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文档简介

一、实数与数轴,第一节预备知识,二、实数的绝对值,三、区间与邻域,一、实数与数轴,整数集,无理数这种无限不循环小数称为无理数.,有理数集,有理数与无理数统称为实数，实数集记为R.,自然数集,一条有原点、正方向和长度单位的直线称为数轴,实数与数轴上的点一一对应,x,二、实数的绝对值,例如，|2.78|=2.78，|9|=9，|0|=0.几何意义:|x|表示点x到原点0的距离.而|x-y|表示点x与点y的距离,实数x的绝对值，记为|x|，它是一个非负实数.即,实数的绝对值有如下性质：,(5)设，则|x|a的充要条件是axa的充要条件是xa.,(8)设，则的充要条件是或者.,(2)对于任意，有|x|=|x|.,(4)对于任意，有.,(1)对于任意的，有.当且仅当x=0时，才有|x|=0.,(3)对于任意，有.,它们的几何解释是很直观的.例如性质(5)，在数轴上|x|a表示所有与原点距离小于a的点x构成的点集，axa表示所有位于点a和点a之间的点x构成的点集,它们表示同一个点集.性质(6)(8)可作类似的解释.,由性质(5)可以推得不等式|xA|a与AaxA+a是等价的，其中A为实数，a为正实数.,关于四则运算的绝对值，有以下的结论:,对任意的，恒有,仅就结论(1)进行证明.,证：由性质(4)，有,三、区间与邻域,区间包括四种有限区间和五种无限区间，它们的名称、记号和定义如下(其中a，b为确定的实数，分别为区间的左端点和右端点):,表示分别以为左、右端点的开区间，区间长度为.,邻域：称实数集为点a的邻域，记作a称为邻域的中心，称为邻域的半径.由邻域的定义知,在中去掉中心点a得到的实数集,称为点a的去心邻域，记作.显然，去心邻域是两个开区间的并，即,例如:|x-5|,即为以点a=5为中心，以为半径的邻域，也就是开区间（，）（.5,.）,再如:0|x-1|2,即为以点a=1为
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