形,DE平面ABCD,且DEBF,DE=2BF=2.()求证:平面BCF平面ADE;()求钝二面角D-AE-F的余弦值.(本小题满分17.14分)从前n项和S=n(pR),=a-3,且=a+an+pann+1a=112an+1nn+226这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并完成解答.中,其中n=1*在数列aanN.1()求a的通项公式;n()若a,a,a成等比数列,nN,且mn1,求m的最小值.nm,其中m*1注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 46北京市西城区诊断性测试高三数学第页(共页)(本小题满分18.14分)某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨,通过试验田培育,得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率,),),80.4860.5360.5360.586,并按发芽率分为组:,)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.0.8360.8860.736A企业对康乃馨的种子进行分级,将发芽率不低于的种子定为“级”,发芽率0.7360.636B0.636C.低于但不低于的种子定为“级”,发芽率低于的种子定为“级”()现从这些康乃馨种子中随机抽取一种,估计该种子不是“级C”种子的概率;()该花卉企业销售花种,且每份“级ABC”、“级”、“级”康乃馨种子的售价分别为201510元、元、元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份,共花费X元,以频率为概率,求X的分布列和数学期望;()企业改进了花卉培育技术,使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的倍1.1,那么对于这些康乃馨的种子,与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化?若发生变化,是变大了还是变小了?(结论不需要证明).(本小题满分19.14分)1x2y2)的离心率为,右焦点为,点(,)+=102a2b2已知椭圆C:(ab0FAa,|AF|=1.且()求椭圆C的方程;()过点F的直线l(不与x轴重合,N,直线MA,NA分别与)交椭圆C于点MPFQ直线x=4相交于点P,Q.求的大小. 56北京市西城区诊断性测试高三数学第页(共页)(本小题满分20.15分)其中=ae+cosxx设函数f(x),aR.()已知函数f(x)为偶函数,求a的值;()若a=1,证明:当x0时(x);2,f()若f(x)在区间,内有两个不同的零点,求a的取值范围.0(本小题满分21.14分)设N为正整数=,+(其中R,N)同时满足下kkkk2,区间Iaa1ak=1列两个条件:对任意x,存在k使得xI;0100k对任意k,N,存在x,使得xI(其中i=1,120100i2k-1,k+1,N).k()判断a(k=1,N)能否等于k-1或;(结论不需要证明)k2-12()求N的最小值;()研究N是否存在最大值,若存在,求出N的最大值;若不存在,说明理由. 66北京市西城区诊断性测试高三数学第页(共页)西城区高三诊断性测试数学参考答案2020.5一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1C2A3B4D5.A6.B7.D8.A9.A10.D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11y=2x251213，2+114乙，丁15注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16（本小题满分14分）解：（）因为DE/BF，DE平面ADE，BF平面ADE，所以BF/平面ADE.3分同理，得BC/平面ADE.又因为BCIBF=B，BC平面BCF，BF平面BCF，所以平面BCF/平面ADE.6分（）由DE平面ABCD，底面ABCD为正方形，xy得DA,DC,DE两两垂直，故分别以DA,DC,DE为轴，轴，z轴，如图建立z空间直角坐标系，7分E则D(0,0,0)，E(0,0,2)，F(2,2,1)，A(2,0,0)，uuuruuur所以AE=(-2,0,2)，AF=(0,2,1).8分设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，FCDuuuruuur-2x+2z=0,y由AEn=0，AFn=0，得2y+z=0,ABx北京市西城区诊断性测试高三数学参考答案第1页（共7页）令y=1，得n=(-2,1,-2).11分平面DAE的法向量m=(0,1,0).