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官方直通车官方直通车 ag186 丶丶cn 本资料来源于七彩教育网本资料来源于七彩教育网 导数单元检测二导数单元检测二 29已知函数 32 11 ( ) 32 f xxaxbx在区间 11) ，(13，内各有一个极值点 （I）求 2 4ab的最大值； （II）当 2 48ab时，设函数( )yf x在点(1(1)Af，处的切线为l，若l在点A处穿 过函数( )yf x的图象（即动点在点A附近沿曲线( )yf x运动，经过点A时，从l的一 侧进入另一侧） ，求函数( )f x的表达式 解： （I）因为函数 32 11 ( ) 32 f xxaxbx在区间 11) ，(13，内分别有一个极值点，所 以 2 ( )fxxaxb0在 11) ，(13，内分别有一个实根， 设两实根为 12 xx，（ 12 xx） ，则 2 21 4xxab，且 21 04xx于是 2 044ab， 2 0416ab，且当 1 1x ，23x ，即2a ，3b 时等号 成立故 2 4ab的最大值是 16 （II）解法一：由(1)1fab 知( )f x在点(1(1)f，处的切线l的方程是 (1)(1)(1)yffx，即 21 (1) 32 yab xa， 因为切线l在点(1( )Af x，处空过( )yf x的图象， 所以 21 ( )( )(1) 32 g xf xab xa在1x 两边附近的函数值异号，则 1x 不是( )g x的极值点 而( )g x 32 1121 (1) 3232 xaxbxab xa，且 22 ( )(1)1(1)(1)g xxaxbabxaxaxxa 若11a ，则1x 和1xa 都是( )g x的极值点 所以11a ，即2a ，又由 2 48ab，得1b ，故 32 1 ( ) 3 f xxxx 解法二：同解法一得 21 ( )( )(1) 32 g xf xab xa 2 133 (1)(1)(2) 322 a xxxa 因为切线l在点(1(1)Af，处穿过( )yf x的图象， 所以( )g x在1x 两边附近的函数值异 号，于是存在 12 mm，（ 12 1mm ） 当 1 1mx时，( )0g x ，当 2 1xm时，( )0g x ； 或当 1 1mx时，( )0g x ，当 2 1xm时，( )0g x 设 2 33 ( )12 22 aa h xxx ，则 当 1 1mx时，( )0h x ，当 2 1xm时，( )0h x ； 或当 1 1mx时，( )0h x ，当 2 1xm时，( )0h x 由(1)0h知1x 是( )h x的一个极值点，则 3 (1)2 1 10 2 a h ， 所以2a ，又由 2 48ab，得1b ，故 32 1 ( ) 3 f xxxx 30已知函数 2222 ( )2 ()21 t f xxt xxxt， 1 ( )( ) 2 g xf x （I）证明：当2 2t 时，( )g x在R上是增函数； （II）对于给定的闭区间ab，试说明存在实数k，当tk时，( )g x在闭区间 ab，上是减函数； （III）证明： 3 ( ) 2 f x 31已知函数 322 ( )9cos48 cos18sinf xxxx，( )( )g xfx，且对任意的 实数t均有(1 cos )0gt，(3sin )0gt （I）求函数( )f x的解析式； （II）若对任意的 26 6m ，恒有 2 ( )11f xxmx，求x的取值范围 32设函数( )ee xx f x （）证明：( )f x的导数( )2fx； （）若对所有0 x都有( )f xax，求a的取值范围 解： （）( )f x的导数( )ee xx fx 由于ee2 e e2 x-xxx ，故( )2fx （当且仅当0 x 时，等号成立） （）令( )( )g xf xax，则 ( )( )ee xx g xfxaa ， （）若2a，当0 x 时，( )ee20 xx g xaa ， 故( )g x在(0)，上为增函数， 所以，0 x时，( )(0)g xg，即( )f xax （）若2a ，方程( )0g x的正根为 2 1 4 ln 2 aa x ， 此时，若 1 (0)xx，则( )0g x，故( )g x在该区间为减函数 所以， 1 (0)xx，时，( )(0)0g xg，即( )f xax，与题设( )f xax相矛盾 综上，满足条件的a的取值范围是2， 33设函数 32 ( )2338f