中考数学试题分类汇编16.三角形（等腰三角形等边三角形 全等尺规作图）

（2020哈尔滨）。如图，AB、AC为O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，BC求证：CEBF （2020珠海）。如图，在梯形ABCD中，ABCD（1）用尺规作图方法，作DAB的角平分线AF（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若AF交CD边于点E，判断ADE的形状（只写结果）解：(1)所以射线AF即为所求(2)ADE是等腰三角形.（2020珠海）如图，ABC内接于O，AB6,AC4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时，PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）若cosPCB=，求PA的长.解：（1）当BDAC4时，PAD是以AD为底边的等腰三角形P是优弧BAC的中点 弧PB弧PCPBPCBDAC4 PBD=PCAPBDPCAPA=PD 即PAD是以AD为底边的等腰三角形（2）由（1）可知，当BD4时，PDPA，ADAB-BD6-42过点P作PEAD于E，则AEAD=1PCB=PADcosPAD=cosPCB=PA=（2020红河自治州）11. 如图3，D、E分别是AB、AC上的点，若A=70，B=60， DE/BC.则AED的度数是 50.（2020年镇江市）20推理证明（本小题满分6分） 如图，在ABC和ADE中，点E在BC边上，BAC=DAE，B=D，AB=AD. （1）求证：ABCADE； （2）如果AEC=75，将ADE绕着点A旋转一个锐角后与ABC重合，求这个旋转角的大小.（1）BAC=DAE，AB=AD，B=D，ABDADE.（3分） （2）ABCADE，AC与AE是一组对应边，CAE的旋转角，（4分）AE=AC，AEC=75，ACE=AEC=75， （5分）CAE=1807575=30. （6分）（玉溪市2020）22. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.（1）AB平行于CD如图a，点P在AB、CD外部时，由ABCD，有B=BOD，又因BOD是POD的外角，故BOD=BPD +D，得BPD=B-D如图b，将点P移到AB、CD内部，以上结论是否成立？，若不成立，则BPD、B、D之间有何数量关系？请证明你的结论；图aO图b（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则BPDBDBQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求图d中A+B+C+D+E+F的度数图c图dGO解：（1）不成立，结论是BPD=B+D.延长BP交CD于点E, ABCD. B=BED.又BPD=BED+D，BPD=B+D. 4分（2）结论： BPD=BQD+B+D. 7分（3）由（2）的结论得：AGB=A+B+E. 又AGB=CGF. CGF+C+D+F=360A+B+C+DE+F=360. 11分（桂林2020）26（本题满分12分）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边DEF，设DEF与BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）（1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式；（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由26(本题12 分)解（1）C（4，） 2分的取值范围是：04 3分（2）D点的坐标是（，），E的坐标是（，）DE=-= 4分等边DEF的DE边上的高为： 当点F在BO边上时：=，=3 5分 当03时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：- 7分S= 8分 当34时，重叠部分为等边三角形S= 9分= 10分（3）存在，P（，0） 12分说明：FO，FP，OP4以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,若FO=FP时，=2（12-3），=，P（，0） （2020年无锡）7下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）A两边之和大于第三边B有一个角的平分线垂直于这个角的对边C有两个锐角的和等于90D内角和等于180答案 B （2020年无锡）16如图,ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,A=30,ACB=80,则BCE=答案 50 （第16题） 2020年无锡）26（本题满分10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB图1=MAE本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747转载请注明！（下面请你完成余下的证明过程）图2（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747转载请注明！（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）答案解：（1）AE=MC,BE=BM, BEM=EMB=45, AEM=1355, CN平分DCP，PCN=45，AEM=MCN=135在AEM和MCN中：AEMMCN，AM=MN（2）仍然成立在边AB上截取AE=MC，连接MEABC是等边三角形，AB=BC，B=ACB=60，ACP=120AE=MC，BE=BMBEM=EMB=60AEM=120CN平分ACP，PCN=60，AEM=MCN=120CMN=180AMNAMB=180BAMB=BAMAEMMCN，AM=MN（3） （2020宁波市）CABDE第10题10如图，在ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 A A5个 B4个 C3个 D2个18（2020年金华）(本题6分)如图，在ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE. 