工程图学基础课件张顺心版02--点、直线、平面的投影

第二章点、直线、平面的投影,本章内容：,第一节点的投影第二节直线的投影第三节平面的投影第四节直线与平面的相对位置和两平面的相对位置第五节换面法,第一节点的投影,一、三投影面体系中点的投影,Z,Y,A,a,ax,a,a,az,ay,a水平（H面）投影；a正面（V面）投影；a”侧面（W面）投影ay、az投影集合点,1.点在三投影面体系中的投影,X,V,O,H,Z,YW,ax,az,YH,a,a,a,W,O,X,Z,YW,a,ax,a,a,az,YH,aYH,aYW,、,1）点的水平投影与正面投影的连线垂直于X轴；侧面投影与正面投影的连线垂直于Z轴。2）点的水平投影到X轴的距离和侧面投影到Z轴的距离相等，且都反映该点到V面的距离。,O,Z,YW,a,ax,a,a,az,YH,aYH,aYW,X,例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。,YH,YW,O,X,Y,a,a,a,例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。,YH,YW,O,X,Y,a,a,a,2.点的投影与坐标,、,O,Z,YW,a,ax,a,a,az,YH,aYH,aYW,za,xa,Ya,X,（点A到W之距离）,（点A到V之距离）,（点A到H之距离）,Z,例2：已知点A的坐标为(20,15,10),求作其三面投影,YH,YW,O,X,Z,a,a,a,20,aX,aYH,az,10,15,YH,YW,O,X,Z,a,a,a,例2：已知点A的坐标为(20,15,10),求作其三面投影,O,X,Z,Y,a(A),a,a,A,二.点与投影面的各种相对位置,V,H,W,YH,YW,O,X,Z,a,a,a(A),O,X,Z,Y,a(A),a,a,V,H,W,V,H,X,Z,Y,a(A),a,a,B,b(B),b,b,YH,YW,O,X,Z,a(A),a,a,O,W,YH,YW,O,X,Z,a(A),a,a,b(B),b,b,V,H,X,Z,Y,a(A),a,a,b(B),b,b,O,W,YH,YW,O,X,Z,a(A),a,a,b(B),b,b,V,H,X,Z,Y,a(A),a,a,b(B),b,b,O,c(C),c,C,c,W,YH,YW,O,X,Z,a(A),a,a,b(B),b,b,c(C),c,c,V,W,H,X,Z,Y,a(A),a,a,b(B),b,b,O,c(C),c,c,a,a,b,W,X,V,H,A,B,Z,Y,a,b,b,三、两点的相对位置、重影点,O,O,V,H,A,ba,a,B,b,C,d,c,dc,X,D,重影点,O,X,b(a),d,b,a,c,d(c),重影点,O,V,H,A,ba,a,B,b,C,d,c,dc,X,D,O,X,V,Z,Y,H,W,V,A,a,a,a,b,B,b,b,(),重影点,上遮下、前遮后、左遮右,当点为空间立体上的点时，其三面投影如图所示.,第二节直线的投影,A,B,a,b,C,D,c,(d),直线的投影特性,直线的投影一般仍为直线；当直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点，称其在该投影面上具有积聚性。,H,同面投影不同的几何元素在同一投影面上的投影,一、直线对投影面的各种相对位置,1.一般位置直线倾斜于三个投影面的直线2.投影面平行线仅平行于一个投影面的直线3.投影面垂直线垂直于一个投影面的直线后两类统称为特殊位置直线,直线与H、V和W三个投影面的夹角称为直线对投影面的倾角分别用、表示,b,Y,Z,a,b,b,B,A,V,a,a,X,O,H,W,1.一般位置直线的投影,（1）线段在各投影面上的投影长度小于线段的实长。（2）直线的各投影均倾斜于投影轴,2.投影面的平行线,平行于H面的直线称为水平线平行于V面的直线称为正平线平行于W面的直线称为侧平线,定义：仅平行于一个投影面的直线，称为投影面平行线。,a,b,b,Y,W,b,a,Z,Y,H,O,a,X,（1）水平线,1、ab=AB2、反映、实角3、ab/OX轴ab/OYW轴,（2）正平线,1、ab=AB2、反映、实角3、ab/OX轴ab/OZ轴,（3）侧平线,b,Y,Z,b,A,H,V,a,a,X,O,W,B,a,b,1、ab=AB2、反映、实角3、ab/OZ轴ab/OYH轴,投影面平行线在其所平行的投影面上的投影反映线段的实长；与投影轴的夹角反映直线对另两个投影面的倾角；线段的另两个投影平行于投影轴，且小于实长。,投影面平行线投影性质：,3.投影面的垂直线,分类：垂直于H面的直线称为铅垂线垂直于V面的直线称为正垂线垂直于W面的直线称为侧垂线,定义：垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直线。