复利数学第五章讲义

第五章,债券与其它证券,5-1债券的定价,假设：（1）发行者在规定日期肯定偿还债务；（2）首先讨论有固定的到期日的债券；（3）首先讨论在息付日息票刚刚支付后的债券的价格。,有关符号,P：债券的价格；F：债券的面值；C：债券的偿还值；假设C=F。r：债券的息率；Fr：息票额；g：债券的修正息率；i：债券的收益率；n：支付期数；K：=Cvn；G：基价,基本公式,溢价/折扣公式,基价公式,Makeham公式,例5-1面值1000元的20年期债券，附有年度息票，息率为9%，偿还值为1120元。某人以价格P在发行日购买此债券，已知该人购买债券的收益率为8%，分别用上述四个公式，求P。,5-2溢价与折扣,如果债券以溢价发行，那么，在购买这项（债券）资产时将出现“损失”（价格大于价值），损失的大小等于溢价；如果债券以折扣发行，那么，在购买这项（债券）资产时将出现“利润”（价格小于价值），利润的大小等于折扣。,分期偿还方法,将一项债券交易看成是两项借贷交易的组合,将上面两张分期偿还表合并，就可以得到债券的分期偿还表。,例5-2A：考虑一项以溢价购买的债券，面值1000元，期限3年，息率为每年计息两次的年名义利率12%，收益率为每年计息两次的年名义利率8%。建立该债券的分期偿还表。,例5-2B考虑以折扣购买的面值1000元的3年期债券，票息率为每年计息两次的年名义利率8%，收益率为每年计息两次的年名义利率12%。建立该债券的分期偿还表。,例5-2C面值1000元的3年期债券、票息率为每年计息两次的年名义利率12%、收益率为每年计息两次的年名义利率8%，若投资者可通过利率为每年计息两次的年名义利率6%的偿债基金来偿还溢价，求债券的价格。,5-3息付日之间债券的价值,令Bt和Bt+1分别表示相邻两个息付日上债券的价格或帐面值，Fr为一期的息票金额，显然，在收益率i不变的假设下，有：Bt+1=Bt(1+i)-Fr(5-11),债券的交易价格为平价，并记为Bft+k；不含自增息票的价格为市价，记为Bmt+k；Bft+k=Bmt+k+Frk(0ki(5-22)折扣=偿还值-市价=C-Bmt+k，如果gi(5-23),例5-3分别利用上述三种方法，计算例5-2A中债券，购买4个月后的平价、自增息票和市价。,5-4收益率的确定,在息付日购买的债券的收益率息付日之间购入债券的收益率,在息付日购买的债券的收益率,插值法代数法叠代法,代数法,债券推销员公式,叠代法,构造型如i=f(i)的叠代公式如式(5-24)；选一个i0，然后由is+1=f(is)，可以得到系列i0，i1，is，is+1，；在经过足够多的次数的计算后，可以得到具有任意精度的收益率。,息付日之间购入债券的收益率,通常先利用半理论方法将在中间的购买价格换算成在上一个息付日上的相应的价格，然后再用叠代的方法计算收益率。具体的叠代比较复杂，对于具体的问题，通常利用试错的方法往往更容易很快得到所需精度的收益率。,考虑再投资的收益率,例5-4面值1000元的20年期债券，附有8%的年度息票，到期以1050元赎回。该债券的卖价为950元，求购买该债券的收益率。,例5-5假设例5-4中的债券是2003年1月1日发行的，在2005的5月15日其市场成交价为1000元，计算此时购买该债券的收益率。,例5-6假设例5-4中的债券的息票只能以3%的年度实质利率再投资，求考虑了再投资的收益率。,5-5通知偿还债券,如果在所有赎回日的赎回值（包括到期日）都相等,1当收益率小于修正息率（即，ig，债券以折扣发行）时，那么P(m)关于m单减，所以最大可能的m是对投资者最不利的，也就是说，此时假设赎回日是最后的日期。,例5-7某投资者购买了一项15年期的债券，面值为10万元，并附有8%的息率，息票半年度支付一次。从第24个息付日开始，该债券可以在以后（包括第24个息付日）任何一个息付日以面值通知偿还。为了保证半年度转换收益率不低于10%，求投资者可以接受的最高价格。,例5-8某20年期债券面值1000元，并附有8%的年度息票。从第10年开始，该债券可以在各个息付日通知偿还，各个息付日的提前赎回值分别为：在第10到第14个息付日为1100元；在第15个至19个息付日为1150元；到期时为1200元。（1）若投资者想要保证6%的收益率，求投资者愿付的最高价格。（2）若投资者想要保证10%的收益率，求投资者愿付的最高价格。,5-6系列债券,系列债券，又称分期偿还债券，是指发行人发行的具有一系列不同赎回日的债券。,Makeham公式，是实务中计算系列债券价格最常用的公式。,考虑某系列债券，该债券有m个不同的赎回日，第一个赎回日对应债券的买价、偿还值和偿还值的现值为P1、C1和K1，第二个赎回日对应债券的买价、偿还值和偿还值的现值为P2、C2和K2，依此类推，第m个赎回日的为Pm、Cm和Km，由Makeham公式，有P1=K1+g(C1-K1)/iP2=K2+g(C2-K2)/i.Pm=Km+g(Cm-Km)/i求和得P=K+g(C-K)/i(5-32)其中P=Pt是整个系列债券的价格，C=Ct，K=Kt。由于C和K通常比较容易得到，所以式(5-32)往往比将各个价格直接相加的算法更实用。,例5-9有一项总面值为10000的系列债券，附有8%的年度息票，自发行后从第11年末开始，一直到第20年末分10次赎回，每年末的赎回值为1100，债券购买时的收益率为10%，求该系列债券的价格。,5-7一些一般情况,（1）收益率的计息频率与息票的支付频率不同的情况；（2）息率不为常数的情况；（3）收益率不为常数的情况。,1收益率的计息频率与息票的支付频率不同的情况,2息率不为常数的情况,如果息率不为常数，那么息票将构成一项变额年金，变额年金的计算可以利用2-82-9节所讨论的方法。债券的价格为息票的现值和偿还值的现值之和。,例5-10某公司决定发行一项20年期债券，该债券的面值为100并附有每年末支付的年度息票，第一年的息率为10%，以后每年的息率比上一年的增加1%，债券的偿还值为110。为使收益率为8%，求债券的价格。,3收益率不为常数的情况,如果收益率不为常数，则需要利用2-6节讨论的方法来计算息票的现值，而偿还值的现值的计算则可以利用1-6节中讨论过的方法。,例5-11对例5-1中的债券，如果前10年的收益率为7%，后10年的收益率为9%，求此时债券的价格。,5-8其他证券,1优先股和永久债券,优先股和永久债券都是有固定收益却无偿还日的证券。其价格等于永久的股息或息票的现值，也就是说，股息或息票都构成永久年金。因此，其价格为P=Fr/i(5-35)也有少数优先股发行时就预定了偿还日，这时，可以利用前面所讨论的方法进行计算。,2普通股,流出现金流的现值=流入现金流的现值股票的理论价格=未来红利的现值假设普通股股票当前每股红利为D，并且预期红利水平将一直保持稳定，那么，这种情况下，普通股的理论价格为P=Dv+Dv2+Dv3+=D/i(5-36)其中i为投资者投资股票的目标收益率。,例5-12A假设某普通股每年末将付0.8元红利。分别在收益率（1）15%（2）8%（3）4%下，求投资者购买股票的理论价格。,例5-12B假设例5-12A中，投资者预期股票的红利每年都将增加5%，其他条件不变，重做例5-12A。,例5-12C假设