刘鸿文版材料力学第六章.ppt

,弯曲变形,第六章,目录,第六章,弯曲变形,6-1工程中的弯曲变形问题6-2挠曲线的微分方程6-3用积分法求弯曲变形6-4用叠加法求弯曲变形6-5简单超静定梁6-6提高弯曲刚度的一些措施,目录,目录,6-1工程中的弯曲变形问题,7-1,目录,目录,6-1工程中的弯曲变形问题,目录,6-1工程中的弯曲变形问题,6-2挠曲线的微分方程,dydx,挠度转角关系为：tan,挠曲线x,1.基本概念yx,转角挠度y,挠曲线方程：yy(x)挠度y：截面形心在y方向的位移y向上为正,转角：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,7-2,目录,MEIz,1,忽略剪力对变形的影响,M(x)EIz,1(x),6-2挠曲线的微分方程2.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：,目录,dy,1(,dy23,dy,dy,dy,dx,dy,),2dx2dx,1,略去高阶小量，得,2dx2,1,M(x)EIz,2,2,所以,M(x)0,M(x)0,2dx20,x,yO,M(x)0,O,2dx20,y,x,M(x)b。,解,1）由梁整体平衡分析得：FbFall2）弯矩方程AC段：Fbl,Fbl,ax2l,x2F(x2a),Mx2FAyx2F(x2a),CB段：,6-3用积分法求弯曲变形,目录,a,b,x2,D,FCymax,BxFBy,yAAFAyx1,B,0x1a,M(x1),d2y1Fb,EIx1,dx1,l,EI(x1),x1C1,dy1Fb2,EIy1,x1C1x1D1,ax2l,M(x2),x2F(x2a),d2y2Fb,EI,dx2,l,dy2,EI(x2),x2,(x2a)2C2,x2,(x2a)3C2x2D2,2dx12lFb36l2,Fb2F2l2,Fb3F6l6,EIdx2EIy2,AC段：EICB段：,6-3用积分法求弯曲变形3）列挠曲线近似微分方程并积分,目录,a,b,x2,D,FCymax,BxFBy,yAAFAyx1,B,C1C2Fbl,y1(0)0y2(l)0,代入求解，得,位移边界条件x10,x2l,1(a)2(a)y1(a)y2(a),光滑连续条件x1x2a,x1x2a,16,Fb36l,6-3用积分法求弯曲变形4）由边界条件确定积分常数,D1D20目录,ymax,a,b,x2,D,FC,FAyx1,FBy,A,Bx,yA,B,x1,(lb2),(lb2),(x2a),x2,EIy1,x1,(lb2)x1,ax2l,x2,(x2a),(lb2)x2,Fb26l,Fb22l,EI1,Fb3Fb26l6l,AC段：,0x1a,2,Fb26l,F2,Fb22l,EI2,3,Fb26l,F6,Fb36l,EIy2,CB段：,6-3用积分法求弯曲变形5）确定转角方程和挠度方程,目录,ymax,a,b,x2,A,C,D,F,FAyx1,FBy,A,Bx,y,B,xl,maxB,0,dy,令,得，,0,ddx,Fab6EIl,(la)(),令得，,dx,(),Fb(l2b2)393EIl,ymax,l2b23,x,6-3用积分法求弯曲变形6）确定最大转角和最大挠度,目录,ymax,a,b,x2,D,FC,FAyx1,FBy,A,Bx,yA,B,讨,论,6-3用积分法求弯曲变形,积分法求变形有什么优缺点？目录,dx,EIyiEI(yi)M(x),d2y2,EI,EIyM(x),6-4用叠加法求弯曲变形设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为Mi(x)，转角为i，挠度为yi，则有：EIyiMi(x)ni1,所以，,nni1i1,7-4,目录,y(yi),yyi,i,故,ni1,由于梁的边界条件不变，因此,ni1,ni1,6-4用叠加法求弯曲变形,重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。目录,yC1,yC2,例3,已知简支梁受力如图示，q、l、EI,均为已知。求C截面的挠度yC；B截面的转角B,yC1,yC2,yC3,1）将梁上的载荷分解yCyC1yC2yC3BB1B2B32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。,ql324EIql316EI,B1B1,ql33EI,B3,5ql4384EIql448EI,ql416EI,yC3,解,6-4用叠加法求弯曲变形,目录,yCyCi,BBi,(),11ql4384EI,ql416EI,ql448EI,5ql4384EI,3i1,(),11ql348EI,ql33EI,ql316EI,ql324EI,3i1,6-4用叠加法求弯曲变形3）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和,目录,yC1,yC2,yC3,yC,解,6-4用叠加法求弯曲变形,例4已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。目录,C1,yC1,yC2yB2B2,C2,yCyCi,CCi,yC,yC2,yC1,yB2,l2,ql4ql38EI6EIql4ql3l128EI48EI2,ql348EI,41ql4384EI7ql348EI,3）将结果叠加2i12i1,2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。,6-4用叠加法求弯曲变形,目录,讨,论,6-4用叠加法求弯曲变形,叠加法求变形有什么优缺点？目录,6-5简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统2.求解方法：解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,7-6,目录,6-5简单超静定梁,C,解,例6求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数2）解除多余约束，建立相当系统,目录,(a),2a2a,(b)(c),(b),(a),aFa,BB,B,F,MA,A,FAyMAFAy,AA,CC,FF,CC,BB,AA,FBy,MAMA,(c)(d)(d)(d),FByFBy,AAAAA,BBBBB,FFCCCFCC,3）进行变形比较，列出变形协调条件yB(yB)F(yB)FBy0,14Fa38FBya3,MAAy,(),FAyF(),MA,F,FBy,(b),(yB)F,(9a2a),(yB)FBy,4）由物理关系，列出补充方程,14Fa33EI,8FBya33EI,F(2a)26EI3EI3EI,所以0,745）由整体平衡条件求其他约束反力Fa324,目录,2a,(a),BC,MA,A,F,2a,(c)(d)(d)(d),(a)(b)(c),BBB,B,aF,C,A,CCC,aFFByF,FByFBy,FFF,CCCCC,BBBBB,AAAAA,MAMA,FAyMA,AAAFAy,F6-5简单超静定梁,yB1,342,F22FB43,从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,yB1yB2,MA,FA,yB1FB,MCFC,FBFBFByB2,物理关系,yB2,q44FB438EI3EI6EI3EI,解,目录,6-5简单超静定梁例7梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,264,2044,8.75kN,84,FB,MAFA,MC,FC,yB1FB,yB2,3,340102,FB,FB433EI,342,F226EI,FB433EI,q448EI,确定A端约束力Fy0,FAFB4q0FA4qFB4208.7571.25kN,0,A,MA4q24FB0,M,MA4q24FB420248.75125kNm目录,6-5简单超静定梁代入得补充方程：,FB,MA,FA,MC,FC,yB1FB,yB2,48.75kN,MC0,MC2F4FB0MC4FB2F48.75240115kN.m,目录,6-5简单超静定梁确定C端约束力Fy0,FBFCF0FCFFB408.75,MCFC,MAFA71.25,FA71.25kN()MA125kNm()FC48.75kN(),),MC115kNm(最后作梁的剪力图和弯矩图,8.751.94,()48.75()17.5115,FS()kNM(kNm)()125,目录,6-5简单超静定梁A、C端约束力已求出,1）选择合理的截面形状,目录,6-6提高弯曲刚度的一些措施,2）改善