,O,X,a,b(a),b,a,Z,Y,H,YW,b,（1）铅垂线,b,Y,Z,a,b,B,A,H,V,a,X,O,b(a),W,（2）正垂线,（3）侧垂线,如图所示，判断立体上AB、CD、EF三直线对投影面的相对位置及空间走向。,要分析三直线的空间位置，需从三直线对投影面的投影特性考虑。1）由直线AB的三面投影可以看出，三面投影均倾斜于投影轴，所以AB为一般位置直线，而且从水平投影可知，A点在B点的右后方，从正面投影可知，A点在B点的上方，所以直线AB是从立体的右后上方指向左前下方。2）由直线CD的水平投影积聚为一点可以看出，CD为铅垂线，而且从正面投影可知，C点在B点的上方，所以直线CD是从立体的上方指向下方。3）由于直线EF的H、V两面投影均平行于对应的投影轴，所以EF为侧平线，而且从侧面投影可知，E点在F点的后上方，所以直线EF是从立体的后上方指向前下方。,O,X,a,a,V,H,A,B,b,b,C,c,c,O,X,a,a,b,b,c,c,AC:CB=ac:cb=ac:cb,CAB则cab,cab,二、属于直线的点,从属性,定比性,O,X,a,a,b,b,c,c,例3：已知线段AB的投影，试在线段上确定一点C，使AC:CB=2:3。,分析：欲将空间线段分成定比，根据上述投影特性，只需将线段的各投影分成该比即可。,k,a,O,X,a,a,b,b,Z,k,k,b,例4：已知直线AB和点K的投影，判断点K是否属于线段AB,结论：KAB,解法1,O,X,a,a,b,b,k,k,结论：KAB,解法2,三、两直线的相对位置,平行二直线相交二直线交叉二直线（异面）,H,d,c,C,b,a,A,B,D,空间两直线平行,则其在投影面上的投影平行,1.平行二直线,O,X,a,a,V,H,A,B,b,b,C,c,c,D,d,d,如图若AB/CD则ab/cdab/cd反之若ab/cdab/cd则AB/CD,若AB/CD则AB:CD=ab:cd=ab:cd=ab:cd,e,d,g,f,O,X,d,d,Z,Y,H,Y,W,e,f,g,g,f,e,例5：已知线段DE、FG的两个投影de/fg，de/fg，判断空间两线段是否平行。,结论：空间两直线不平行。,当两直线同时平行于某一投影面时，要判断它们是否平行，一般则查看该两直线在它们所平行的那个投影面上的投影是否平行。,对于一般位置直线，若两直线的两个同面投影互相平行，即可判定该两直线在空间必定相互平行。,判断两直线是否平行：,O,X,a,a,V,H,A,B,b,b,C,c,c,D,d,d,k,k,K,相交两直线的同面投影必相交，且其交点符合点的投影特性,2.相交两直线,k,k,O,X,a,a,b,b,c,c,d,d,若两直线的各同面投影相交，且投影交点符合点的投影规律则两直线在空间必为相交两直线,O,X,a,a,b,b,c,c,d,d,Z,b,a,c,d,例6：判断两直线AB、CD是否相交,结论：直线AB和CD不相交,解法1,结论：直线AB和CD不相交,解法2,20,2,2,c0,1,(1),d,O,X,a,a,b,b,c,c,d,IV,III,II,2,1,4,3,1(2),3(4),O,X,a,a,V,H,A,B,b,b,C,c,c,D,d,d,3.交叉两直线,I,4,3,3,（4),1(2),1,2,O,X,a,a,b,b,c,c,d,d,交叉两直线的各同面投影既可以表现为有一个或两个同面投影平行但绝不会有三个同面投影同时平行；又可表现为有一个、两个甚至三个同面投影相交，但即便三个同面投影都相交，其三个交点也不符合点的投影特性。,例7：作正平线CD与AB相交，且距V面15mm。,X,O,a,a,b,b,c,c,d,d,X,O,a,a,b,b,c,c,d,d,例8：作正平线CD与AB相交，且距V面15mm。,第三节平面的投影,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,一、平面的表示法1.几何元素表示法,2.迹线表示法,迹线：平面与投影面的交线,PH：平面P与H面的交线水平迹线PV：平面P与V面的交线正面迹线PW：平面P与W面的交线侧面迹线PX,Py,Pz:迹线集合点,Z,P,Y,P,X,P,W,X,O,V,H,Z,Y,P,P,V,P,W,P,H,二、平面对投影面的各种相对位置,1.一般位置平面倾斜于三个投影面的平面2.投影面垂直面仅垂直于一个投影面的平面3.投影面平行面平行于一个投影面的平面后两类统称为特殊位置平面,平面与H、V和W三个投影面的夹角称为平面对投影面的倾角分别用、表示,1.一般位置平面,不反映实形，面积缩小，是空间图形的类似形,W,c,X,O,a,a,V,H,A,B,b,b,C,c,c,a,Z,Y,b,X,O,Z,Y,W,铅垂面正垂面侧垂面,2.投影面垂直面垂直于一个投影面，与另外两个投影面都倾斜的平面。,投影面垂直面分类：,迹线表示,铅垂面：,积聚性,c,b,a,c,b,a,c,b,a,Y,W,Z,Y,H,X,O,（1）水平投影具有积聚性。