xxaxbxc在1x 及2x 时取得极值 （）求a、b的值； （）若对于任意的0 3x，都有 2 ( )f xc成立，求c的取值范围 解： （） 2 ( )663fxxaxb， 因为函数( )f x在1x 及2x 取得极值，则有(1)0 f ，(2)0 f 即 6630 24 1230 ab ab ， 解得3a ，4b （）由（）可知， 32 ( )29128f xxxxc， 2 ( )618126(1)(2)fxxxxx 当(01)x，时，( )0fx； 当(12)x ，时，( )0fx； 当(2 3)x，时，( )0fx 所以，当1x 时，( )f x取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc 则当0 3x，时，( )f x的最大值为(3)98fc 因为对于任意的0 3x，有 2 ( )f xc恒成立， 所以 2 98cc， 解得1c 或9c ， 因此c的取值范围为(1)(9) ， 34已知函数 3 ( )f xxx （1）求曲线( )yf x在点( )M tf t，处的切线方程； （2）设0a ，如果过点()ab，可作曲线( )yf x的三条切线，证明：( )abf a 解： （1）求函数( )f x的导数； 2 ( )31xx f 曲线( )yf x在点( )M tf t，处的切线方程为： ( )( )()yf tf txt， 即 23 (31)2ytxt （2）如果有一条切线过点()ab，则存在t，使 23 (31)2btat 于是，若过点()ab，可作曲线( )yf x的三条切线，则方程 32 230tatab 有三个相异的实数根 记 32 ( )23g ttatab， 则 2 ( )66g ttat 6 ()t ta 当t变化时，( )( )g tg t，变化情况如下表： t(0)，0(0)a，a()a ， ( )g t0 0 ( )g t 极大值ab 极小值( )bf a 由( )g t的单调性，当极大值0ab或极小值( )0bf a时，方程( )0g t 最多有 一个实数根； 当0ab时，解方程( )0g t 得 3 0 2 a tt，即方程( )0g t 只有两个相异的实 数根； 当( )0bf a时，解方程( )0g t 得 2 a tta ，即方程( )0g t 只有两个相异 的实数根 综上，如果过()ab，可作曲线( )yf x三条切线，即( )0g t 有三个相异的实数根， 则 0 ( )0. ab bf a ， 即( )abf a 35已知函数 32 1 ( )(2)1 3 f xaxbxb x 在 1 xx处取得极大值，在 2 xx处取得极小值，且 12 012xx （1）证明0a ； （2）若z=a+2b,求 z 的取值范围。 解：求函数( )f x的导数 2 ( )22fxaxbxb （）由函数( )f x在 1 xx处取得极大值，在 2 xx处取得极小值，知 12 xx，是( )0fx 的两个根 所以 12 ( )()()fxa xxxx 当 1 xx时，( )f x为增函数，( )0fx，由 1 0 xx， 2 0 xx得0a （）在题设下， 12 012xx 等价于 (0)0 (1)0 (2)0 f f f 即 20 220 4420 b abb abb 化简得 20 320 4520 b ab ab 此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：20320 4520babab， 所围成的ABC的内部，其三个顶点分别为： 4 6 (2 2)(4 2) 7 7 ABC ， ， z在这三点的值依次为 16 6 8 7 ， ， 所以z的取值范围为 16 8 7 ， 36设函数 2 ( )ln(1)f xxbx，其中0b （）当 1 2 b 时，判断函数( )f x在定义域上的单调性； （）求函数( )f x的极值点； （）证明对任意的正整数n，不等式 23 111 ln1 nnn 都成立 解： （）由题意知，( )f x的定义域为( 1)， 3 22 ( )2 11 bxxb fxx xx 设 2 ( )22g xxxb，其图象的对称轴为 1 ( 1) 2 x ， max 11 ( ) 22 g xgb 当 1 2 b 时， max 1 ( )0 2 g xb ， 即 2 ( )230g xxxb在( 1)，上恒成立， 当( 1)x ，时，( )0fx， 当 1 2 b 时，函数( )f x在定义域( 1)，上单调递增 b a 2 