请你添加一个条件，使BDECDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明（1）你添加的条件是： ；（2）证明： ACBDFE(第18题图)解：（1）(或点D是线段BC的中点)，中任选一个即可2分（2）以为例进行证明：CFBE， FCDEBD 又，FDCEDB， BDECDF4分ACBDFE5（2020年长沙）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是 CA3、4、5B6、8、10C、2、D5、12、1322（2020年长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED（1）求证：BECDEC；（2）延长BE交AD于F，当BED=120时，求EFD的度数第22题图AFDEBC答案：（1）证明：四边形ABCD是正方形BCCD，ECBECD45又ECEC 2分ABEADE 3分（2）ABEADEBECDECBED 4分 BED120BEC60AEF 5分EFD60+45105 6分 (2020湖北省荆门市)6给出以下判断：(1)线段的中点是线段的重心 (2)三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心 (3)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 (4)三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有( )(A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个答案D第11题11. （2020年郴州市）如图3，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则 度答案：2703（2020年济宁市)若一个三角形三个内角度数的比为234，那么这个三角形是A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形 D. 等边三角形 答案：B北京3. 如图，在ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE/BC，若AD：AB=3：4， AE=6，则AC等于 (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8。北京15. 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EAAD，FDAD，AE=DF， AB=DC。求证：ACE=DBF。毕节18三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是 18 6或10或1219(10重庆潼南县)画一个等腰ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）已知：求作：已知：线段a、h 求作：一个等腰ABC使底边BC=a，底边BC上的高为h。-1分画图（保留作图痕迹图略）-6分24全等、四边形、勾股定理(10重庆潼南县)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，1=2，3=4（1）证明：ABEDAF；（2）若AGB=30，求EF的长解：（1）四边形ABCD是正方形，AB=AD。在ABE和DAF中，ABEDAF。（2）四边形ABCD是正方形，1+4=900。3=4，1+3=900。AFD=900。在正方形ABCD中，ADBC，1=AGB=300。在RtADF中，AFD=900，AD=2，AF=，DF =1。由(1)得ABEADF。AE=DF=1。EF=AF-AE=。1、如图，已知点在线段上，请在下列四个等式中，CEBFDAABDE，ACBF，AD，ACDF选出两个作为条件，推出并予以证明（写出一种即可）已知： ， 求证：证明：答案：CEBFDA解：已知：（或、或）证明：若选在ABC和DEF中ABDE，BCEF，ACDF（选择、或评分标准类似，证明略）（2020年天津市）（13）如图，已知，第（13）题ACDBEF点A、D、B、F在一条直线上，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 （答案不惟一，也可以是或） （2020山西9现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm.从中任取一根木棒，能组成三角形的个数为（）CA1个 B2个 C3个 D4个（2020山西25（本题10分）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG。你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由ABGDE（第25题）FCABGDEFC（图1）（图2）1.（2020宁德）如图所示，如果将矩形纸沿虚线对折后，沿虚线剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（ ）.B3410A2 B22 C12 D18ABCEF第14题图2.（2020宁德）如图，在ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点若EF的长为2，则BC的长为_.43.（2020宁德）（本题满分8分）如图，已知AD是ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使AEDAFD，需添加一个条件是：_，并给予证明.B D CAEF解法一：添加条件：AEAF，3分 证明：在AED与AFD中，AEAF，EADFAD，ADAD，6分AEDAFD（SAS）. 8分解法二：添加条件：EDAFDA，3分证明：在AED与AFD中， EADFAD，ADAD，EDAFDA，6分 AEDAFD（ASA）. 8分4.（2020黄冈）如图，过边长为1的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，当PACQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）BABCD不能确定第15题图ABCDEF第11题图图1(2020昆明)如图，在ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若ABC的周长为10 cm，则DEF的周长是 cm答案：5DABC第6题图2（2020山东济南）如图，在ABC中，CD是ACB的平分线，A = 80，ACB=60，那么BDC=（）A80B90C100D110答案：DABCDPE第12题图3（2020山东济南）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有A2个 B3个 C4个 D5个答案：C23（2020山东济南） 已知：ABC是任意三角形如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点求证：MPN=A如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为MP1N+MP2N=A是否正确？请说明你的理由ABCNMPAMNP1CP2BACMNP1P2P2009B第23题图2第23题图1第23题图3如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，点P1、P2、P2020是边BC的2020等分点，则MP1N+MP2N+MP2020N=_（请直接将该小问的答案写在横线上）答案：23. 