1.3.2-“杨辉三角”与二项式系数的性质.ppt

第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质,一、新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？,杨辉三角,九章算术,杨辉,杨辉三角,详解九章算法中记载的表,1“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：,11,121,1331,14641,15101051,1615201561,第5行1551,第0行1,杨辉三角,第1行11,第2行121,第3行1331,第4行141,第6行161561,第n-1行1,1,第n行1,1,15,15=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,1,2,5,第5行15101051,第6行1615201561,第7行172135352171,第1行11,第0行1,第2行121,第3行1331,第4行14641,1,3,8,13,21,34,如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第8行18285670562881,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;,这就是著名的斐波那契数列。,类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：,当时，其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由于：,所以相对于的增减情况由决定,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当时，,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,（3）各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中，令，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于，上式还可以写成：,这是组合总数公式,一般地，展开式的二项式系数有如下性质：,（1）,（2）,（3）当时，,（4）,当时，,例题分析:,例1证明：（1）(a+b)n的展开式中,各二项式系数的和,启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法。,令a=b=1，则,继续思考1:（2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,证明：在展开式中令a=1，b=1得,小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。,例2（赋值法）,例2,小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值，然后解方程组整体求解,1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二项式系数问题.,思考1求证:,略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由得,思考:求证：,证明：,倒序相加法,思考2.在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;,（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大。（以下同2）r=5.,即3(r+1)2(20-r)得2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“