湖南大学第四章习题解答1

第四章习题解答 1、判断下列集合关于指定的运算是否构成半群，独异点和群。 (1) a是实数，G=an|n是整数，运算是普通的乘法。 解：封闭性：满足，因为在G中任取二个元素x与y，则x=an ,y=am ，则xy= anam = am+n仍是a的整数次方，即仍是G中的元素。 结合律：满足，因为在G 中任取三个元素x 、y与z ，则x=an ,y=am，z=ap ，则三个元素相乘的结果(xy)z= x(yz)=am+n+p ，满足可结合性。 单位元：存在单位元e=a0，因为对G中任一元素x=an ,有 xe=ex=x. 任一元素x=an有逆元x-1=a-n, 因为 an a-n = a-n an = a0=e . G满足群的全部四个条件，所以G是群。 (2) Q*为正有理数，运算是普通的乘法。 解：封闭性：满足，因为任意两个正有理数的乘积仍是正有理数。 结合律：满足。因为已知任何数对乘法均满足结合律，故正有理数当然也满足。 存在单位元e=1，1 是正有理数。 任一元素逆元的存在性：任取正有理数a=m/n，m与n都是正整数，则其逆元a-1=n/m仍为正有理数. Q*满足群的全部四个条件，所以Q*是群。 (3) Q*为正有理数，运算是普通的加法。 解：封闭性：满足，因为任意两个正有理数相加结果仍是正有理数。 结合律：满足。因为已知任何数对加法均满足结合律，故正有理数当然也满足。 单位元：数的加法若存在单位元，则单位元必是0。但0不是正有理数，故Q*对加法不存在单位元。 逆元：没有单位元，则更没有逆元。 综上所述，Q*对加法是半群。 (4) 一元实系数多项式的集合关于多项式的加法 解：封闭性：满足，因为任意两个多项式相加是系数相加，实系数相加仍是实系数，故仍为实系数多项式。 结合律：满足。因为任意三个多项式相加，实际上是系数相加，实数相加仍是满足结合律。 单位元：存在单位元0(各项系数均为0 的多项式)，因为对任一实系数多项式f(x), 有0+f(x) = f(x)+0 = f(x)。 任一实系数多项式f(x)的逆元就是-f(x)，因为 f(x)+(-f(x) = (-f(x)+ f(x) = 0. (5) 一元实系数多项式的集合关于多项的乘法 解：封闭性：满足。因为多项式相乘是实系数相乘，指数相加，结果仍是实系数，故仍为实系数多项式。 结合律：满足。因为任意三个多项式相乘，是系数相乘后再相加，指数相加，满足可结合性。 单位元：存在单位元1（除常数项外其它项系数均为0的多项式），因为对任一实系数多项式f(x), 有 1f(x)=f(x)1=f(x)。 逆元：除非零实数这样的特殊多项式外，一般实多项式不存在逆元。因为若多项式f(x)存在逆元g(x), 则 f(x)g(x)=1： 当g(x)0时, 此式不成立；当g(x)0且f(x)不是常数时, f(x)g(x)是一个次数不低于f(x)次数的多项式，绝不会有f(x)g(x)=1.因此这是一个独异点。 2、在实数R 中定义二元运算*：a*b=a+b+ab，证明构成独异点，但不是群。 证： 封闭性：任取实数a ,b，则(a+b)+ab 也是实数，故满足封闭性。 结合律：任取三个实数a,b,c，则(a*b)*c=(a+b+ab)*c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c= a+b+c+ab+ac+bc+abc a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc 故(a*b)*c= a*(b*c)，所以满足可结合律。 单位元：如果存在单位元e, 则有a*e=e*a=a，即a+e+ae=e+a+ea=a，故e+ea=0， e(1+a)=0，而a 是任意的，要使上式成立，必须有e=0。由于e=0满足a+e+ae=e+a+ea=a，即a*e=e*a=a，故0 为单位元。 逆元：若实数a存在逆元x, 则a*x=e，即a*x=0，即a+x+ax=0，则(1+a)x=-a. 要使此方程有解，必须要求a+1 0，此时才有逆元。换言之，a=-1没有逆元，因此并不是所有的实数都有逆元。 所以，构成独异点，但不构成群。 3、S=a,b,c，S 上的*运算定义为：x*y=x，证明S 关于*构成半群，但不构成独异点。 证明： 封闭性：任取S中元素x,y，则x*y=x 仍是S中元素，故满足封闭性。结合律：满足。因为任取S中元素x,y,z，由(x*y)*z=x*z=x，而x*(y*z)= x*y=x，故(x*y)*z= x*(y*z). 单位元： 若存在单位元e，则对S的任一元素x 有x*e=e*x=x。由e*x=x知e=x, 即x=e。这是不可能的，因为x是任意的，而e是一固定元素，除非集合中只有一个元素。所以不可能含有单位元。S 关于*只能构成半群，不能构成独异点。 4、设V=是半群，且a*a=b，证明：(a) a*b=b*a，(b) b*b=b 。证明： (a) 因为半群满足结合律，故有 a*(a*a)=(a*a)*a，由已知条件即有 a*b=b*a 。 (b) 因为半群满足封闭性，故a*b=a或a*b=b。 当a*b=a 时，有 a*(a*b)=a*a，故(a*a)*b=a*a，即b*b=b； 当a*b=b 时，有a*(a*b)=a*b，故(a*a)*b=a*b，即b*b=b 。 5、设Z 是整数集合，在Z 上定义二元运算为：xy=x+y-2，是否构成群？ 解：封闭性：对任意整数x,y, 有xy=x+y-2 仍是整数，故封闭。 结合律：对任意的x,y,zZ:(xy) z=(xy)+z-2=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 , x (yz)=x+(yz)-2=x+(y+z-2)-2=x+y+z-4 , 有 (xy) z= x (yz)，故满足结合律。 单位元：若e为单位元，则对任一Z中元素x有 xe= ex=x，即x+e-2=e+x-2=x，故e=2。 逆元：对Z中任一元素x, 设x的逆元为y, 则 xy=yx=e，即x+y-2=y+x-2=2，故x+y-2=2，y=4-x。所以 x-1=4-x. 故Z关于此运算构成群。 6、设G=是15 阶群循环群，(1)求G 的所有生成元，(2)求出G 的所有子群。 解：G= e, a1, a2, a14 . (1) 由定理10.11 可知，对n阶循环群，若k与n互素且1kn，则ak是G的生成元。 本题中n=15，故G=的全部生成元为a1, a2, a4, a7, a8, a1