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第二章方阵的行列式及其性质,行列式是线性代数的一个重要研究对象，是线性代数中的一个最基本、最常用的工具，它被广泛地应用到数学、物理、力学以及工程技术等领域中.,第一节行列式的概念,主要内容,n阶排列及其性质,行列式的按行（列）展开,低阶行列式,n阶行列式的概念,用消元法解二元线性方程组,一、低阶行列式,1.二阶行列式的引入,方程组的解为,分母相等，由方程组的四个系数确定.为了找出解的表达式的规律，引进行列式定义.,注:分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,2.三阶行列式,如果三元线性方程组,的系数行列式,也可用三阶行列式解三元线性方程组：,三阶行列式的对角线法则,1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.,3.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,注：,例,解,按对角线法则，有,例3,解,方程左端,例4解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,排列逆序、逆序数、奇排列、偶排列对换,将一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。将相邻两个数对换称为相邻对换.,证明(1)先证明相邻对换的情形,设原排列为,（2）一般情形,由（1）结论，它改变了排列的奇偶性.综合（1）、（2），任一个排列经过一次对换后奇偶性改变.,几个推论,1.观察三阶行列式,分析,（1）三阶行列式共有项，即项,（2）所有不同行、不同列的3个元素乘积的代数和.(每个乘积项取且仅取不同行不同列的元素一次）,注,1、行列式是一种特定的算式，它是为求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的;,2、阶行列式是项的代数和;,3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;,4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;,例1计算对角行列式,分析:4!项，0很多，找到非零项,解,例2计算上三角行列式,解,分析:0很多，找到非零项,例3,同理可得下三角行列式,例4证明主（副）对角行列式,总结：上（下）三角、主对角行列式的值均等于主对角线上元素的乘积.,四、行列式的按行（列）展开,余子式、代数余子式行列式按行（列）展开定理,1.余子式、代数余子式,定义在n阶行列式中，去掉aij所在的第,i行和第j列后,余下的元素按原相对位置,构成的n-1阶行列式aij的余子式,记,即,aij的代数余子式：,Aij=(-1)i+jMij,(代数）余子式阶数降低，且与aij的值无关。,=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj(j=1,2,n).,2.行列式按行(列)展开定理,定理2行列式等于它的任一行(列)的元素,与其对应的代数余
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