初二竞赛进阶进度一八佰伴03矩形 教师

1 / 10 第三讲 矩形 1. 【矩形的定义】 有一个内角是直角的平行四边形叫矩形. 2. 【矩形的性质】 具有平行四边形的所有性质 四个角都是直角 对角线相等 3. 【矩形的判定】 有三个直角的四边形 有一个直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 2 / 10 【例题1】 填空题： （1） 对角线 相等且互相平分 的四边形是矩形 （2） 矩形的两条对角线之和为 24cm，对角线的夹角为 120，则矩形的两条邻边分别为 cm36cm6、. （3） 在矩形 ABCD 中， 两条对角线相交于 O， 如果AOB 的周长比BCD 的周长小 8cm， 比B O C 的周长小 2cm，那么 BC= 8cm ，DC= 6cm . （4） 在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，且ADEEDC = 32，则BDE 的度数为 18 . 【例题2】 如图， 矩形 ABCD 中， DC=2BC， 在 DC 上取一点 E， 使 EB=AB， 连结 EA，求DAE 的度数 解：在矩形ABCD中，DCCCDAB， 90AB ABEBBCDC，2，BCEB2， 7543302301， 90DAB， 15DAE 【例题3】 如图，已知矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE BD，垂足为 E，DAE：BAE=3：1，那么EAC 的度数是多少？ E O D C B A 3 / 10 【例题4】 如图， 在矩形 ABCD 中， 它的面积为 S， E 是 AB 的四等分点， F 是 BC 的三等分点，G 是 CD 的中点，求EFG 的面积 解：由题意可设 AB=4a，AD=3b，即S12ab 连结 DE，可先求得矩形内另外四个三角形面积，进而求得EFG 的 面积 EFGADEEDGBEFCFG S-() 1 12(3634) 2 4 1 3 SSSSS ababababab ab S 【例题5】 如图，矩形 ABCD 中，AD=13cm，DC=5cm，在 DC 上取一点 E，沿直线 AE 把AED 折 叠使点 D 恰好落在 BC 上，设此点为 F，求折叠的ADE 的面积 【例题6】 如图，将矩形 ABCD 沿着对角线 BD 折叠，使点 C 落在 C 处，BC交 AD 于 E，若 AD=8，AB=4，求BED 的面积 F G E DC BA F E A B C D C EA B C D 4 / 10 【例题7】 如图，已知矩形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于 O，ABC 的平分线交 AC 于 E，交 CD 于 F，且DBF=15，连 OF，求证：COF 和EOF 为等腰三角形 【例题8】 如图所示，将矩形纸片 ABCD 沿折痕 EF 对折，使点 A 与点 C 重合，若已知6AB cm， 8BC cm求 EF 的长 答： 15 cm 2 【例题9】 已知：点 E 为ABCD 外一点，AEEC，BEDE. 求证：ABCD 是矩形. 解：联结EO在平行四边形ABCD中，OCOA ECAE ， 90AEC，OEAC2 同理：OEBD2，BDAC ， 平行四边形ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形） 【例题10】 如图，正三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，F 是 CB 的中点， DBE 是正三角形. 求证：四边形 AFBE 是矩形. 解：在正三角形ABC中， 60CABABCACBCAB， D是AC的中点，F是CB的中点 30 2 1 290901ABCADB， ACADBCBF 2 1 2 1 ， ADBF ， O F E D C B A 5 / 10 在DAB和FBA中， BAAB DABFBA ADBF ，DABFBA， DBAF 在正三角形DBE中， 60DBEBEDB， 90EBFBEAF， 1801EBF，AFEB 四边形AFBE是平行四边形 901 所以平行四边形AFBE是矩形 【例题11】 如图，四边形 ABCD 中，A=BCD=90 ，BC=CD，CEAD，垂足为 E，求证：AE=CE 解答：证明：如图，过点 B 作 BFCE 于 F， CEAD，D+DCE=90 ， BCD=90 ，BCF+DCE=90 ，BCF=D， 易证BCFCDE（AAS） ， BF=CE，又A=90 ，CEAD，BFCE， 四边形 AEFB 是矩形，AE=BF，AE=CE 【例题12】 如图，平行四边形 ABCD 的四个内角的角平分线分别交于点 E，F，G，H.求证：四边形 EFGH 是矩形 【例题13】 如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF=BD，连结 BF. （1）求证：BD=CD. （2）如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论 6 / 10 【例题14】 如图， ABCD 中，点 O 是 AC 与 BD 的交点，过点 O 的直线与 BA、DC 的延长线分别 交于点 E、F （1）求证：AOECOF； （2）请连接 EC、AF，则 EF 与 AC 满足什么条件时， 四边形 AECF 是矩形，并说明理由 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AO=OC，ABCD E=F 又AOE=COF AOECOF（ASA） ； （2）连接 EC、AF，则 EF 与 AC 满足 EF=AC 时，四边形 AECF 是矩形，理由如下： 由（1）可知AOECOF，OE=OF，AO=CO，四边形 AECF 是平行四边形， EF=AC，四边形 AECF 是矩形 7 / 10 【例题15】 如图，ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MNBC设 MN 交ACB 的 平分线于点 E，交ACB 的外角平分线于点 F （1）求证：OE=OF； （2）若 CE=12，CF=5，求 OC 的长； （3）当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？ （1）证明：MN 交ACB 的平分线于点 E，交ACB 的外角平分线于点 F， 2=5，4=6，MNBC，1=5，3=6，1=2，3=4， EO=CO，FO=CO，OE=OF； （2）解：2=5，4=6，2+4=5+6=90 ，CE=12，CF=5， EF=13，OC=EF=6.5； （3）答：当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形 证明：当 O 为 AC 的中点时，AO=CO，EO=FO，四边形 AECF 是平行四边形， ECF=90 ，平行四边形 AECF 是矩形 8 / 10 【作业1】 已知：如图，在ABCD 中，AE=CF，AFDE 于 G，CEBF 于 H， 求证：四边形 EHFG 为矩形. 解：在平行四边形ABCD中，AECF CFAE ，四边形AECF是平行四边形 AFCE，21BFCE ， 9032 901DEAF ， 904 四边形EHFG是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） 【作业2】 如图，在ABC 中，点 O 是 AC 边上的一动点，过点 O 作 直线 MNBC，设 MN 交BCA 的外角平分线于点 F （1）求证：EO=FO； （2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论。 9 / 10 1. 如图，将矩形纸片 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝 隙又无重叠的四边形 EFGH. 已知 EH=3，EF=5，求矩形 ABCD 的面积. 解：MEBMEA 2 1