空间两条直线交点坐标的新求法

第卷第期年月 空间两条直线交点坐标的新求法 闰众 西安文理学院 数学与计算机工桂学院 , 陕西 西安 摘要 本文从空间图形几何直观。 的角度出发 ,给出了求空间两条直线交点坐标的几种有超的新方 法 将线与戏的交点转化成求残与面的交点 、 将线与线的交点转化成求个平面的交点 或者利用两 条直线的交点在它们对某两个坐标面的射影柱面上的条件综合考虑 关扭词 空间 直线 交点 中圈分类号 在解析几何中遇到求图形交点的问题 , 一般常规方法都是采取求方程组的解的方 法 比如对空间两条直线 旱 旱 一 之 二 之王 一 兰 二 三 王 刀 乞 之 二 逃兰二三互 ” 忿 又,产不全为零, 给一组 人, 产的值 ,就能得到一个确定的平 面 ,只要的法向量人 爪产,一孟 几,一 娜和,所确定的平面的法向量 ,一 玲,二 ,脚 ,不平行即可 如果我们具体设出两直线的方程为 求交点坐标 ,通过解由这两个方程组成的方 程组就可以得到它们的交点 但是 ,如果我们 换一个角度 ,从图形本身所蕴涵的几何条件 直观的去思考问题 ,就会得到一些新方法 将线与线的交点转化成求线与面的交点 三 二鱼 一之 土里 三 二 里 兰 二旦 艺二 一兰 土二 如图,这种方法是 求出一个过这两条直线中 某条直线的平面 非与 几确定的平面的方程 , 则另一条直线与的交点 即为、与 几的交点 平面 图 有很多种求法 ,试举几例 利用平面束确定平面比如 ,万可以 在以八为轴的平面束中找出一个非与 几确 定的平面即可 过 几的平面束方程可设为 双一介 十八脚 一柳 为 加一跳一 现在求它们的交点 、 , 解过的平面束设为 孟一 夕 一产一一, 令 孟, 产,得 二一少 一一, 它的法向量,一, 一,与两直线所在 平面的法向量叭沐摊,一们, ,一,一,不平行 ,为符合我们的要 求的平面与它的交点为, 一, 一,这 也是两直线的交点坐标 平面也可以取成一个特殊的平面 , 即过,且与垂直 的平面 ,它的方位 向量 为件 解如解,竹,一,凭, , 收稿日期一 一 作者筒介 国嵌沁 一 ,女, 汉族,次西札泉人 ,西安文理学院数学与计算机工程学院副教授 ,教育硕士,主要研究几何学以 及数学教育学 动。 。 数学教学研究 第卷第期年月 此时 ,过 几且与垂直的平面的方位向量为 砚,和巧件, ,一, 一,一,因此它的法向量几一 一, 一,又过点 初,一,故它的方程为 一一一勿一“, 即十夕一一二, 它与的交点坐标也为,一,一 平面还可以看成已知两条直线中某 条直线对某个坐标面的射影柱面 非与 几 确定的平面 解对 夕 决 平面的射影柱面为 也即, 与的交点坐标为, 一 ,一 先找出两直线对 某个 坐标面的射影柱面 那么它们的交点一定在这两个射影柱面的交 线上 ,再利用已知条件加以输合考虑 ,谷 找交 点的准确位登 解如图,两直 线对面的射影枉 面 分别为 十吕 和二 一少 十 一,它 们的交线为 一口 “ 厅 右 五 一一 卫 土名 一兰 二 多 一 ,即一, 十 吐 “ 托一。 , 一十 。一, 图 与它的交点坐标为,一,一,这也就是 两直线的交点坐标 将线与线的交点问题转化成求个平面 一一 口 一 一一 的交点问题 如图, 设、与 确定的平面为,经过 的某 个 非的平 面 为 ,经过的某个非 的平 面为, 如果这 个平面的公共 部分是空 么么,护 口 口口 可以肯定与, 的交点 尸也在上 从该方 一 。, 。“ 一, 、 , 。 口故,二 七,、 程组解得二 这说明交线上面点的坐 一一” 卜一,一 一 一 一 ” 一 标的特征为纵坐标等于一,竖坐标等于一, 故与的交点 尸 的坐标可 以设 为, 一,一,又因为 尸在上 ,因此它的坐标 也应适合的方程 即 解得 一 一 一 一 一立吐 旦 一二鱼 二 多 一 间的一个点 ,则兀 ,、,的交点也是与 的交点 为 了方便计算起见 ,我们可将, 取成过与垂直的平面 ,取成过与 垂 直的平 面 解可以求出与 去确定的平面的 方程为 一一“ 经过且与垂直的平面的方位向量为 竹一夏 ,一王 ,王 ,一, 和,一 卜它 的方程为 十十一 同理过 且与垂直的平面的方程为 十一一一 将它们联立成方程组 , 由此知两直线的交点 尸的坐标为 一 启 一一, 缸 十一,解冷 十一一一 。, “一, 一 , 一, 一 用此方法也会出现这样的情形 两直线 对某个坐标面的射影柱面重合 ,因而它们的 公共部分不构成一条直线的情况 如与 几 对 工 沙面的射影柱面方程分别为一 , 一 一和一一巧一,这是两个重合的平 面 ,无法用上述为法求解 这时可以求 已 们对 其它坐标面的射影柱面 总之 ,如果我们脱离开解析几何中求 图 形的交点寻常的解