随机子空间识别

,第2节：模态参数识别的时域随机子空间方法,主讲人：鲍跃全博士、副教授2013.6.6哈尔滨工业大学,第6章模态参数识别,课程名称结构损伤识别与健康监测,主要内容,3.4.2动力学状态空间模型,连续时间状态空间模型离散时间状态空间模型随机状态空间模型,3.4.3协方差驱动随机子空间识别方法,Hankel矩阵的定义,3.4.1随机子空间识别主要思想,3.4.1随机子空间识别主要思想,随机子空间识别,（StochasticSubspaceIdentification-SSI）,随机,子空间,识别,协方差驱动随机子空间识别方法,数据驱动随机子空间识别方法,系统矩阵,模态参数,Hankel矩阵,3.4.2动力学状态空间模型,（1）连续时间状态空间模型,n个自由度的系统，其动力特性可用二阶振动微分方程式表示,通过定义,两边左乘P-1,式中：,在实际振动测试中，一般不会测量全部自有度的输出，而只检测其中的一部分。假定只在其中lc个自由度处放置传感器，则结构的输出可以表示为：,连续时间状态空间模型：,状态空间矩阵,输入矩阵,输出矩阵,直馈矩阵,（2）离散时间状态空间模型,实际测试中，信号的量测都是在离散的时间点，因此需要将连续时间模型转换成离散时间模型。假定信号满足采样定理（Shannon采样定理），设初始时间t0,表示由采样开始时刻位移和速度向量组成的状态向量,表示k+1时刻的状态,类似,表示采样时刻的输入与输出,离散时间状态空间模型,（3）随机状态空间模型,实际工程中，数据测量噪声不可避免,离散随机状态空间模型,实测过程中，环境激励是不可测量的随机激励（输入），而且强度基本和噪声影响相似，无法将两者区分清楚。将输入项与噪声合并之后，就得到了随机子空间方法的基本模型,随机状态空间模型的重要性质,假定噪声项为均值为零的平稳过程,举例：实际的白噪声,几个前提,同时wk,vk是零均值白噪声序列，与结构真实状态无关，可知：,式中状态协方差矩阵与时间k无关。,系统为线性时不变系统，状态序列为平稳随机过程。,定义输出协方差矩阵Ri,式中i为任意时刻的时延。,计算状态协方差矩阵，可以得到,计算协方差矩阵Ri（i=1,2,）,协方差驱动随机子空间识别方法建立的核心表达式。,定义状态-输出协方差矩阵G,输出信号y1(t)和对应协方差序列,3.4.2协方差驱动随机子空间识别方法,(1)Hankel矩阵定义,逆对角线上元素相同,yi是l1维列向量，表示i时刻所有测点的响应,另一种分法,(2)输出协方差矩阵,式中i为任意时刻的时延。,假定输出数据具有各态历经性，则,实际测试中，只能得到有限的j个数据点，因此输出协方差可以估计为,因此,(3)块Toeplitz矩阵分解,可观矩阵,可控反转矩阵,对Toeplitz矩阵进行奇异值分解，,是正交矩阵，满足,奇异值按降序排列,(4)模态参数识别,可将奇异值分解结果分成两个部分，分别用矩阵,表示,是一个非奇异矩阵，可以看成是对原来模型的一种相似变换，即不管怎么取，得到的模型都是等价的,取,表示广义逆,离散状态矩阵,是一个对角阵，由离散复特征值组成。,特征向量组成的矩阵,离散状态矩阵与连续状态矩阵的关系，,连续状态矩阵,与,具有相同的特征