2020届辽宁省辽南协作校高三下学期第一次模拟考试数学理试题版.doc

2020届辽宁省辽南协作校高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1已知集合，若，则( )ABCD【答案】C【解析】由可知，进而可求得集合，即可求得.【详解】集合，则，所以，则，故选：C.【点睛】本题考查了元素与集合关系，根据交集运算结果得集合，集合并集的简单运算，属于基础题.2已知复数满足，为虚数单位，则等于（ ）ABCD【答案】A【解析】根据复数满足，利用复数的除法求解.【详解】，.故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3设是向量，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】试题分析：由无法得到，充分性不成立；由，得，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.4若空间中三条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是( )AB与既不垂直又不平行CD与的位置关系不确定【答案】D【解析】根据，将三条线段置于正方体中，即可判断各选项.【详解】空间中三条两两不同的直线，满足，位置关系可如下图所示：根据图示可知，当取两个不同位置时，满足，可排除ABC选项，即与的位置关系不确定，故选：D.【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的判断，属于基础题.5已知正三棱锥，点、都在直径为的球面上，若、两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】将正三棱锥补形成正方体，根据几何体外接球的直径，计算出的长，由此求得正三棱锥的体积.【详解】将正三棱锥补形成正方体，如下图所示.设，由于正三棱锥的外接球和正方体的外接球相同，正方体的体对角线即为外接球的直径，即，所以正三棱锥的体积为.故选：A【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题.6点到抛物线的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（ ）ABC或D或【答案】D【解析】根据点到准线的距离为，分和两种情况分别求得，进而得到抛物线方程【详解】当时，开口向上，准线方程为，则点到准线的距离为，求得，抛物线方程为，当时，开口向下，准线方程为，点到准线的距离为解得，抛物线方程为故选：D【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对抛物线开口方向的讨论.7函数的值域为（ ）ABCD【答案】C【解析】，由于，故当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为，故函数的值域为.【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系，考查了二次函数最大值的求解方法，同时考查了化归与转化的数学思想方法.第一步首先用同角三角函数关系将化为，转化为同一个角的式子，为后续配方法做好准备.第第二步配方之后利用三角函数的值域，即可求得函数的值域.8函数的图像大致为（ ）ABCD【答案】C【解析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解【详解】函数的定义域是，排除BD，又，即函数为奇函数排除A故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法9函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位【答案】B【解析】试题分析：由图象知，得，所以，为了得到的图象，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D【考点】三角函数图象.10如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（ ）A海里B海里C海里D40海里【答案】A【解析】在中，所以，由正弦定理可得：，解得，在中，所以，在中，由余弦定理可得：，解得.11甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ）A甲得9张，乙得3张B甲得6张，乙得6张C甲得8张，乙得4张D甲得10张，乙得2张【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意可知：乙获得12张游戏牌概率为，所以甲应分得张牌，乙应分得张牌，故选A【考点】排列组合问题12已知双曲线的两顶点分别为，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点，若在线段（不含端点）上存在两点，使得，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】根据题意，先求得直线的方程，由在线段（不含端点）上存在两点，使得可得线段与以为直径的圆相交，即可求得；再根据即可得双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围.【详解】双曲线，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点，不妨设，则直线的方程为，因为在线段（不含端点）上存在两点，使得，所以线段与以为直径的圆相交，即，化简可得，双曲线中满足，代入上述不等式可得，则，由在线段（不含端点）上存在两点，使得可知，所以，即双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围为，故选：A.【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，渐近线斜率取值范围的应用，直线与圆位置关系的判断及应用，属于中档题.二、填空题13已知函数，则_【答案】3【解析】利用分段函数解析式，求得所求表达式的值.【详解】依题意，.故答案为：.14我国古代数学名著数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒.估计这批米内所夹的谷有_石.【答案】170【解析】根据等古典概型概率公式求法即可得解.【详解】由等可能事件概率公式可知，这批米内所夹的谷有 石故答案为：170.