数学北师大版八年级下册1.1等腰三角形的性质.ppt

第一章三角形的证明,1.1等腰三角形,第1课时等腰三角形的性质,1,课堂讲解,全等三角形的性质和判定等腰三角形的边、角性质等腰三角形的“三线合一”,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,在“平行线的证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论.,1,知识点,全等三角形的性质和判定,问题,全等三角形的定义是什么？,知1导,1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.2.全等三角形的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）.（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）,知1讲,知1讲,（来自点拨）,利用全等三角形的判定方法，当DB时，两个三角形符合“边角边”，ADFCBE,导引：,B,例1（2015贵州省贵阳）如图，点E，F在AC上，ADBC，DFBE，要使ADFCBE，还需要添加的一个条件是（）AACBDBCADBCDDFBE,总结,知1讲,此题主要考查了全等三角形的判定方法，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键,知1练,（来自典中点）,1(2016金华)如图，已知ABCBAD，添加下列条件还不能判定ABCBAD的是()AACBDBCABDBACCDDBCAD,知1练,（来自典中点）,2(2016南京)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ABOADO.下列结论：ACBD；CBCD；ABCADC；DADC.其中所有正确结论的序号是_,2,知识点,等腰三角形的边、角性质,知2导,1等腰三角形的相关概念回顾：,（来自教材）,知2导,2议一议(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流.,（来自教材）,归纳,知2导,（来自教材）,定理等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角.,知2讲,例2已知：如图1-1，在ABC中，ABAC.求证：BC.分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等(如图1-2).实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.,（来自教材）,图1-2,知2讲,证明：如图1-3,取BC的中点D，连接AD.ABAC，BDCD，ADAD，ABDACD(SSS).BC(全等三角形的对应角相等）.,（来自教材）,知2讲,（来自点拨）,1性质：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)要点精析：(1)适用条件：必须在同一个三角形中(2)应用格式：在ABC中，因为ABAC，所以BC.(3)作用：它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便,知2讲,例3(1)在ABC中，ABAC，若A50，求B；(2)若等腰三角形的一个角为70，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为90，求顶角的度数导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解解：(1)ABAC，BC.ABC180，502B180，解得B65.,（来自点拨）,知2讲,(2)由题意可知，70的角可以为顶角或底角，当底角为70时，顶角为18070240.因此顶角为40或70.(3)若顶角为90，底角为若底角为90，则三个内角的和大于180，不符合三角形内角和定理因此顶角为90.,（来自点拨）,总结,知2讲,（来自点拨）,1在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理2若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角,知2讲,例4如图，在ABC中，ABAC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BDCE，DE交BC于点F.求证：DFEF.导引：要证DFEF，可转化为证它们所在的三角形全等，而根据现有条件易知DF，EF所在的三角形不全等，因此可以考虑作辅助线，进行图形之间的转换，使条件集中,（来自点拨）,知2讲,证明：如图，过点E作EMAB交BC的延长线于点M，则MB.ABAC，BACB.又ACBECM，BECM.ECMM.CEME.又BDCE，MEBD.又BFDMFE，BDFMEF(AAS)DFEF.,（来自点拨）,总结,知2讲,转化思想在数学解题中无处不在，平行线是实现等角间转化的常用辅助线之一,（来自点拨）,(2016滨州)如图，在ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且ACCDBDBE，A50，则CDE的度数为()A50B51C51.5D52.5,知2练,（来自典中点）,知2练,（来自典中点）,(2016枣庄)如图，在ABC中，ABAC，A30，E为BC的延长线上一点，ABC与ACE的平分线交于点D，则D的度数为()A15B17.5C20D22.5,知3导,3,知识点,等腰三角形的“三线合一”,想一想在图1-3中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论?,1推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(简写成“三线合一”)要点精析：(1)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际是一组定理，应用过程中，在三角形是等腰三角形前提下，“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”(2)作用：是证明线段相等、角相等、垂直等关系的重要方法，应用广泛,（来自点拨）,知3讲,(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高线、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴(4)应用格式：如图，在ABC中，ABAC，ADBC，AD平分BAC(或BDCD)；ABAC，BDDC，ADBC(或AD平分BAC)；ABAC，AD平分BAC，BDDC(或ADBC),（来自点拨）,知3讲,（来自点拨）,知3讲,如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EFAB，垂足为F.(1)若BAD25，求C的度数；(2)求证：EFED.ABAC，AD是BC边上的中线，BADCAD.BAC2BAD50.ABAC，CABC(180BAC)(18050)65.,例5,(1)解：,（来自点拨）,知3讲,(2)求证：EFED.证明：ABAC，AD是BC边上的中线，EDBC.又BG平分ABC，EFAB，EFED.,总结,知3讲,（来自点拨）,(1)利用等腰三角形的“三线合一”证明角相等、线段相等和垂直关系是一种既重要又简便的方法；因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活(2)在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用“三线合一”是等腰三角形中常用的方法,（来自点拨）,知3讲,如图，已知ABAE，BCDE，BE，AMCD，垂足为M.求证：CMMD.,如图，连接AC，AD.在ABC和AED中，ABCAED(SAS)ACAD.又AMCD，CMMD.,导引：,证明：,例6,由已知AMCD和结论CMMD，联想到等腰三角形的“三线合一”，由此连接AC，AD构造等腰三角形,总结,知3讲,（来自点拨）,对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形作“三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种图形说明巧作辅助线的方法：1.如图(1)的情形，需作底边上的高；,知3讲,2.如图(2)的情形，需作顶角平分线；3.如图(3)的情形，需作中线；4.如图(4)的情形，需连接AD并延长，再证其是“三线”即可,（来自点拨）,1(2015苏州)如图，在ABC中，ABAC，D为BC的中点，BAD35，则C的度数为()A35B45C55D60,知3练,（来自教材）,2如图，在ABC中，ABAC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是()AADBCBEBCECBCABEACEDAEBE,知3练,（来自典中点）,3如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，DEAB于点E，DFAC于点F，下列结论：BADCAD；AD上任意一点到AB，AC的距离相等；BDC