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第三部分代数结构例题选讲,设G为群，H，K是G的子群则HK也是G的子群?若群的每个元素的逆元都是它自己，则该群必是阿贝尔群?M(R)关于矩阵加法和乘法运算构成整环?集合的幂集P（B）关于集合的对称差运算和并运算构成环?设G为Mn(R)上的加法群，n2，则全体体行列式大于0的矩阵构成子群？设G为群，则e为G中惟一的幂等元?设R为整环，则R的非零元一定有逆元?,8.设H和K分别为群G的r，s阶子群，若r和s互质，证明：HK=e证明：由于H和K分别为群G的子群，显然eHK。假若xHK,且xe则xHxK则H,K由拉格朗日定理知：|整除H和K的阶。而H和K的阶分别为r,s，且r和s互素所以|为1，所以x=e，与假设矛盾。综上所述HK=e,9.证明偶数阶群必含有2阶元证明：设偶数阶群为G，不妨设|G|=2n下面按元素的阶进行划分：元素的阶为1,只有单位元e,所以个数为1。元素的阶为2，设其构成的集合为：A元素的阶大于2，设其构成的集合为：B.则B的个数一定为偶数。因为aG，若|a|2,则由定理知|a|=|a-1|，且aa-1,所以阶大于2的元素成对出现。因此B的个数一定为偶数。所以|G|=1+|A|+|B|，即|A|=|G|-1-|B|1，所以偶数阶群必含2阶元。,10.设H是群G的子群，在G上定义二元关系R:a，bG,Rab-1H,则R是G上的等价关系证明:(1)证明R是具有自反性aG,由于aa-1=eH由R的定义知R(2)再证R具有对称性a，bG，若R,由R的定义知ab-1H，而H是群G的子群，所以(ab-1)-1H,即ba-1H再由R的定义知R,所以R具有对称性。,(3)再证R具有传递性a，b，cG若RR由R的定义知ab-1Hbc-1H再由H是G的子群，所以(ab-1)(bc-1)=a(b-1b)c-1=ac-1H再由R的定义知R所以R具有传递性。,11.设G为群，aG，且|a|=r，设k是整数，则(1)ak=e当且仅当r|k(2)|a-1|=|a|证明:(1)充分性：由于r|k，必存在整数m使得k=mr，所以有ak=amr=(ak)m=em=e必要性：若ak=e根据除法，存在整数m和i使得k=mr+i0ir-1从而有ak=amr+i=(ak)mai=eai=ai,而ak=e所以ai=e因为|a|=r，必有i=0.这就证明了r|k.(2)证明：设|a|=r|a-1|=s由于(a-1)r=(ar)-1=e-1=e由(1)知s|r同理r|s所以r=s因此|a-1|=|a|,12.设G=是15阶循环群（）求出的所有生成元（）求出的所有子群解：(1)生成元为:a,a2,a4,a7,a8,a11,a13,a14（2）G的所有子群:共4个子群,=e,a3,a6,a9,a12,=e,a5,a10,G,13.设B是布尔代数，a,bB,证明：abab=0ab=1证明：abab=0若ab,则ab=b所以ab=
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