复变函数期末考试题大全(东北师大)

_一、填空题（每小题2分）1、复数的指数形式是 2、函数=将上的曲线变成()上的曲线是 3、若,则 4、= 5、积分= 6、积分 7、幂级数的收敛半径R= 8、是函数的 奇点9、 10、将点,i,0分别变成0,i,的分式线性变换 二、单选题（每小题2分）1、设为任意实数，则=（ ）A 无意义 B等于1 C是复数其实部等于1 D是复数其模等于12、下列命题正确的是（ ）A B 零的辐角是零 C仅存在一个数z,使得 D 3、下列命题正确的是（ ）A函数在平面上处处连续B 如果存在,那么在解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数 4、根式的值之一是（ ）A B C D 5、下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ）A B C D 6、下列积分之值不等于0的是( )A B C D 7、函数在处的泰勒展式为（ ）A （1） B （1）C （1） D （1）8、幂级数在内的和函数是（ ） A B C D 9、设a，C：=1，则（ ） A 0 B i C 2ie D icosi10、将单位圆共形映射成单位圆外部的分式线性变换是（ ）A B C D 三、判断题（每小题2分）1、（ ）对任何复数z,成立2、（ ）若是和的一个奇点,则也是的奇点3、（ ）方程的根全在圆环内4、（ ）z=是函数的三阶极点5、（ ）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题6分）1、已知在上解析,求a,b,c,d的值2、计算积分3、将函数在的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=5、求在指定圆环内的洛朗展式6、求将上半平面共形映射成单位圆的分式线性变换，使符合条件， 五、证明题（每小题7分）1、设（1）函数在区域内解析（2）在某一点有，（）证明：在内必为常数2、证明方程在单位圆内有个根一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分）1 ，2 ， 3 (2k+1),(k=0,)， 4 (k=0,)5 , 6 0 , 7 , 8 可去， 9 ， 10 二 单选题（每小题2分，共20分）1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A三 判断题（每小题2分，共10分） 1 2 3 4 5 四 计算题（每小题6分，共36分）1解：, 分 5分 解得: 分2 解：被积函数在圆周的内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1 分 =2i(-2+2)=0 分3 解： = 4分 （2） 6分4 解: 被积函数为偶函数在上半z平面有两个一阶极点i,2i 1分 I= 2分 = 3分 = 5分 = 6分5 解： 1分 = 3分 = 6分6 解: =L(i)=k 分 3分 4分 6分五 证明题（每小题7分，共14分）1 证明:设 在解析 由泰勒定理 2分 由题设 ， 4分 由唯一性定理 7分2 证明：令 ， 分 (1）及在解析 (2）上， 5 分 故在上，由儒歇定理在内 7分一、填空题（每小题2分）1、的指数形式是 2、= 3、若0r1，则积分 4、若是的共轭调和函数，那么的共轭调和函数是 5、设为函数=的m阶零点，则m = 6、设为函数的n阶极点，那么 = 7、幂级数的收敛半径R= 8、是函数的 奇点9、方程的根全在圆环 内10、将点,i,0分别变成0,i,的分式线性变换 二、单选题（每小题2分）1、若函数在区域D内解析，则函数在区域D内（ ）A在有限个点可导 B存在任意阶导数C 在无穷多个点可导 D存在有限个点不可导2、使成立的复数是（ ）A 不存在 B 唯一的 C 纯虚数 D实数3、（ ） A sin1 B sin1 C 2sin1 D 2sin14、根式的值之一是（ ）A B C D 5、是的（ ）A 可去奇点 B 一阶极点 C 一阶零点 D 本质奇点6、函数，在以为中心的圆环内的洛朗展式有m个，则m=( )A 1 B 2 C 3 D 47、下列函数是解析函数的为（ ）A B C D 8、在下列函数中，的是（ ） A B C D 9、设a，C：=1，则（ ） A 0 B i C 2ie D icosi10、将单位圆共形映射成单位圆外部的分式线性变换是（ ）A B C D 满分10得分三、判断题（每小题2分）1、（ ）幂级数在1内一致收敛2、（ ）z=是函数的可去奇点3、（ ）在柯西积分公式中，如果，即a在之外，其它条件不变，则积分0，4、（ ）函数在的去心邻域内可展成洛朗级数5、（ ）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题6分）1、计算积分，C：1+的直线段2、求函数在所有孤立奇点（包括）处的留数3、将函数在的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域满分14得分4、计算积分 , C:，5、计算实积分I= 6、求将单位圆共形映射成单位圆的分式线性变换使符合条件，五、证明题（每小题7分）1、设函数在区域内解析，证明：函数也在内解析2、证明：在解析，且满足的，（）的函数不存在一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分）1 ，2 (k=0,) ， 3 0， 4 ， 5 9 6 ，7 ， 8 本质， 9 ， 10 二 单选题（每小题2分，共20分）1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 D 9 A 10 A三 判断题（每小题2分，共10分） 1 2 3 4 5 四 计算题（每小题6分，共36分）1解：C的参数方程为： z=i+t, 0 dz=dt 分 = 分2解: 为一阶极点 分 为二阶极点 分 分 分 6分3 解：= 2分 = 5分 （00，则z0是的_零点.6. 函数ez的周期为_. 7. 方程在单位圆内的零点个数为_.8. 设，则的孤立奇点有_.9. 函数的不解析点之集为_.10. .三. 计算题. (40分)1. 求函数的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3. 计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.4. 求 .四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题（三）二. 填空题. (20分)1. 设，则f(z)的定义域为_.2. 函数ez的周期为_.3. 若，则_.4. _.5. _.（为自然数）6. 幂级数的收敛半径为_.7. 设，则f(z)的孤立奇点有_.8. 设，则.9. 若是的极点，则.10. .三. 计算题. (40分)1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数.2. 试求幂级数的收敛半径.3. 算下列积分：，其中是. 4. 求在|z|1内根的个数.四. 证明题. (20分)1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题（四）二. 填空题. (20分)1. 设，则.2. 若，则_.3. 函数ez的周期为_.4. 函数的幂级数展开式为_5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是_.6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_.7. 设，则.8. 的孤立奇点为_.9. 若是的极点，则.10. _.三. 计算题. (40分)1. 