第三章-计算机控制系统的数学描述2差分方程-脉冲传递函数

1、差分方程的一般形式系统的输出Z传递函数与系统输入Z传递函数之比，当初始条件为零时，称为系统的Z传递函数。一般可表示为,利用Z变换基本性质中延迟移位定理，可写成差分方程,一般形式为：（3.25）,若系统的Z传递函数写成超前形式,当初始条件为零时,2、差分方程的求解,（1）迭代法若看作数学问题求解，需考虑初始条件。例3.8已知差分方程为设初始条件，求。,解：将差分方程式写成递推形式令，则设故,令继续令k=3,4,-，可求出k为任何整数时的输出。迭代法的缺点，难以写出通式。,（2）Z变换法在求解数学问题时，采用Z变换法也需考虑初始条件。在利用Z变换的左移定理时，即,例3.9用Z变换法解以下差分方程初始条件为，。,3.3脉冲传递函数,1、脉冲传递函数（Z传递函数）的定义在初始条件为零时，系统输出Z传递函数与输入Z传递函数之比，称为系统的脉冲传递函数，与连续系统一样，它仅取决于系统本身的结构参数，与输入信号无关。（3.26）,若已知系统的脉冲传递函数，系统输出的Z传递函数为（3.27）上述关系，如图3.2所示,输入信号经采样后为，其Z变换为，但其输出为连续信号，为了用脉冲传递函数表示，可在输出端虚设一个与输入开关同步的采样开关，如图3.2（b）所示，这样系统变成了离散系统。,脉冲传递函数的求法：,对做拉氏反变换，求得脉冲响应。对采样，求得采样信号（离散系统脉冲响应）。对采样信号进行拉氏变换，得以上3式均可通用。,2、差分方程与脉冲传递函数,已知差分方程为或,延后形式：,超前形式：,如果差分方程为,如果差分方程为,并设所有初始条件均为零，得,3、开环脉冲传递函数,（a）连续输入与连续输出（3.28）（b）连续输入与采样输出（3.29）星号交换原则1：等号两边都取星号，即（3.30）（c）采样输入与采样输出星号交换原则2：等号两边都取星号，对已有星号的可以移出括号之外，注意,（d）采样输入与连续输出（3.31）注意，此时中包含有零阶保持环节。,第2种、第4种情况，只能写出输出的表达式，不能写出它的脉冲传递函数。只有当输入信号和输出信号均有采样开关，即它们均为离散信号时，才能写出它们之间的脉冲传递函数。能否得到脉冲传递函数，与采样开关的设置有关，也与观察的角度有关。,（2）串联环节的脉冲传递函数,对第1种情况：,类似，几个环节串联，且它们之间均有采样开关隔开，则可得,对第2种情况，两个连续环节之间无采样开关，这样在输入与输出两个采样开关之间的连续函数为，可看作一个独立环节。类似，对几个无采样开关串联连接的情况，,这一点可通过实例说明：,设:，,注意：,（3）有零阶保持环节时的开环脉冲传递函数,实际上，采样信号要加到一个连续环节上时，一定要通过零阶保持环节。对计算机系统来说，计算机输出一定要通过D/A变换器（即零阶保持环节）。,什么是零阶保持环节？即保持一个采样周期的采样信号，如图3.6所示。,其中为单位阶跃信号,（4）并联环节的脉冲传递函数,对图（a）,对图（b）,结论：采样开关的位置可以等效移动,4闭环系统的脉冲传递函数,求取闭环系统脉冲传递函数时，应注意2点：（a）两个相邻采样开关之间的环节，为一个独立环节；（b）若闭环系统的输入信号未被采样（误差信号被采样除外），则整个闭环系统的脉冲传递函数将写不出来。,求图3.8所示系统的闭环脉冲传递函数,解：,闭环系统脉冲传递函数,分子是与之间是所有独立环节Z变换的乘积，分母是1加闭环回路所有独立环节Z变换的乘积（这里只有一个独立环节），这是求闭环系统的一种方法。,星号变换方法：,例3.10试推导图3.9所示系统的闭环脉冲传递函数,注意几点：输入也作为一个连续环节看待。若存在(被采样)，则公式（3.32）可写出闭环系统的脉冲传递函数，否则，就写不出来。,结论：闭环系统的输出Z变换可按以下公式写出：,（3.32）,星号变换方法：,（a）只考虑时（3.33）其中（3.34）,（b）只考虑时（3.35）（3.36）从上式可见，和作用点不同，产生的输出响应也不同，但它们的分母是相同的。因为它们作用在同一回路，所以闭环系统的特征方程式是相同的。,用“星号”变换方法求解,两边取“星号”，得,代入后，得这样