《解析几何中最值问题的解题策略》

解析几何中最值问题的解题策略圆锥曲线中最值问题的基本解法有几何法和代数法。其中，代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数，通过运用基本不等式或构造函数等来求解函数的最值。下面我们来介绍运用基本不等式的方法来解决圆锥曲线的一个优美性质。例题1.已知，椭圆的离心率为，右焦点，直线的斜率为，是坐标原点。（1）求的方程；（2）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程。解：（1）（2）由题意直线的斜率存在，设联立消得，原点到直线的距离所以当即时，取等号，此时先来解析这道题，应用了两个公式：一.弦长公式二.基本不等式我们运用这两个知识来证明该题型具有的一般性结论例题2.已知，设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程。解：由题意直线的斜率存在，设联立消得，原点到直线的距离所以 当，取等号。由此我们得出一个一般性结论：若直线的斜率当时，有最大值若直线的截距且满足，当时，有最大值若，当时，取不到最大值，此时不能用基本不等式求最值。我们得探索其他求最值的方法，用构造函数法或放缩法可以证明，当时，有最大值，下面我们再看一道例题。例题3已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点, 求面积的最大值（1）设圆的半径为, 圆心的坐标为， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切，结合图像可知，动圆与圆只能内切.且则.所以圆心的轨迹是以点为焦点的椭圆, 且, 则.所以曲线的方程为. （2）设，直线的方程为，由 可得，则. 所以 因为，所以的面积等于的面积. 点到直线的距离. 所以的面积.令，则 ，. 设，则.因为, 所以所以在上单调递增.所以当时, 取得最小值, 其值为.所以的面积的最大值为. 说明: 的面积.例题4已知椭圆E的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是它的一个焦点，又点在该椭圆上。（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，当ABC的面积最大时，求直线的方程。例题5设椭圆中心在坐标原点，A（2,0），B（0,1）是它的两个顶点，直线y=kx（k0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E,F两点。（1），求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值；例题6在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（1，0），P为椭圆G的上顶点，且PF1O=45（）求椭圆G的标准方程；（）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示（）证明：m1+m2=0；（）求四边形ABCD的面积S的最大值12（）根据F1（1，0），PF1O=45，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）（）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；（）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则 ，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值【解析】： （）解：设椭圆G的标准方程为因为F1（1，0），PF1O=45，所以b=c=1所以，a2=b2+c2=2（2分）所以，椭圆G的标准方程为（3分）（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）（）证明：由消去y得：则，（5分）所以 =同理 （7分）因为|AB|=|CD|，所以 因为 m1m2，所以m1+m2=0（9分）（）解：由题意得四边形ABCD