线性方程组解题归纳

.,线性方程组解题方法技巧与题型归纳,.,题型一线性方程组解的基本概念,1.如果1、2是下面方程组的两个不同的解向量，则a的取值如何？,.,解：因为1、2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)=r(Ab)3，对增广矩阵进行初等行变换易见仅当a=-2时，r(A)=r(Ab)=23，故知a=-2。,.,2.设A是秩为3的54矩阵，1、2、3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若1+2+23=（2，0，0，0）T,31+2=（2，4，6，8）T,求方程组Ax=b的通解。,.,解:因为r(A)=3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4-r(A)=1个向量构成，又因为（1+2+23）-（31+2）=2（3-1）=（0，-4，-6，-8）T,是Ax=0的解，即其基础解系可以是（0，2，3，4）T,由A（1+2+23）=A1+A2+2A3=4b知1/4（1+2+23）是Ax=b的一个解，故Ax=b的通解是,.,3.已知1=（-9，1，2，11）T，2=（1，-5，13，0）T，3=（-7，-9，24，11）T是方程组的三个解，求此方程组的通解。,.,分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。解：A是34矩阵，r(A)3，由于A中第2，3两行不成比例，故r(A)2，又因为1=1-2=（-10，6，-11，11）T,2=2-3=(8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关的解向量，于是4-r(A)2，因此r(A)=2，所以1+k11+k22是通解。,.,总结：不要花时间去求方程组，太繁琐，由于1-2，1-3或3-1，3-2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，1，2，3都是特解，此类题答案不唯一。,.,题型2线性方程组求解,4.矩阵B的各行向量都是方程组的解向量，问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系？若不能，这4个行向量是多了还是少了？若多了如何去掉，少了如何补充？,.,解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量1=（1，-2，1，0，0）T,2=(1,-2,0,1,0)T,B3=(5,-6,0,0,1)T,B矩阵的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2，B中线性无关的行向量只有1，2行，故B中4个行向量不能构成基础解系，需增补3。,.,1.参数取哪些值时使r(A)r(Ab)，方程组无解；2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)n，方程组有无穷多解；（2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n，方程组有唯一解。,题型3含参数的线性方程组解的讨论,.,一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换求解；二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组，用下面两种方法求解：1.初等行变换法2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯一解，可用克莱姆法则求之；系数行列式为0时，用初等行变换进行讨论。,.,5.设线性方程组（1）证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则线性方程组无解；（2）设a1=a3=k，a2=a4=-k(k0)，且已知1=（-1，1，1）T，2=（1，1，-1）T是该方程组的两个解，写出该方程组的通解。,.,解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无解。（2）当a1=a3=k，a2=a4=-k时，原方程组化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，2-1=（-2，0，2）T,是对应导出组的非零解，即为其基础解系，故非齐次组的通解为X=c(2-1)+1。（c为任意常数。）,.,6.设n维向量组1，2，3（n3）线性无关，讨论：当向量组a2-1，b3-2，a1-b3线性相关时，方程组,的解，,且当有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示其通解。,.,解：（a2-1，b3-2，a1-b3）=因为1，2，3线性无关，所以向量组a2-1，b3-2，a1-b3线性相关的充要条件是即b(a2-1)=0所以b=0或a=1,.,方程组的增广矩阵（Ab）=,(1)当a=1，b0时，方程组无解；（2）当a=-1，b0时，方程组唯一解；（3）当b=0，a1时，方程组唯一解；（4）当a=1，b=0时，方程组有无穷多解。