1 24O 4 6 7 7 A ， (4 2)C， (2 2)B ， （）由（）得，当 1 2 b 时，函数( )f x无极值点 1 2 b 时， 3 1 2 2 ( )0 1 x fx x 有两个相同的解 1 2 x ， 1 1 2 x ，时，( )0fx， 1 2 x ，时，( )0fx， 1 2 b 时，函数( )f x在( 1)，上无极值点 当 1 2 b 时，( )0fx有两个不同解， 1 11 2 2 b x ， 2 11 2 2 b x ， 0b 时， 1 11 2 1 2 b x ， 2 11 2 0 2 b x ， 即 1 ( 1)x ， 2 1x ， 0b 时，( )fx，( )f x随x的变化情况如下表： x 1 ( 1)x ， 1 x 2 ()x ， ( )fx 0 ( )f x 极小值 由此表可知：0b 时，( )f x有惟一极小值点 1 11 2 2 b x ， 当 1 0 2 b时， 1 11 2 1 2 b x ， 12 ( 1)xx ， 此时，( )fx，( )f x随x的变化情况如下表： x 1 ( 1)x ， 1 x 12 ()xx， 1 x 1 ()x ， ( )fx0 0 ( )f x 极大值 极小 值 由此表可知： 1 0 2 b时，( )f x有一个极大值 1 11 2 2 b x 和一个极小值点 2 11 2 2 b x ； 综上所述： 0b 时，( )f x有惟一最小值点 11 2 2 b x ； 1 0 2 b时，( )f x有一个极大值点 11 2 2 b x 和一个极小值点 11 2b x x ； 1 2 b时，( )f x无极值点 （）当1b 时，函数 2 ( )ln(1)f xxx， 令函数 222 ( )( )ln(1)h xxf xxxx， 则 22 2 13(1) ( )32 11 xx h xxx xx 当0 x，时，( )0fx，所以函数( )h x在0 ，上单调递增， 又(0)0h (0)x ，时，恒有( )(0)0h xh，即 23 ln(1)xxx恒成立 故当(0)x，时，有 23 ln(1)xxx 对任意正整数n取 1 (0)x n ，则有 23 111 ln1 nnn 所以结论成立 37设函数 2 ( )lnf xaxbx，其中0ab 证明：当0ab 时，函数( )f x没有极值点；当0ab 时，函数( )f x有且只有一个极 值点，并求出极值 证明：因为 2 ( )ln0f xaxbxab，所以( )f x的定义域为(0)， ( )fx 2 2 2 baxb ax xx 当0ab 时，如果00( )0( )abfxf x，在(0)，上单调递增； 如果00( )0( )abfxf x，在(0)，上单调递减 所以当0ab ，函数( )f x没有极值点 当0ab 时， 2 22 ( ) bb a xx aa fx x 令( )0fx， 将 1 (0) 2 b x a ，（舍去） ， 2 (0) 2 b x a ， 当00ab，时，( )( )fxf x，随x的变化情况如下表： x0 2 b a ， 2 b a 2 b a ， ( )fx 0 ( )f x 极小值 从上表可看出， 函数( )f x有且只有一个极小值点，极小值为1 ln 222 bbb f aa 当00ab，时，( )( )fxf x，随x的变化情况如下表： x0 2 b a ， 2 b a 2 b a ， ( )fx 0 ( )f x 极大值 从上表可看出， 函数( )f x有且只有一个极大值点，极大值为1 ln 222 bbb f aa 综上所述， 当0ab 时，函数( )f x没有极值点； 当0ab 时， 若00ab，时，函数( )f x有且只有一个极小值点，极小值为1 ln 22 bb a 若00ab，时，函数( )f x有且只有一个极大值点，极大值为1 ln 22 bb a 38设函数f(x)=, 2 2 aaxx c 其中a为实数. ()若f(x)的定义域为 R R,求a的取值范围; ()当f(x)的定义域为 R R 时，求f(x)的单减区间. 解： （）( )f x的定义域为R， 2 0 xaxa恒成立， 2 40aa ， 04a ，即当04a时( )f x的定义域为R （） 22 (2)e ( ) () x x xa fx xaxa ，令( )0fx，得(2)0 x xa 由( )0fx，得0 x 或2xa，又04a， 02a 时，由( )0fx得02xa； 当2a 时，( )0fx；当24a时，由( )0fx得20ax， 即当02a时，( )f x的单调减区间为(0 2)a，； 当24a时，( )f x的单调减区间为(20)a ， 39 已知cxbxaxxf 23 )(在区间0,1上是增函数,在区间), 1 (),0 ,(上是减函数, 又. 2 3 ) 2 1 ( f ()求)(xf的解析式; ()若在区间, 0m(m0)上恒有)(xfx成立,求m的取值范围. 