证明：点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，ABCMNP1第23题图P212 线段MP、PN是ABC的中位线，MPAN，PNAM，1分 四边形AMPN是平行四边形，2分 MPN=A. 3分MP1N+MP2N=A正确. 4分如图所示，连接MN， 5分，A=A，AMNABC，AMN=B， MNBC，MN=BC， 6分点P1、P2是边BC的三等分点，MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等，四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，MBNP1，MP1NP2，MP2AC，7分MP1N=1，MP2N=2，BMP2=A，MP1N+MP2N=1+2=BMP2=A.8分A. 9分17(2020昆明)如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC = FD，AB = EF.FABCDE（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使ABCEFD，你添加的条件是 ；（2）添加了条件后，证明ABCEFD.答案：（1）B = F或ABEF或AC = ED.2分 （2）证明：当B = F时 在ABC和EFD中 5分 ABCEFD (SAS) 6分（本题其它证法参照此标准给分）ABCP0P1P2P3第15题图1（2020山东德州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的ABC，AB=AC=BC=6如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1= CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2= AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3= BP2；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2020与点P2020之间的距离为_2、 （2020四川宜宾）如图，分别过点C、B作ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F求证：BF=CE13（3）题图3、（2020四川宜宾）已知：如图，在RtABC中，C=90，过点B作BDAC，且BD=2AC，连接AD21题图试判断ABD的形状，并说明理由4（2020山东德州）ADBEFCO第18题图如图，点E，F在BC上，BECF，AD，BC，AF与DE交于点O(1)求证：ABDC；(2)试判断OEF的形状，并说明理由答案：1 2;2、证明： CEAD于E，BFAD于F，CED =BFD =90 l分又AD是BC边上的中线，BD =CD 2分又BDF=CDE， 3分BDFCDE 4分故BF=CE 5分3、解：ABD是等腰三角形l分在BD上取点E，使BE=AC，连接AE，ACBD，BE = AC，四边形ACBE是平行四边形 3分又C = 90四边形ACBE是矩形 5分AEBD6分又BE = AC = BD，7分BE = EDAB=AD 8分故ABD是等腰三角形4证明：（）BECF，BEEFCFEF， 1分即BFCE 2分又AD，BC，ABFDCE（AAS）， 4分ABDC 5分（）OEF为等腰三角形 6分理由如下：ABFDCE，AFB=DECOE=OFOEF为等腰三角形 8分（2020株洲市）8如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是A6B7C8D9第8题图（2020年常州）22.（本小题满分5分）如图，在ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，DBC=ECB.求证：AB=AC.ABCD40120图1（2020河北省）2如图1，在ABC中，D是BC延长线上一点， B=40，ACD=120，则A等于A60 B70C80 D90（2020年安徽）14. 如图，AD是ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出ABC是等腰三角形的是_。（把所有正确答案的序号都填写在横线上）BADACD BADCAD，AB+BDAC+CD AB-BDAC-CD（第15题）（2020河南）15如图，RtABC中，C=90，ABC=30，AB=6点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是_2AD31、（2020山东烟台）如图，等腰 ABC中，AB=AC，A=20。线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则CBE等于A、80 B、 70 C、60 D、50答案：C（2020珠海）9.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PEAB于点E，PE4cm，则点P到BC的距离是_cm. 4（2020珠海）12.如图，在梯形ABCD中，ABCD（1）用尺规作图方法，作DAB的角平分线AF（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若AF交CD边于点E，判断ADE的形状（只写结果）解：(1)所以射线AF即为所求(2)ADE是等腰三角形.（益阳市2020年中考题8）如图3，已知ABC，求作一点P，使P到A的两边的距离相等，且PAPB下列确定P点的方法正确的是P为A、B两角平分线的交点P为A的角平分线与AB的垂直平分线的交点P为AC、AB两边上的高的交点P为AC、AB两边的垂直平分线的交点答案：B（益阳市2020年中考题11）如图，在ABC中，ABAC8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE答案：4益阳第11题图(苏州2020中考题7)如图，在ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上 若BD=CD，B=CDE，DE=2，则AB的长度是 A4 B5 C6 D7答案：A(苏州2020中考题10)如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C的圆心坐标为(1，0)，半径为1若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是 A2 B1 C D答案：C(苏州2020中考题23)(本题满分6分)如图，C是线段AB的中点，CD平分ACE，CE平分BCD，CD=CE(1)求证：ACDBCE；(2)若D=50，求B的度数(苏州2020中考题25)(本题满分8分)如图，在ABC中，C=90，AC=8，BC=6P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x (1)在ABC中，AB= ； (2)当x= 时，矩形PMCN的周长是14；(3)是否存在x的值，使得PAM的面积、PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明11. （莱芜）一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（ A ）A2BC1D1（2020，安徽芜湖）下列命题是真命题的是（ ）A对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B有两边和一角对应