求线面角的三种常见思路方法

求线面角的三种常见思路方法 舒云水 本文以2009年湖南卷理18题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析如图1，在正三棱柱中，点D是的中点，点E在上，且（I）证明：平面平面；（II）求直线AD和平面所成角的正弦值 （）证明略下面主要谈（）小题的解法思路1：直接作出线面角求解分析：因为本题几何图形是特殊的几何体正三棱柱，点 在特殊位置上线段的中点，所以本题比较容易作出线面角如图2，取的中点，连结，则面面，过作于，则面，连结，则是和平面所成的角解法1 如图2，设是的中点，连结，由正三棱柱的性质及是的中点知，又，所以平面而，所以平面又平面，故平面平面过点作垂直于点，则平面连结，则是直线和平面所成的角由已知，不妨设，则，所以即直线AD和平面所成角的正弦值为思路2：用等体积法求出点到面的距离，为所求线面角的正弦值分析 如图3，连结，即得四棱锥用等体积法，即，容易求出点到平面的距离，为所求线面角的正弦值解法2：如图3，连结，因为平面平面， ，所以平面不妨设，则，=.易求，设在平面内的射影为，连结，则是直线和平面所成的角因为，所以有 ， ， 所以即直线AD和平面所成角的正弦值为思路3：坐标向量法解法3 如图4，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则，相关各点的坐标分别是，易知=（，1，0），=（0，2，），=设平面的一个法向量为（x，y，z），则有解得，故可取所以由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为评析：上题图形比较特殊，容易作出线面角，三种方法中解法1解法最简洁，解法1是首选上题容易建立空间直角坐标系，容易求点的坐标，解法3也是不错的选择方法2相对来说计算稍复杂一些，是最后的选择下面对上题的“小题”作两种变式，并对三种解法作比较评析变式1：如图5，将题设条件“点D是的中点”改为“点D是棱上一点，”，其他不变解法1：如图6，分别取，的中点，设与交与点，在上取点，使，连结，易证，又，所以平面，又平面，所以平面平面，过作于，则平面，连结，则是直线和平面所成的角不妨设，则，即直线AD和平面所成角的正弦值为 解法2：如图7，连结，取的中点，连结，则，平面不妨设，则，易求，设在平面内的射影为，连结，则是直线和平面所成的角因为，所以有 ， ， 所以即直线AD和平面所成角的正弦值为解法3：如图8，同原题解法3建立空间直角坐标系，设，点，及平面的法向量的坐标同前面解法3不同的是： ，= 所以由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为评析：与原题解法1比较，变式1的解法1的作图与运算明显要复杂一些比较变式1的三种解法，解法2和解法3比解法1要简单一些，解法1是最后的选择 变式2：原题题设不变，将结论改为“求直线和平面所成角的正弦值” 解法1：点不是特殊点，它在平面内的射影不好定位可利用垂面法，作出点在平面内的射影如图9，过作于，在平面内过作交于，连结，则平面，又平面，所以平面平面再过作于，则平面，连结，则是直线和平面所成的角这样虽然作出了线面角，但要求出运算很复杂，决定放弃此法解法2：如图10，不妨设，则， ， ， 取的中点，连结，易知平面，易求，设在平面内的射影为，连结，则是直线和平面所成的角因为，所以有 ， ， 所以即直线和平面所成角的正弦值为解法3：如图4，同原题解法3建立空间直角坐标系，设，点，及平面的法向量的坐标同原题解法3不同的是： ，= 所以由此即知，直线和平面所成角的正弦值为评析：解法1的作图与运算很复杂，不可取选择解法2和解法3比较合适综观原题与它们的两种变式的三种解法，各有千秋，都应掌握好.对于一道具体的题目来说究竟选择哪一种方法更好？具体问题具体分析，需要根据题目所给的图形特征来确定：若几何体容易作出线面角，解法1是最佳选择；若几何体不容易作出