解： （） 2 ( )32fxaxbxc，由已知(0)(1)0ff， 即 0 320 c abc ， ， 解得 0 3 2 c ba ， 2 ( )33fxaxax， 1333 2422 aa f ，2a ， 32 ( )23f xxx （）令( )f xx，即 32 230 xxx， (21)(1)0 xxx， 1 0 2 x 或1x 又( )f xx在区间0m，上恒成立， 1 0 2 m 已知函数0()( 2 x x a xxf，常数)aR （1）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由； （2）若函数)(xf在2)x ，上为增函数，求a的取值范围 解： （1）当0a时， 2 )(xxf， 对任意(0)(0)x ，)()()( 22 xfxxxf，)(xf为偶函数 当0a时， 2 ( )(00) a f xxax x ， 取1x，得( 1)(1)20( 1)(1)20ffffa ， ( 1)(1)( 1)(1)ffff ， 函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数 （2）解法一：设 12 2xx， 2 2 2 1 2 121 )()( x a x x a xxfxfaxxxx xx xx )( )( 2121 21 21 ， 要使函数)(xf在2)x ，上为增函数，必须0)()( 21 xfxf恒成立 1212 04xxx x，即)( 2121 xxxxa恒成立 又4 21 xx，16)( 2121 xxxx a的取值范围是(16， 解法二：当0a时， 2 )(xxf，显然在2) ，为增函数 当0a时，反比例函数 x a 在2) ，为增函数， x a xxf 2 )(在2) ，为增函数 当0a时，同解法一 40已知函数0()( 2 x x a xxf，常数)aR （1）当2a时，解不等式12) 1()(xxfxf； （2）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由 解： （1）12 1 2 ) 1( 2 22 x x x x x， 0 1 22 xx ， 0) 1(xx 原不等式的解为10 x （2）当0a时， 2 )(xxf， 对任意(0)(0)x ，)()()( 22 xfxxxf， )(xf为偶函数 当0a时， 2 ( )(00) a f xxax x ， 取1x，得( 1)(1)20( 1)(1)20ffffa ， ( 1)(1)( 1)(1)ffff ， 函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数 41设函数), 1,( 1 1)(NxnNn n xf n 且. ()当x=6 时,求 n n 1 1的展开式中二项式系数最大的项; ()对任意的实数x,证明 2 )2()2(fxf );)()()(的导函数是xfxfxf ()是否存在Na,使得 an n k k 1 1 1na) 1( 恒成立?若存在,试证明你的结论并 求出a的值;若不存在,请说明理由. 本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查 综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。 （）解：展开式中二项式系数最大的项是第 4 项，这项是 3 3 5 6 3 120 1C nn （）证法一：因 22 11 2211 n fxf nn 22 11 211 n nn 11 2 11 n nn 1 2 1 n n 11 2 1ln 1 2 n n 11 2 1ln 12 n fx nn 证法二：因 22 11 2211 n fxf nn 22 11 211 n nn 11 2 11 n nn 而 11 22 1ln 1 n fx nn 故只需对 1 1 n 和 1 ln 1 n 进行比较。 