【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，属于基础题.15考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用表示该有机体死亡年后体内碳14的含量，则与的关系式可以表示为_.【答案】【解析】根据题意，建立函数模型，由经过大约5730年后会变为原来的一半可求得解析式.【详解】由题意可设，当时，即，解得，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了函数模型的选择，函数解析式的求法，属于基础题.16已知，对于时都有恒成立，则的取值范围为_.【答案】【解析】构造函数，利用导数研究的最小值，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】构造函数，依题意在区间上恒成立.，所以在区间上递减，在区间上递增，所以在区间的最小值为，所以在区间，在区间，所以当时，有最小值.依题意在区间上恒成立，所以，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题17数列的前项和，满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据，结合条件式即可判断数列为等比数列，即可由首项与公比求得数列的通项公式.（2）将数列的通项公式代入，结合对数式的化简即可知数列为等差乘等比形式，结合错位相减法即可得解.【详解】（1），当时，.，故为等比数列，公比为3，首项为3.（2），可得.两式相减得 可得.【点睛】本题考查了递推公式证明数列为等比数列的方法，错位相减法的综合应用，属于中档题.18港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有天，从这天中任取两天，设为这两天中客流量超过7万人的天数.求的分布列和期望【答案】（1）4.15，4.125；（2）分布列见解析，【解析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法，计算出平均数；根据频率分布直方图估计中位数的方法，计算出中位数；（2）根据超几何分布的分布列和数学期望的计算方法，计算出的分布列和期望.【详解】（1）平均值为设中位数为，则解得中位数为（2）可知其中超过7万人次的有5天012所以【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图估计平均数和中位数，考查超几何分布的分布列和期望的计算，属于基础题.19如图，四棱柱中，平面，为棱的中点 （1）证明：；（2）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）通过勾股定理计算证明证得，再证得，由此证得平面，从而证得.（2）建立空间直角坐标系，利用得出点的坐标，根据直线与平面所成角的正弦值为列方程，解方程求得的值，进而求得线段的长.【详解】（1）在中，平面，平面平面，平面，又，所以平面，所以且平面，（2）由题可知，两两垂直，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设，则则易知为平面的一个法向量.设为直线与平面所成角，则解得，（舍去）所以，故线段的长为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查根据线面角求线段的长，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20已知椭圆的标准方程是，设是椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过做的垂线交椭圆于点，.（1）证明：线段平分线段（其中为坐标原点）；（2）当最小时，求点的坐标.【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】（1）由椭圆的标准方程可得的坐标，设点坐标为，可得直线的斜率，讨论与两种情况，设直线的方程是，；联立直线与椭圆方程，即可用表示点的坐标，即可证明结论.（2）由（1）结合弦长公式，表示出，即可得，结合基本不等式即可求得最小值及最小值时的值，进而得点的坐标.【详解】（1）证明：椭圆的标准方程是，设是椭圆的左焦点，为直线上任意一点，所以得坐标为，设点坐标为，则直线的斜率，当时，直线的斜率，直线的方程是，当时，直线的方程，也符合方程的形式，设，将直线的方程与椭圆的方程联立得：消去得，有，设的中点的坐标为， ，所以直线的斜率，又因为直线的斜率，所以点在直线上，因此线段平分线段.（2）由（1）知，所以，当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值，点的坐标为或【点睛】本题考查了椭圆的几何性质的应用，由韦达定理分析弦的中点坐标问题，线段比值最值的求法，基本不等式的应用，属于中档题.21已知函数（1）若函数在点处的切线与轴平行，求实数的值及函数在区间上的单调区间；（2）在（1）的条件下，若，求证：.（为的导函数）【答案】（1），函数的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）利用求得的值.再结合求得在区间上的单调区间.（2）将要证明的不等式转化为证明，进一步转化为证明.利用构造函数法，结合导数证得在区间上成立，由此证得不等式成立.【详解】（1）所以当时，递减，当时，递增所以函数的递增区间为，递减区间为（2）由（1）知与异号，不妨设，则因为在单调递减，要证，需要证明，需要证明因为需证，因为即需要证明，即即令所以在上递增综上【点睛】本小题主要考查根据切线的斜率求参数，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为.（1）若可，试判断曲线和的位置关系；（2）若曲线与交于点，两点，且，满足.求的值.【答案】（1）相离；（2）.【解析】（1）将代入，可将和转化为直角坐标方程，结合点到直线距离即可判断和的位置关系；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，由参数方程的几何意义即可确定的关系，进而求得的值.【详解】（1）曲线的参数方程为，化为普通方程为，曲线的极坐标方程为，的直角坐标方程，是以为圆心，1为半径的圆，因为圆心到直线的距离，所以曲线和相离.（2）将代入.整理得，由得，设交点，对应的参数分别为，则，因此所以，又，所以，即，所以，解得，故.【点睛】本