江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题（解析版）

江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题20206第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1若集合A，B，且ABm，则实数m的值为 2已知i为虚数单位，复数z满足z(3i)10，则的值为 3从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为 4如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为0，50)，50，100)，100，150)，150，200)，200，250 若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为 天5执行如图所示的流程图，输出k的值为 第4题 第5题6若双曲线(a0，b0)的渐近线为，则其离心率的值为 7若三棱柱ABCA1B1C1的体积为12，点P为棱AA1上一点，则四棱锥PBCC1B1的体积为 8“2”是“函数的图象关于点(，0)对称”的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）9在ABC中，CB，ABAC，则tanB的值为 10若数列的前n项和为，则的值为 11若集合P，Q，则PQ表示的曲线的长度为 12若函数的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的最大值是 13在ABC中，AB10，AC15，A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若90，则的值是 14若实数x，y满足4x24xy7y2l，则7x24xy4y2的最小值是 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）若函数(M0，0，0)的最小值是2，最小正周期是2，且图象经过点N(，1)（1）求的解析式；（2）在ABC中，若，求cosC的值16（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PCBC，点E是PC的中点，且平面 PBC平面ABCD求证：（1）求证：PA平面BDE；（2）求证：平面PAC平面BDE17（本小题满分14分）如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为 10千米现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN（M，N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A，B分别在l1，l2上）为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值（所有道路宽度忽略不计）18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C：(ab0)的短轴长为2，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过点F2的动直线与椭圆交于点P，Q，过点F2与PQ垂直的直线与椭圆C交于A、B两点当直线AB过原点时，PF13PF2（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH，QH，AH，BH的斜率依次为，若，求直线PQ的斜率；求的最小值19（本小题满分16分）如果存在常数k使得无穷数列满足恒成立，则称为P(k)数列（1）若数列是P(1)数列，求；（2）若等差数列是P(2)数列，求数列的通项公式；（3）是否存在P(k)数列，使得，是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列；若不存在，请说明理由20（本小题满分16分）设函数（1）若a0时，求函数的单调递增区间；（2）若函数在x1时取极大值，求实数a的取值范围；（3）设函数的零点个数为m，试求m的最大值第II卷（附加题，共40分）21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换已知矩阵A，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量B选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l：（m为实数），曲线C：，当直线l被曲线C截得的弦长取得最大值时，求实数m的值C选修45：不等式选讲已知实数x，y，z满足，求的最小值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，抛物线C：(p0)的焦点为F，过点P(2，0)作直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时AB的长为（1）求抛物线的方程；（2）若APF与BPO的面积相等，求直线l的方程23（本小题满分10分）若有穷数列共有k项(k2)，且，当1rk1时恒成立设（1）求，；（2）求江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题20206第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1若集合A，B，且ABm，则实数m的值为 答案：1考点：集合交集运算解析：集合A，B，且ABm， 实数m的值为12已知i为虚数单位，复数z满足z(3i)10，则的值为 答案：考点：复数解析：3从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为 答案：考点：随机事件的概率解析：4如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为0，50)，50，100)，100，150)，150，200)，200，250 若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为 天 答案：12考点：频率分布直方图解析：5执行如图所示的流程图，输出k的值为 答案：4考点：程序框图解析：第一次：S3，k2； 第二次：S9，k3； 第三次：S18，k4；1816，故输出的k的值为46若双曲线(a0，b0)的渐近线为，则其离心率的值为 答案：考点：双曲线的简单性质解析：根据渐近线可判断，从而，由，即，7若三棱柱ABCA1B1C1的体积为12，点P为棱AA1上一点，则四棱锥PBCC1B1的体积为 答案：8考点：棱柱棱锥的体积解析： 8“2”是“函数的图象关于点(，0)对称”的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）答案：充分不必要考点：充要性解析：当2，故此时的图象关于点(，0)对称， 而当的图象关于点(，0)对称，则，kZ， 故“2”是“函数的图象关于点(，0)对称”的充分不必要条件9在ABC中，CB，ABAC，则tanB的值为 答案：2考点：正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数关系式解析：由ABAC，得， ，化简得， 所以tanB的值为210若数列的前n项和为，则的值为 