,.,此时：,取x3为自由未知量,.,题型4线性方程组的公共解、同解问题,情况1.已知两具体齐次线性方程组，求其非零公共解：将其联立，则联立方程组的所有非零解，即为所求。,.,6.设如下四元齐次方程组（）与（），求：（1）方程组（）与（）的基础解系；（2）方程组（）与（）的公共解。,.,解：（1）（）的基础解系为1=（-1，1，0，1）T，2=（0，0，1，0）T；同样得（）基础解系为3=（1，1，0，-1）T，4=(-1,0,1,1)T(2)将方程组和联立组成新方程组：,.,将其系数矩阵进行初等行变换得的基础解系为（-1，1，2，1）T于是方程组与的公共解为X=k（-1，1，2，1）T,k取全体实数。,.,情况2.仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令两通解相等，求出通解中任意常数满足的关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。,.,7.已知齐次线性方程组与的基础解系分别是1=（1，2，5，7）T,2=(3,-1,1,7)T，3=（2，3，4，20）T，1=（1，4，7，1）T，2=（1，-3，-4，2）T。求方程组与的公共解。,.,解;显然方程组与的通解分别为k11+k22+k33与11+22，令其相等得到k11+k22+k33=11+22即,.,于是（k1,k2,k3,1，2）T=t(-3/14,4/7,0,1/2，1)T即k1=-3t/14,k2=4t/7,k3=0,1=t/2,2=t于是可得1，2的关系为1=t/2=2/2，将此关系式代入通解即为所求的公共解为11+22=（2/2)1+22=（2/2)(1+22)=（2/2)(3,-2,-1,5)T，=(3,-2,-1,5)T，其中=2/2为任意实数。,.,情况3已知一齐次方程组的通解及另一具体方程组，求其非零公共解：常将通解代入另一方程组，求出通解中任意常数满足的关系，即求出通解中独立的任意常数，再代回通解，即得所求的非零公共解。简言之：已知的通解中满足另一具体方程组的非零解即为所求的非零公共解。,.,8.设四元齐次线性方程组()为又已知某齐次线性方程组()的通解为k1(0,1,1,0)+k2(-1,2,2,1).(1)求齐次线性方程组()的基础解系;(2)问方程组()和()是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解;若没有，则说明理由.,.,解：1）由所以以x2,x3为自由未知数可得基础解系,（2）令,.,则可得：,即,所以有公共解,.,题型5与AB=0有关的问题,已知矩阵A，求矩阵B使AB=0，此类问题常将B按列分块，B=(b1,b2,.bn)，将列向量bi视为Ax=o的解向量，因而可以利用Ax=o的一些解或一个基础解系充当所求矩阵B的部分列向量，B的其余列向量可取为零向量。,.,题型5与AB=0有关的问题,例9设求一个42矩阵B使AB=0，且r(B)=2.,.,解：由AB=0知，B的列向量均为Ax=o的解向量。显然r(A)=2，未知量的个数是4，因而Ax=o的基础解系含有2个解向量，于是如果求出Ax=o的基础解系，以其为列向量作矩阵即得所求的矩阵B。为此对A进行初等行变换得基础解系1=（1，5，8，0）T,2=(0,2,1,1)T令B=(1,2),则B即为所求。,.,题型6已知基础解系反求其齐次线性方程组,法1：解方程组法（1）以所给的基础解系为行向量做矩阵B，（2）解Bx=0，求出其基础解系；（3）以（2）中所得基础解系中的向量为行向量作矩阵，该矩阵即为所求的一个矩阵A.,.,法2初等行变换法以所给的线性无关的向量作为行向量组成一矩阵B,用初等行变换将此矩阵化为行最简形矩阵，再写出Bx=0的一个基础解系，以这些基础解系为行向量组成的矩阵，就是所求的齐次线性方程组的一个系数矩阵A，从而求出了所求的一个齐次线性方程组Ax=0.,.,例10写出一个以X为通解的齐次线性方程组。,.,解：法1.令1=（2，-3，1，0）T，2=（-2，4，0，1）T，以1T2T为行向量作矩阵B，只需写出Bx=0的一个基础解系1=（1,0,-2,2）T,2=(0,1,3,-4)T,则所求齐次线性方程组的系数矩阵为A，,.,所求的一个齐次线性方程组为Ax=0,即,.,法2把所给通解改写为由上式易知所求方程组有两个自由未知数X3和x4和两个独立变量x1，x2，且对应的方程组为即,.,题型7抽象线性方程组求解,1.已知系数矩阵A的秩，求Ax=0的通解:为求Ax=0的通解，必先由A的秩明确一个基础解系含多少个解向量，然后设法求出这些解向量。,.,11.设n阶矩阵的各行元素之和均为零，且R(A)=n-1，求线性方程组Ax=0的通解。解：X的维数为n，R(A）=n-1，故Ax=0的一个基础解系含1个解向量，又因为A的各元素之和为0，故非零向量1=（1,1,1）T满足方程组Ax=0，因而1为Ax=0的一个基础解系，于是通解为=k1(k为任意