解方程.2. 设，求3. . 4. 函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四. 证明题. (20分)1. 证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.2. 证明方程在内仅有3个根.复变函数考试试题（五）二. 填空题.（20分）1. 设，则.2. 当时，为实数.3. 设，则.4. 的周期为_.5. 设，则.6. .7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_。8. 函数的幂级数展开式为_.9. 的孤立奇点为_.10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则.（为自然数）三. 计算题. (40分)1. 求复数的实部与虚部.2. 计算积分：，在这里L表示连接原点到的直线段.3. 求积分：，其中0a1.4. 应用儒歇定理求方程，在|z|1内根的个数，在这里在上解析，并且.四. 证明题. (20分)1. 证明函数除去在外，处处不可微.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当时，证明:是一个至多n次的多项式或一常数.复变函数考试试题（六）1.一、 填空题（20分）1. 若，则_.2. 设，则的定义域为_.3. 函数的周期为_.4. _.5. 幂级数的收敛半径为_.6. 若是的阶零点且，则是的_零点.7. 若函数在整个复平面处处解析，则称它是_.8. 函数的不解析点之集为_.9. 方程在单位圆内的零点个数为_.10. 公式称为_.二、 计算题（30分）1、.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.三、 证明题（20分）1、 方程在单位圆内的根的个数为6.2、 若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.3、 若是的阶零点，则是的阶极点.计算下列积分（分）(1) ； (2) 计算积分（分）求下列幂级数的收敛半径（分）(1)；(2)设为复平面上的解析函数，试确定，的值（分）三、证明题设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数（分）试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数（分）试卷一至十四参考答案复变函数考试试题（一）参考答案二填空题1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 16. 整函数； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .三计算题.1. 解 因为 所以 .2. 解 因为 ,.所以.3. 解 令, 则它在平面解析, 由柯西公式有在内, . 所以.4. 解 令, 则 . 故 , .四. 证明题.1. 证明 设在内. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为. 消去得, .1) 若, 则 为常数.2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (为常数).所以为常数.2. 证明的支点为. 于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故.复变函数考试试题（二）参考答案二. 填空题1.1， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.三. 计算题1. 解 .2. 解 令. 则. 又因为在正实轴去正实值，所以. 所以.3. 单位圆的右半圆周为, . 所以.4. 解=0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令,则. (为实常数). 令. 则. 即满足, 且连续, 故在内解析.(充分性) 令, 则 , 因为与在内解析, 所以, 且.比较等式两边得 . 从而在内均为常数,故在内为常数.2. 即要证“任一 次方程 有且只有 个根”. 证明 令, 取, 当在上时, 有 . .由儒歇定理知在圆 内, 方程 与 有相同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此次方程在 内有 个根.复变函数考试试题（三）参考答案二.填空题.1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1. 解 .2. 解 . 所以收敛半径为.3. 解 令 , 则 .故原式.4. 解 令 , . 则在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 内, 方程只有一个根.四. 证明题.1. 证明 证明 设在内. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为. 消去得, .1) , 则 为常数.2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (为常数).所以为常数.2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数. 复变函数考试试题（四）参考答案.二. 填空题.1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函数;6. 亚纯函数; 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1. 2. 解 , . 故原式.3. 解 原式.4. 解 =，令，得，而 为可去奇点 当时， 而 为一阶极点.四. 证明题.1. 证明 设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点, 考虑 .而, 在上半平面内, 已知在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面内解析.2. 证明 令, , 则与在全平面解析, 且在上, ,故在内.在上, , 故在内.所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根.复变函数考试试题（五）参考答案一. 判断题.1 6 10.二. 填空题.1.2, , ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; 7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10. . 三. 计算题.1. 解 令, 则 . 故 , .2. 解 连接原点及的直线段的参数方程为 , 故.3. 令, 则. 当时, 故, 且在圆内只以为一级极点, 在上无奇点, 故, 由残数定理有.4. 解 令 则在内解析, 且在上, , 所以在内, , 即原方程在 内只有一个根.四. 证明题.1. 证明 因为, 故. 这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件, 故只在除了外处处不可微.2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数.复变函数考试试题（六）参考答案二、填空题：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 欧拉公式 三、计算题：1. 解：因为 故.2. 解： 因此 故 .3.解： 4.解： 5解：设, 则. 6解：四、1. 证明：设则在上， 即有. 根据儒歇定理，与