2011届高考数学第一轮复习课件之等差数列.ppt

第2课时等差数列,1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的，通常用表示，其符号语言为：(n2，d为常数),基础知识梳理,同一个常数,anan1d,公差,d,2等差数列的通项公式若等差数列an的首项为a1，公差是d，则其通项公式为.,基础知识梳理,ana1(n1)d,已知等差数列an的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？【思考提示】能，anam(nm)d.,基础知识梳理,思考？,3等差中项如果三个数a，A，b成，则A叫做a和b的等差中项，且有A.,基础知识梳理,等差数列,4等差数列的前n项和公式Sn.,基础知识梳理,答案：B,三基能力强化,2an是首项a11，公差d3的等差数列，若an292，则序号n等于()A98B99C100D101答案：A,三基能力强化,3在等差数列an中，a3a214，则其前23项的和为()A10B12C46D52答案：C,三基能力强化,三基能力强化,解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，,三基能力强化,答案：9,三基能力强化,5(教材习题改编)已知an为等差数列，a3a822，a67，则a5_.答案：15,证明一个数列an是等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明an1and(nN*)，二是利用等差中项法，即证明：an2an2an1(nN*)在,课堂互动讲练,选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法,课堂互动讲练,课堂互动讲练,已知数列an的通项公式anpn2qn(p、qR且p、q为常数)(1)当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列；(2)求证：对任意实数p和q，数列an1an是等差数列,【思路点拨】由等差数列的定义知an是等差数列的充要条件是an1an是一个与n无关的常数【解】(1)an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq.要使an是等差数列，则2pnpq应是一个与n无关的常数，只有2p0，即p0.故当p0时，数列an是等差数列,课堂互动讲练,(2)证明：an1an2pnpq，an2an12p(n1)pq.而(an2an1)(an1an)2p为一个常数，an1an是等差数列【误区警示】在(2)中，要证明(an2an1)(an1an)是一个与n无关的常数，而不是证an1an是一个常数,课堂互动讲练,课堂互动讲练,2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法,课堂互动讲练,课堂互动讲练,已知等差数列an中，a1533，a61217，试探究153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？若不是，说明理由,【思路点拨】求出通项公式，将153代入判断【解】设等差数列an的首项为a1，公差为d，则ana1(n1)d.,课堂互动讲练,an23(n1)44n27.令an153，即4n27153，n45.153是等差数列的项，是第45项,课堂互动讲练,【名师点评】在等差数列的五个基本量a1，d，an，Sn，n中，“知三求二”是一种基本运算，一般方法是利用通项公式和前n项和公式，通过列方程组求解判断是否是数列中的项的问题，一般有两种解法：一是对所要判断的式子进行变形，看其是否与通项公式一致；二是假设其是数列的项，列出等式解出n，看所解出的n是否为正整数,课堂互动讲练,若题目条件不变，设p，qN*.试判断apaq是否仍为数列an中的项，并说明理由解：因an4n27.apaq(4p27)(4q27)16pq108(pq)27244pq27(pq)18927，4pq27(pq)189N*，apaq仍为数列an中的项,课堂互动讲练,互动探究,已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)若mnpq，则amanapaq.若mn2p，则aman2ap.(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.,课堂互动讲练,(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(4)S2n1(2n1)an.若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)(6)数列can，can，panqbn也是等差数列，其中c、p、q均为常数，bn是等差数列,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(1)设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n及a9a10；(2)等差数列an、bn的前n项和分别,【思路点拨】(1)可利用前6项与后6项的和及等差数列的性质求出a1an的值，然后利用前n项和公式求出项数n.(2)可利用中项公式求解,课堂互动讲练,【解】(1)由题意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36.,课堂互动讲练,18n324.n18.a1a1836.a9a10a1a1836.,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【名师点评】(1)中解法运用了倒序求和的方法和等差数列的性质，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；(2)小题中，直接得出Sn(3n1)k，Tn(2n3)k，然后求a8，b8.这种做法是错误的,课堂互动讲练,求等差数列前n项和Sn的最值问题，主要有以下方法：(1)二次函数法：将Sn看作关于n的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合，使问题得解；(2)通项公式法：求使an0(或an0)成立的最大n值即可得Sn的最大(或最小)值；,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(解题示范)(本题满分12分)在等差数列an中，(1)若a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn最大，并求出它的最大值；(2)若a10，S9S12，则该数列前多少项的和最小？,【思路点拨】我们可以通过分析数列中各项的正、负号确定前多少项的和最大，也可以利用二次函数求最大值,课堂互动讲练,【解】(1)由a120，S10S15，S10S15，S15S10a11a12a13a14a150.3分a11a15a12a142a13，a130.公差d0，a10，,课堂互动讲练,a1，a2，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数当n12或n13时，Sn有最大值为S12S13130.6分,课堂互动讲练,(2)设数列an的公差为d，则由题意得即3a130d，a110d.8分a10，d0.,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(本题满分12分)设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(1)若a110，S1498，求数列an的通项公式；(2)若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式,课堂互动讲练,高考检阅,解：(1)由S1498得2a113d14，又a11a110d0，故解得d2，a120.2分因此，an的通项公式是an222n，n1,2,3，.5分,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,又dZ，故d1.将代入得10a112.11分又a1Z，故a111或a112.所以，所有可能的数列an的通项公式是an12n和an13n，n1,2,