答案：299考点：数列的求和方法解析：， 11若集合P，Q，则PQ表示的曲线的长度为 答案：考点：直线与圆解析：，作出两曲线图像如下：此时PQ表示的曲线长度为图中半圆去掉劣弧AB部分，直线与圆心的距离，且r2，ACB120，曲线长度为：12若函数的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的最大值是 答案：考点：函数与方程解析：题目可转化为函数与图像在第一象限内有两个交点， ， 令 实数m的最大值是13在ABC中，AB10，AC15，A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若90，则的值是 答案：考点：平面向量的数量积解析：由角平分线定理可知 14若实数x，y满足4x24xy7y2l，则7x24xy4y2的最小值是 答案：考点：不等式解析：， 当x0，原式的值为， 当x0，令 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）若函数(M0，0，0)的最小值是2，最小正周期是2，且图象经过点N(，1)（1）求的解析式；（2）在ABC中，若，求cosC的值解：（1）因为的最小值是2，所以M2因为的最小正周期是2p，所以w1，又由的图象经过点(，1)，可得， 所以或，kZ，又0，所以，故，即（2）由（1）知，又，故，即， 又因为ABC中，A，B(0，p)，所以，所以cosCcosp(AB)cos(AB)(cosAcosBsin AsinB) 16（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PCBC，点E是PC的中点，且平面 PBC平面ABCD求证：（1）求证：PA平面BDE；（2）求证：平面PAC平面BDE证明：（1）设ACBDO，连结OE，因为底面ABCD是菱形，故O为BD中点，又因为点E是PC的中点，所以AP/OE，又因为OE平面BDE，AP平面BDE，所以AP/平面BDE （2）因为平面PBC平面ABCD，PCBC，平面PBC平面ABCDBC，PC平面 PBC，所以PC平面ABCD又BD平面ABCD，所以PCBD，ABCD是菱形，ACBD，又PCBD，ACPCC，AC平面PAC，PC平面PAC，所以BD平面PAC又BD平面BDE，所以平面PAC平面BDE 17（本小题满分14分）如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为 10千米现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN（M，N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A，B分别在l1，l2上）为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值（所有道路宽度忽略不计）解：连接CM，设PCMq，则PC，PMPNtanq， OPOCPC10，AB2OP20，设新建的道路长度之和为，则由1PC10得q1，设，(0，)， 则(0，令得设，(0，q，的情况如下表：(0，)(，)0单调递增单调递减由表可知时有最大值，此时，答：新建道路长度之和的最大值为千米18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C：(ab0)的短轴长为2，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过点F2的动直线与椭圆交于点P，Q，过点F2与PQ垂直的直线与椭圆C交于A、B两点当直线AB过原点时，PF13PF2（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH，QH，AH，BH的斜率依次为，若，求直线PQ的斜率；求的最小值解：（1）因为椭圆C：(ab0)的短轴长为2，所以b1，当直线AB过原点时，PQx轴，所以PF1F2为直角三角形，由定义知PF1PF22a，而PF13PF2，故，由得，化简得a22，故椭圆的方程为（2）设直线PQ：，代入到椭圆方程得：， 设P(，)，Q(，)，则， 所以，化简可得，解得：或，即为直线PQ的斜率当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，当两条直线与坐标轴都不垂直时，由知，同理可得故，当且仅当即k1时取等号综上，的最小值为19（本小题满分16分）如果存在常数k使得无穷数列满足恒成立，则称为P(k)数列（1）若数列是P(1)数列，求；（2）若等差数列是P(2)数列，求数列的通项公式；（3）是否存在P(k)数列，使得，是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列；若不存在，请说明理由解：（1）由数列是P(1)数列得，可得；（2）由是P(2)数列知恒成立，取m1得恒成立，当，时满足题意，此时，当时，由可得，取mn2得，设公差为d，则解得或者， 综上，或或，经检验均合题意 （3）假设存在满足条件的P(k)数列，不妨设该等比数列，的公比为q，则有，可得，可得 综上可得q1，故，代入得，则当n 2020时，又，当1n2020时，不妨设，且i为奇数，由，而，所以，综上，满足条件的P(k)数列有无穷多个，其通项公式为20（本小题满分16分）设函数（1）若a0时，求函数的单调递增区间；（2）若函数在x1时取极大值，求实数a的取值范围；（3）设函数的零点个数为m，试求m的最大值解：（1）当a0时，所以由得x1，当x(0，1)时，0；当x(1，+)时，0，所以函数的单调增区间为(1，+)（2）由题意得，令(x0)，则，当0即时，0恒成立，得在(0，1)上递减，在(1，+) 上递增，所以x1是函数的极小值点；当即时，此时0恒成立，在(0，1)上递减，在(1，+) 上递增，所以x1是函数的极小值点；当即或时，易得在(0，1)上递减，在(1，+) 上递增，所以x1是函数的极小值点；当时，解得或（舍），当时，设的两个零点为，所以1，不妨设0，又，所以01，故，当x(0，)时，0；当x(，1)时，0；当x(1，)时，0；当x(，+)时，0；在(0，)上递减，在(，1)上递增，在(1，)上递减，在(，+)上递增；所以x1是函数极大值点，综上所述 （3）由（2）知当时，函数在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，故函数至多有两个零点，欲使有两个零点，需，得， 此时， 当ae时，此时函数在(0，1)上恰有1个零点；又当x2时，由（1）知在(1，+)上单调递增，所以，故此时函数在(1，+)恰有1个零点；由此可知当ae时，函数有两个零点当时，由（2）知在(0，)上递减，在(，1)上递增，在(1，)上递减，在(，+)上递增；而01，所以，此时函数也至多有两个零点综上所述，函数的零点个数m的最大值为2第II卷（附加题，共40分）21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换已知矩阵A，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量解：由题意知，所以，即，所以矩阵A的特征多项式， 由，解得或，当时，令x1，则y1，所以矩阵A的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为B选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l：（m为实数）