（2）水平投影与OX轴的夹角，反映角；与OYH轴的交角，反映该角。（3）正面投影及侧面投影为该平面的类似形。,正垂面：,积聚性,（1）正面投影具有积聚性。（2）正面投影与OX轴的夹角，反映角；与OZ轴的夹角，反映该角。（3）水平投影及侧面投影为该平面的类似形。,侧垂面：,积聚性,类似性,类似性,（1）侧面投影具有积聚性。（2）侧面投影与OYW轴的夹角，反映角；与OZ轴的夹角，反映该角。（3）水平投影及侧面投影为该平面的类似形。,投影面垂直面投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,2)另外两个投影面上的投影有类似性,面积缩小,水平面正平面侧平面,3.投影面平行面定义：平行于一个投影面的平面。,投影面平行面分类：,水平面：,（1）水平投影反映实形。（2）正面投影和侧面投影有积聚性，分别平行于OX轴和OYW轴。,正平面：,（1）正面投影反映实形。（2）水平投影和侧面投影有积聚性，分别平行于OX轴和OZ轴。,c,b,Y,W,Y,H,Z,a,c,c,b,b,a,a,O,X,侧平面：,（1）侧面投影反映实形。（2）正面投影和水平投影有积聚性，分别平行于OZ轴和OYH轴。,投影面平行面投影特性：,1）在它所平行的投影面上的投影反映实形；,2）另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,如图所示，判断立体上两个平面对投影面的相对位置。,若点属于平面内任一直线，则此点属于该平面。,定理一：若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,三、属于平面的点和直线,定理二：若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,属于一般平面的点和直线,例9：已知点K在平面ABC上，求点K的水平投影。,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,d,例10：判断点D是否属于相交两直线AB、AC所给定的平面。,de不平行于ab，故点D不属于平面。,2.属于平面的投影面平行线,即具有投影面平行线的投影特性，又应满足属于平面的直线的几何条件。,例11：在平面ABC内作一条正平线，使其到V面的距离为20mm。,四.过点、直线作平面,一般位置平面,铅垂面（无数个）,水平面（1个）,(1)过点作平面,（2）过投影面的垂直线作平面,铅垂面,侧平面,正平面,过投影面的垂直线可以作投影面垂直面和投影面平行面,（3）过投影面的平行线作平面,一般位置平面,铅垂面,水平面,过投影面的平行线可以作一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面,（4）过一般位置直线作平面,一般位置平面,铅垂面,正垂面,过一般位置直线可以作一般位置平面和投影面垂直面,五、特殊位置圆的投影,圆是最简单的平面曲线，根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其正投影有如下三种情况：投影面平行圆；投影面垂直圆；一般位置圆。,当圆所在平面为投影面平行面时，圆在所平行的投影面上的投影反映该圆的实形。在另一投影面上的投影为直线，线段的长度等于圆的直径。,1.圆所在平面为投影面平行面,2.圆所在平面为投影面垂直面,当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。,第四节直线与平面的相对位置和两平面的相对位置,直线与平面平行的作图原理：,P,A,B,C,D,直线AB平行于平面P内直线CD,则直线AB平行于平面P。,一、直线与平面平行和两平面平行,1.直线与平面平行,例12：判断直线MN与平面ABC是否平行,c,c,b,a,a,X,O,d,m,n,d,m,n,b,mn平行于ad，mn不平行于ad,则直线MN与平面ABC不平行,O,d,c,b,a,d,c,b,a,X,e,f,e,f,例13：过点E作水平线与平面ABC平行,F,E,D,C,B,A,P,Q,2.平面与平面平行,若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行。,平面P内直线AB与BC分别平行于平面Q内直线DE和EF,则平面P平行于平面Q。,f,e,f,O,d,c,b,a,d,c,b,a,e,X,h,g,h,g,例14：判断平面ABC与平面DEF是否平行,结论：平面ABC与平面DEF平行,O,n,m,d,c,b,a,n,m,d,c,b,a,X,k,k,例15：过点K作给定平面的平行面,f,e,f,e,d,c,b,a,d,c,b,a,P,H,Q,H,X,O,O,X,3.特殊位置平面平行,二、直线与平面相交和两平面相交,1.共有点、共有线的问题。2.遮挡问题，（可见性的分析）,解决2个问题：,1.