令 ln1g xxx x，有 11 1 x gx xx 由 1 0 x x ，得1x 因为当01x时， 0gx ， g x单调递减；当1x 时， 0gx ， g x单 调递增，所以在1x 处 g x有极小值1 故当1x 时， 11g xg， 从而有ln1xx，亦即ln1lnxxx 故有 11 1ln 1 nn 恒成立。 所以 222fxffx，原不等式成立。 （）对mN，且1m 有 2 012 11111 1 mkm km mmmmm CCCCC mmmmm 2 11112 1111 1 1 2! km m mm mmkm m mkmmm 111121111 2111111 2! km mkmmmmmm 1111 2 2!3!km 1111 2 2 13 211k km m 1111111 21 22311kkmm 1 33 m 又因 1 02,3,4, k k m Ckm m ，故 1 213 m m 1 213 m m ，从而有 1 1 213 k n k nn k 成立， 即存在2a ，使得 1 1 213 k n k nn k 恒成立。 42设函数 3 ( )f xaxbxc(0)a 为奇函数，其图象在点(1,(1)f处的切线与直线 670 xy垂直，导函数( )fx的最小值为12 （）求a，b，c的值； （）求函数( )f x的单调递增区间，并求函数( )f x在 1,3上的最大值和最小值 解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推 理能力和运算能力 （）( )f x为奇函数， ()( )fxf x 即 33 axbxcaxbxc 0c 2 ( )3fxaxb的最小值为12 12b 又直线670 xy的斜率为 1 6 因此，(1)36fab 2a ，12b ，0c （） 3 ( )212f xxx 2 ( )6126(2)(2)fxxxx，列表如下： x (,2) 2(2,2)2( 2,) ( )fx0 0 ( )f x 极大 极小 所以函数( )f x的单调增区间是(,2) 和( 2,) ( 1)10f ，( 2)8 2f ，(3)18f ( )f x在 1,3上的最大值是(3)18f，最小值是( 2)8 2f （天津理 20） 已知函数 2 2 21 ( )() 1 axa f xx x R，其中aR （）当1a 时，求曲线( )yf x在点(2(2)f，处的切线方程； （）当0a 时，求函数( )f x的单调区间与极值 本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调 性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法满分 12 分 （）解：当1a 时， 2 2 ( ) 1 x f x x ， 4 (2) 5 f， 又 22 2222 2(1)2222 ( ) (1)(1) xxxx fx xx ， 6 (2) 25 f 所以，曲线( )yf x在点(2(2)f，处的切线方程为 46 (2) 525 yx ， 即62320 xy （）解： 22 2222 2 (1)2 (21)2()(1) ( ) (1)(1) a xxaxaxa ax fx xx 由于0a ，以下分两种情况讨论 （1）当0a 时，令( )0fx，得到 1 1 x a ， 2 xa当x变化时，( )( )fxf x，的变 化情况如下表： x 1 a ， 1 a 1 a a ，a()a ， ( )fx 00 ( )f x极小值 极大值 所以( )f x在区间 1 a ，()a ，内为减函数，在区间 1 a a ，内为增函数 函数( )f x在 1 1 x a 处取得极小值 1 f a ，且 2 1 fa a ， 函数( )f x在 2 1 x a 处取得极大值( )f a，且( )1f a （2）当0a 时，令( )0fx，得到 12 1 xax a ，当x变化时，( )( )fxf x，的变化 情况如下表： x a， a 1 a a ， 1 a 1 a ，+ ( )fx0 0 ( )f x 极大值 极小值 所以( )f x在区间()a， 1 a ，+内为增函数，在区间 1 a a ，内为减函数 函数( )f x在 1 xa处取得极大值( )f a，且( )1f a 函数( )f x在 2 1 x a 处取得极小值 1 f a ，且 2 1 fa a 设函数 2 ( )()f xx xa （xR） ，其中aR （）当1a 时，求曲线( )yf x在点(2(2)f，处的切线方程； （）当0a 时，求函数( )f x的极大值和极小值； （）当3a 时，证明存在10k ，使得不等式 22 (cos )(cos)f kxf kx对任意 的xR恒成立 本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础 知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法满分 14 分 （）解：当1a 时， 232 ( )(1)2f xx xxxx ，得(2)2f ，且 2 ( )341fxxx ，(2)5 f 所以，曲线 2 (1)yx x 在点(22)，处的切线方程是25(2)yx ，整理得 580 xy （）解： 2322 ( )()2f xx xaxaxa x 22 ( )34(3)()fxxaxaxa xa 令( )0fx，解得 3 a x 或xa 由于0a ，以下分两种情况讨论 （1）若0a ，当x变化时，( )fx的正负如下表： x 3 a ， 3 a 3 a a ，a()a ， ( )fx 00 因此，函数( )f x在 3 a x 处取得极小值 3 a f ，且 3 4 327 a fa ； 函数( )f x在xa处取得极大值( )f a，且 ( )0f a （2）若0a ，当x变化时，( )fx的正负如下表： x a， a 3 a a ， 3 a 3 a ， ( )fx 00 因此，函数( )f x在xa处取得极小值( )f a，且 ( )0f a ； 函数( )f x在 3 a x 处取得极大值 3 a f ，且 3 4 327 a fa （）证明：由3a ，得1 3 a ，当10k ，时， cos1kx， 22 cos1kx 由（）知，( )f x在1，上是减函数，要使 22 (cos )(cos)f kxf kx，xR 只要 22 coscos()kxkx x R 即 22 coscos()xxkk x R 设 2 2 11 ( )coscoscos 24 g xxxx ，则函数( )g x在R上的最大值为2 要使式恒成立，必须 2 2kk，即2k或1k 所以，在区间10 ，上存在1k ，使得 22 (cos )(cos)f kxf kx对任意的xR恒 成立 设 3 ( ) 3 x f x ，对任意实数t，记 2 3 2 ( ) 3 t g xt xt （I）求函数( )( ) t yf xg x的单调区间； （II）求证： （）当0 x 时，( )f x g( )( ) t f xg x对任意正实数t成立； （）有且仅有一个正实数 0 x，使得 00 ()() xt gxg x对任意正实数t成立 本题主要考查函数的基本性质， 导数的应用及不等式的证明等基础知识， 以及综合运用所学 知识分析和解决问题的能力满分 15 分 （I）解： 3 16 4 33 x yx 由 2 40yx ，得 2x 因为当(2)x ，时，y 0， 当( 2 2)x ，时，0y， 当(2)x，时，0y ， 故所求函数的单调递增区间是(2) ，(2)， 单调递减区间是( 2 2) ， （II）证明： （i）方法一： 令 23 3 2 ( )( )( )(0) 33 t x h xf xg xt xt x，则 2 2 3 ( )h xxt， 当0t 时，由( )0h x，得 1 3 xt， 当 1 3 ()xx，时，( )0h x， 所以( )h x在(0)，内的最小值是 1 3 ()0h t 故当0 x 时，( )( ) t f xg x对任意正实数t成立 方法二： 对任意固定的0 x ，令 2 3 2 ( )( )(0) 3 t h tg xt xt t，则 11 33 2 ( )() 3 h ttxt ， 由( )0h t，得 3 tx 当 3 0tx 时，( )0h t 当 3 tx时，( )0h t， 所以当 3 tx时，( )h t取得最大值 33 1 () 3 h xx 因此当0 x 时，( )( )f xg x对任意正实数t成立 （ii）方法一： 8 (2)(2) 3 t fg 由（i）得，(2)(2) tt gg对任意正实数t成立 即存在正实数 0 2x ，使得(2)(2) xt gg对任意正实数t成立 下面证明 0 x的唯一性： 当 0 2x ， 0 0 x ，8t 时， 3 0 0 () 3 x f x， 00 16 ()4 3 x gxx， 由（i）得， 3 0 0 16 4 33 x x， 再取 3 0 tx，得 3 0 3 0 0 () 3 x x gx， 所以 3 0 3 0 000 16 ()4() 33 x x x gxxgx， 即 0 2