设钝二面角D-AE-F的平面角为q，mn1则|cosq|=|cos|=|=，|m|n|311cosq=-，即钝二面角的余弦值为-.14分所以D-AE-F3317（本小题满分14分）解：选择：p=0()当n=1时，由S=a=1，得.2分112当n2时，由题意，得S=(n-1)，3分n-1所以a=S-S=2n-1（n2）.5分nnn-1经检验，a=1符合上式，1*所以a=2n-1(nN).6分n2()由a,a,a成等比数列，得a=aa，8分1nmn1m2即(2n-1)=1(2m-1).9分1122化简，得m=2n-2n+1=2(n-)+，11分22mnmn因为，是大于1的正整数，且，m所以当n=2时，有最小值514分选择:()因为a=a-3，所以a-a=32分nn+1n+1n所以数列a是公差d=3的等差数列4分n*所以a=a+(n-1)d=3n-2(nN).6分n12()由a,a,a成等比数列，得a=aa，8分1nmn1m2即(3n-2)=1(3m-2).9分2222化简，得m=3n-4n+2=3(n-)+，11分33北京市西城区诊断性测试高三数学参考答案第2页（共7页）mnmn因为，是大于1的正整数，且，m所以当n=2时，取到最小值614分选择：()由2a=a+a，得a-a=a-a.n+1nn+2n+1nn+2n+1所以数列a是等差数列2分n又因为a=1，a=a+5d=11，161所以d=24分*所以a=a+(n-1)d=2n-1(nN).6分n12()因为a,a,a成等比数列，所以a=aa，8分1nmn1m2即(2n-1)=1(2m-1).9分1122m=2n-2n+1=2(n-)+，化简，得11分22mnmn因为，是大于1的正整数，且，m所以当n=2时，有最小值514分18（本小题满分14分）解：（）设事件M为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C级”种子”，1分由图表，得(0.4+1.2+a+4.0+6.0+4.4+1.2+0.4)0.05=1，解得a=2.4.2分由图表，知“C级”种子的频率为(0.4+1.2+2.4)0.05=0.2，3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C级”的概率为0.2.因为事件M与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C级”种子”为对立事件，所以事件M的概率P(M)=1-0.2=0.8.5分（）由题意，任取一种种子，恰好是“A级”康乃馨的概率为(4.4+1.2+0.4)0.05=0.3，恰好是“B级”康乃馨的概率为(4.0+6.0)0.05=0.5，恰好是“C级”的概率为(0.4+1.2+2.4)0.05=0.2.7分北京市西城区诊断性测试高三数学参考答案第3页（共7页）随机变量X的可能取值有20，25，30，35，40，且P(X=20)=0.20.2=0.04，P(X=25)=0.20.5+0.50.2=0.2，P(X=30)=0.50.5+0.30.2+0.20.3=0.37，P(X=35)=0.30.5+0.50.3=0.3，P(X=40)=0.30.3=0.09.9分所以X的分布列为：X2025303540P0.040.20.370.30.0910分故X的数学期望E(X)=200.04+250.2+300.37+350.3+400.09=31.11分（）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了.14分y19（本小题满分14分）Qc1M=,解：（）由题意得2aa-c=1,xOFA解得a=2，c=1，3分N22从而b=a-c=3，P22xy所以椭圆C的方程为+=15分4333（）当直线l的斜率不存在时，有M(1,)，N(1,-)，P(4,-3)，Q(4,3)，F(1,0)，22uuuruuuruuuruuuro则FP=(3,-3)，FQ=(3,3)，故FPFQ=0，即PFQ=906分l:y=k(x-1)当直线l的斜率存在时，设，其中k07分y=k(x-1), 2222联立得(4k+3)x-8kx+4k-12=08分223x+4y=12,由题意，知D0恒成立，228k4k-12x+x=，xx=9分设M(x,y)，N(x,y)，则11221221224k+34k+3北京市西城区诊断性测试高三数学参考答案第4页（共7页）y1直线MA的方程为y=(x-2)10分x-212y2y11令x=4，得y=，即P(4,)11分Px-2x-2112y2同理可得Q(4,)12分x-22uuuruuur2y2y12所以FP=(3,)，FQ=(3,)x-2x-212uuuruuur224yy4k(x-1)(x-1)4kxx-(x+x)+112121212因为FPFQ=9+=9+=9+(x-2)(x-2)(x-2)(x-2)xx-2(x+x)+412121212224k-128k24k(-+1)2222224k(4k-12)-8k+(4k+3)4k+34k+3=9+=9+=0，222224k-1216k(4k-12)-16k+4(4k+3)4-+224k+34k+3o所以PFQ=90o综上，PFQ=90.14分20（本小题满分15分）f(x)解：（）函数为偶函数，f(-)=f()-所以，即ae-1=ae-1，2分解得a=0.验证知a=0符合题意.4分x（）f(x)=e-sinx.6分x由x0，得e1，sinx-1,1，7分x则f(x)=e-sinx0，即f(x)在(0,+)上为增函数.故f(x)f(0)=2，即f(x)2.9分cosxx（）由f(x)=ae+cosx=0，得a=-.excosxh(x)=-10分设函数，x0,，exsinx+cosx则h(x)=.11分ex3令h(x)=0，得x=.4北京市西城区诊断性测试高三数学参考答案第5页（共7页）xh(x)随着变化，h(x)与的变化情况如下表所示：333x(0,)(,)444h(x)-+0h(x)极大值33所以h(x)在(0,)上单调递增，在(,)上单调递减.13分44332又因为h(0)=-1，h()=eh()=e-4，4232cosx-4a=-0,所以当ae,e)时，方程在区间内有两个不同解，且在区ex2330,)与(,上各有一个解.间4432即所求实数的取值范围为e,e).15分-4-a221（本小题满分14分）k解：()a可以等于k-1，但a不能等于-1.3分kk2()记b-a为区间a,b的长度，则区间0,100的