直线与平面相交,直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。,2.平面与平面相交,两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面的共有线,几何元素相对投影面的位置,均不具有积聚性投影,至少其一具有积聚性投影,一般位置的相交问题,特殊位置的相交问题,k,k,H,N,M,K,B,C,A,n,n,m,m,c,c,b,b,a,a,n,n,m,m,c,b,a,a,V,k,k,b,O,O,X,X,1.一般位置直线和特殊位置平面相交,（一）特殊位置的相交问题,k,k,n,m,n,m,P,H,O,X,投影面垂直面用迹线表示,2.投影面垂直线与一般位置平面相交,k,n,m,d,c,b,a,m,d,c,b,a,(k),(n),O,X,3.投影面垂直线与特殊位置平面相交,k,m,c,b,a,n,m,c,b,a,(n),(k),O,X,k1,H,V,F,E,D,C,B,A,f,f,e,f,e,d,d,c,c,b,b,a,a,d,c,b,a,O,O,X,X,k1,k2,K1,K2,k1,k2,k2,4.一般位置平面与投影面垂直面相交:求作平面ABC与平面DEF相交,5.两特殊位置平面相交,k,1,k,2,c,b,a,c,b,a,P,V,k,1,(k,2,),O,X,三、直线与平面垂直和两平面垂直,1.直线与平面垂直,P,N,M,H,G,F,E,D,C,B,A,定理：若一直线垂直于平面内的两相交直线，则直线与该平面垂直；又若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。,n,m,c,b,a,n,m,c,b,a,X,O,若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。,若一直线的水平投影垂直于属于该平面的水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于属于该平面的正平线的正面投影，则直线与平面垂直。,例16：判断直线MN是否垂直于平面ABC,n,m,d,c,b,a,n,m,d,c,b,a,X,O,结论：直线MN不垂直于平面ABC,2两平面垂直,N,M,II,I,N,M,II,I,M,N,P,R,2,R,1,两平面垂直的原理,例19：过点K作平面ABC的垂直面,k,k,n,m,c,b,a,n,m,c,b,a,1,2,1,2,X,O,例20：判断平面ABC和平面DEF是否垂直,g,f,e,f,e,d,c,b,a,d,c,b,a,1,1,g,X,O,结论：平面ABC和平面DEF不垂直,3.特殊位置直线与平面、两平面垂直,k,f,e,d,c,b,a,a,d,d,c,c,b,b,a,a,a,P,V,k,k,k,a(b),d(c),e(f),X,X,X,O,O,O,(),过A作平面P的垂线,过面ABC上点K作平面的垂线,作平面与面ABCD垂直，并交于直线CD,第五节换面法,一、换面法的基本概念,V,A,C,B,H,X,a,b,c,a(c),O,b,a,c,b,X,V1,O1,X1,A,C,B,H,X,a(c),O,b,a,c,b,X,V,新投影面选择必须符合两个条件：1）新投影面必须和空间几何元素处于有利于解题的位置。2）新投影面必须垂直于原投影体系中某一投影面。,二、点的投影变换规律,ax,A,a,a,H,V,X,a,a,ax,H,V,X,ax1,ax,A,a,a,H,V,X,a,a,ax,H,V,X,a1,二、点的投影变换规律,点的投影变换规律：（1）点的新投影与不变投影的连线必垂直于新投影轴；（2）点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的旧投影到旧投影轴的距离。,O,a,a,ax,H,V,X,ax,A1,a,a,H,V,X,O,1.点的一次变换（换V面）,V1,a,a,ax,H,V,X,ax,A1,a,a,H,V,X,a1,aX1,O,O,1.点的一次变换（换V面）,2.点的两次变换,a,a,ax,H,V,X,V1,ax,A,a,a,V,X,H,X1,a,a,ax,H,V,X,a1,ax1,ax,A,a,a,V,X,H,X1,a2,2.点的两次变换,必须指出：在多次变换投影面时，新投影面的选择除必须符合前述的两个条件外，还必须是一个投影面变换完以后，在新的投影面体系中交替地再变换另一个投影面。,1.把一般位置直线变为投影面平行线；2.把一般位置直线变为投影面垂直线；3.把一般位置平面变为投影面垂直面；4.把一般位置平面变为投影面平行面。,三、四个基本作图问题,a,H,V,b1,a1,b,b,a,1.一般位置直线变为投影面的平行线,X,b,H,A,V,B,a,b,a,V1,X1,a1,b1,求需变换V面，求需变换H面,O,a1,(b1),b,a,b,B,b,